参考
多项式分裂域的自同构群的求法
设：
f ( x ) ∈ K x f(x)\in Kx f(x)∈Kx
令 L L L 为 f ( x ) f(x) f(x) 在 K K K 上的分裂域。
我们要求的是：
Aut ( L / K ) \boxed{ \operatorname{Aut}(L/K) } Aut(L/K)
如果 f ( x ) f(x) f(x) 在 K K K 上可分，那么分裂域 L / K L/K L/K 是有限伽罗瓦扩张，因此：
Gal ( L / K ) = Aut ( L / K ) \boxed{ \operatorname{Gal}(L/K) =\operatorname{Aut}(L/K) } Gal(L/K)=Aut(L/K)
所以，求多项式分裂域的伽罗瓦群，就是求：
固定 K 的 L 的所有自同构 \boxed{ \text{固定 }K\text{ 的 }L\text{ 的所有自同构} } 固定 K 的 L 的所有自同构
一、先判断多项式是否可分
多项式 f ( x ) f(x) f(x) 称为可分多项式，是指它在某个分裂域中没有重根。
如果：
gcd ( f , f ′ ) = 1 \gcd(f,f')=1 gcd(f,f′)=1
那么 f ( x ) f(x) f(x) 没有重根，因此 f ( x ) f(x) f(x) 可分。
特别地，如果：
char ( K ) = 0 \operatorname{char}(K)=0 char(K)=0
那么 K x Kx Kx 中每个非零不可约多项式都是可分的。
如果：
char ( K ) = p > 0 \operatorname{char}(K)=p>0 char(K)=p>0
则需要单独检查。
二、再判断分裂域扩张
设 L L L 是 f ( x ) f(x) f(x) 的分裂域。
因为 f ( x ) f(x) f(x) 是有限次多项式，所以：
L : K < ∞ L:K<\infty L:K<∞
如果 f ( x ) f(x) f(x) 可分，那么它的所有不可约因子都是可分的，因此：
L / K L/K L/K
是可分扩张。
而 L L L 本身就是 f ( x ) f(x) f(x) 的分裂域，所以：
L / K L/K L/K
是正规扩张。
因此：
f ( x ) 可分 ⟹ L / K 是有限伽罗瓦扩张 \boxed{ f(x)\text{ 可分} \Longrightarrow L/K\text{ 是有限伽罗瓦扩张} } f(x) 可分⟹L/K 是有限伽罗瓦扩张
于是：
Gal ( L / K ) = Aut ( L / K ) \boxed{ \operatorname{Gal}(L/K) =\operatorname{Aut}(L/K) } Gal(L/K)=Aut(L/K)
三、求自同构的基本方法
设 L L L 是 f ( x ) f(x) f(x) 的分裂域。
如果：
α ∈ L \alpha\in L α∈L
是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个根，那么对于任意：
σ ∈ Aut ( L / K ) \sigma\in\operatorname{Aut}(L/K) σ∈Aut(L/K)
因为 σ \sigma σ 固定 K K K，所以：
f ( σ ( α ) ) = σ ( f ( α ) ) = σ ( 0 ) = 0 f(\sigma(\alpha)) =\sigma(f(\alpha)) =\sigma(0) =0 f(σ(α))=σ(f(α))=σ(0)=0
因此：
σ ( α ) 仍然是 f ( x ) 的根 \boxed{ \sigma(\alpha)\text{ 仍然是 }f(x)\text{ 的根} } σ(α) 仍然是 f(x) 的根
所以求自同构时，核心就是：
确定各个根之间可以怎样互相置换 \boxed{ \text{确定各个根之间可以怎样互相置换} } 确定各个根之间可以怎样互相置换
但不是任意根置换都一定对应一个自同构，还必须保持根之间的代数关系。
四、例子： x 2 − 2 x^2-2 x2−2
设：
f ( x ) = x 2 − 2 f(x)=x^2-2 f(x)=x2−2
在：
K = Q K=\mathbb Q K=Q
上考虑。
两个根为：
2 , − 2 \sqrt2,\qquad-\sqrt2 2 ,−2
分裂域：
L = Q ( 2 ) L=\mathbb Q(\sqrt2) L=Q(2 )
因为：
gcd ( x 2 − 2 , 2 x ) = 1 \gcd(x^2-2,2x)=1 gcd(x2−2,2x)=1
所以 f ( x ) f(x) f(x) 可分。
因此：
L / Q L/\mathbb Q L/Q
是伽罗瓦扩张。
任意：
σ ∈ Gal ( L / Q ) \sigma\in\