平衡二叉搜索树讲解

平衡二叉树介绍

平衡二叉搜索树（AVL）树是一种自平衡的二叉搜索树，由两位前苏联数学家G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis于1962年发明，其名称即取自他们姓氏的首字母。它通过在每次插入或删除节点后，自动调整树的结构，来保证其始终处于一种"高度平衡"的状态，从而确保了高效的查找性能。

平衡二叉树概念和特性

1.什么是"平衡"？

 AVL树的核心是引入了 平衡因子（Balance Factor, BF） 的概念。一个节点的平衡因子定义为其左子树的高度减去右子树的高度（有时定义相反，但原理相同）。
 在AVL树中，每个节点的平衡因子只能是 -1、0 或 1。
这意味着任意节点的左右子树高度差绝对值不超过1。这确保了树形结构是平衡的，避免了退化成链表。

2.为什么需要平衡？

普通的二叉搜索树（BST）在极端情况下（例如插入有序数据）会退化成类似链表的结构，导致其操作时间复杂度从理想的 O(log n) 恶化到 O(n)。
AVL树通过维持平衡，保证了其查找、插入和删除操作的时间复杂度在平均和最坏情况下均为 O(log n)，其中 n 是树中节点的数量。一个有 n 个节点的AVL树，其最大深度约为 1.44 * log₂(n)。

平衡二叉树核心操作

当插入或删除节点后，某些节点的平衡因子可能会变成 +2 或 -2，此时树就"失衡"了。为了恢复平衡，AVL树会执行一种名为"旋转"的局部调整操作。

旋转

右旋（Right Rotation）------ 解决"左左（LL）"失衡

场景：节点 A 失衡（平衡因子为 +2），且其左子节点 B 偏重（平衡因子为 0 或 +1）。我们需要将 A 向右旋转，让 B 成为新的根。

旋转前的结构（注意 B 的右子树 T2）：

A

/ \

B T3 <- T3 是 A 的右子树，不受影响

/ \

T1 T2 <- T2 是 B 的右子树，它需要"过继"

核心操作（三步走）：

1.暂存左子：B = A.left

2.过继子树：将 B 的右子树 T2 挂给 A 作为新的左子树 → A.left = B.right

3.完成旋转：将 A 挂给 B 作为新的右子树 → B.right = A

旋转后的结构：

B

/ \

T1 A

/ \

T2 T3

验证（中序遍历）：

旋转前顺序：T1 -> B -> T2 -> A -> T3

旋转后顺序：T1 -> B -> T2 -> A -> T3（完全一致，证明了旋转不破坏二叉搜索树的性质）

左旋（Left Rotation）------ 解决"右右（RR）"失衡

场景：节点 A 失衡（平衡因子为 -2），且其右子节点 B 偏重。这是右旋的完美镜像。

旋转前的结构（注意 B 的左子树 T2 需要"过继"）：

A

/ \

T1 B <- T1 是 A 的左子树，不受影响

/ \

T2 T3 <- T2 是 B 的左子树，它需要"过继"

核心操作（三步走）：

1.暂存右子：B = A.right

2.过继子树：将 B 的左子树 T2 挂给 A 作为新的右子树 → A.right = B.left

3.完成旋转：将 A 挂给 B 作为新的左子树 → B.left = A

旋转后的结构：

B

/ \

A T3

/ \

T1 T2

验证（中序遍历）：

旋转前顺序：T1 -> A -> T2 -> B -> T3

旋转后顺序：T1 -> A -> T2 -> B -> T3（完全一致）

记忆口诀（帮你快速区分）

右旋：新根是 左孩子。把左孩子的右子树（T2）过继给旧根当左子树。

左旋：新根是 右孩子。把右孩子的左子树（T2）过继给旧根当右子树。

一句话总结：旋转就是"爷爷下来当孙子，孙子上去当爷爷"，关键是那棵被"过继"的子树，它永远跟随新根原来的方向（右旋时 T2 是左孩子的右子树，所以过继后挂在右边；左旋时 T2 是右孩子的左子树，过继后挂在左边）。

源码

/*
左旋
过继子树：将q的左子树挂给p作为新的右子树 → p.right = q.left
完成旋转：将p挂给q作为新的左子树 → q.left = p
*/
void AVLTree::levorotation(Node * p, Node* q, Node* s)
{
	//左旋操作
	q->parent = p->parent;
	if (p->parent && p->isLeftTree)
	{
		p->parent->left = q;
		q->isLeftTree = true;
	}
	else if(p->parent)
	{
		p->parent->right = q;
		q->isLeftTree = false;
	}
	
	//将p挂到q的左子树
	q->parent = p;
	p->isLeftTree = true;
	p->right = q->left;
	q->left = p;
}

/*
右旋
过继子树：将 q 的右子树挂给 p 作为新的左子树 → p.left = q.right
完成旋转：将 p 挂给 q 作为新的右子树 → q.right = p
*/
void AVLTree::rightHandedRotation(Node * p, Node * q, Node * s)
{
	//右旋
	q->parent = p->parent;
	if (p->parent && p->isLeftTree)
	{
		p->parent->left = q;
		q->isLeftTree = true;
	}
	else if(p->parent)
	{
		p->parent->right = q;
		q->isLeftTree = false;
	}

	//将p挂到q的右子树
	q->parent = p;
	q->isLeftTree = false;
	p->left = q->right;
	q->right = p;
}

理解了这两个基础操作，AVL树的LR和RL双旋就很容易了------它们只是连续调用两次单旋（例如LR = 先对左孩子左旋，再对自身右旋）。

根据失衡节点的位置和形态，主要有四种旋转方式：

失衡类型	描述	解决方法
1.LL (左左)	在节点A的左子树的左子树上插入节点导致失衡	对节点A执行一次右旋 (Right Rotation)
2.RR (右右)	在节点A的右子树的右子树上插入节点导致失衡	对节点A执行一次左旋 (Left Rotation)
3.LR (左右)	在节点A的左子树的右子树上插入节点导致失衡	先对A的左子节点左旋，再对A右旋
4.RL (右左)	在节点A的右子树的左子树上插入节点导致失衡	先对A的右子节点右旋，再对A左旋
通过这四种旋转操作，AVL树能高效地恢复平衡。

平衡二叉树优缺点与应用场景

优点：查找操作非常高效，因为它是一种严格的平衡二叉树。

缺点：为了维护这种严格的平衡，在插入和删除节点时可能需要进行多次旋转操作，维护成本相对较高。

因此，AVL树适用于查找操作远多于插入和删除操作的场景，例如：

数据库索引：需要快速查找数据；需要频繁查找的内存数据结构。早期曾被用于 Linux 内核中。
相比之下，红黑树也是一种自平衡二叉搜索树，但它是一种"弱平衡"树，插入和删除操作更快，因此在需要频繁增删改查的综合性场景（如C++ STL的map和set）中应用更广。下一篇讲解红黑树。

平衡二叉树的操作

AVL树的操作核心是在标准二叉搜索树（BST）操作的基础上，增加"平衡维护"的步骤。具体来说，查找操作和BST完全一致，而插入和删除操作则在BST操作之后，需要沿路径向上回溯检查平衡因子，并在失衡时执行旋转。

1.查找（Search）

与普通BST完全相同，时间复杂度稳定为 O(log n)。

从根节点开始，若目标值等于当前节点则返回；小于则去左子树，大于则去右子树。由于AVL树严格平衡，查找过程不存在最坏情况链表退化的问题。

源码见二叉搜索树（BST Tree）讲解

2.插入（Insert）

插入分三步走，重点在于回溯和旋转：

第一步：标准BST插入。从根节点出发，按照BST规则将新节点插入为叶子节点。

源码见二叉搜索树（BST Tree）讲解

第二步：更新平衡因子。从新插入的节点开始，自底向上（向根节点方向）回溯，更新沿途所有祖先节点的高度和平衡因子。

第三步：检查并修复失衡。在回溯过程中，如果遇到某个节点A的平衡因子变为 +2 或 -2，说明以A为根的子树失衡。此时根据插入位置，执行四种旋转之一：

插入在A的左子树的左子树（LL）：对A执行右旋。

插入在A的右子树的右子树（RR）：对A执行左旋。

插入在A的左子树的右子树（LR）：先对A的左子节点左旋，再对A右旋。

插入在A的右子树的左子树（RL）：先对A的右子节点右旋，再对A左旋。

关键特性：在插入操作中，一旦执行了旋转修复，失衡点以上的祖先节点的平衡因子会自动恢复，无需继续向上回溯，因此插入操作最多只需要两次旋转（LR或RL情况）即可完成。

插入源码

//插入操作
void AVLTree::insert(int val)
{
	BinarySearchTree::insert(val);

	Node* p = nullptr;
	//判断是否平衡
	if (isBalance(p) || p == nullptr)
	{
		//是平衡二叉树，不需要调整
		return;
	}

	//需要调整
	//(p,q,s),左左型，右右型，右左型和左右型的旋转调整
	if (p->right == nullptr)
	{
		//左左型和左右型
		Node* q = p->left;
		if (q->right == nullptr)
		{
			//左左型 右旋
			Node *s = q->left;
			rightHandedRotation(p, q, s);
		}
		else
		{
			//左右型
			Node *s = q->right;

			//先左旋
			levorotation(q, s, nullptr);
			
			//后右旋
			rightHandedRotation(p, s, q);
		}
	}
	else
	{
		//右右型和右左型
		Node* q = p->right;
		if (q->left == nullptr)
		{
			//右右型 左旋
			Node *s = q->left;
			levorotation(p, q, s);
		}
		else
		{
			//右左型
			Node *s = q->right;

			//先右旋
			rightHandedRotation(q, s, nullptr);

			//后左旋
			levorotation(p, s, q);
		}
	}
}

3.删除（Delete）

删除是AVL树最复杂的操作，因为它可能导致多个祖先节点连续失衡，修复可能一直传播到根节点。

第一步：标准BST删除。分三种情况处理待删节点：

1.无子节点：直接删除。

2.只有一个子节点：用子节点顶替自己。

3.有两个子节点：找到中序后继（右子树的最左节点）或中序前驱（左子树的最右节点）来替换值，然后递归删除那个后继/前驱节点（该节点最多只有一个子节点）。

源码见二叉搜索树（BST Tree）讲解

第二步：更新平衡因子。从实际被删除节点的父节点开始，自底向上回溯到根节点，更新所有经过节点的平衡因子。

第三步：检查并修复失衡。在回溯过程中，每遇到一个失衡节点，就执行旋转修复。与插入不同，删除后的旋转会降低子树的高度，这可能导致其祖先节点再次失衡。因此，删除操作在修复一个节点后，必须继续向上回溯检查，直到根节点。

关键特性：删除操作可能触发 O(log n) 次旋转，因为修复了一个失衡点，高度降低后，上面的节点可能又失衡了。

复杂度总结对比

操作 时间复杂度 旋转次数

查找 O(log n) 0

插入 O(log n) 最多 2 次（常数级）

删除 O(log n) 最坏情况 O(log n) 次

删除源码见下篇文章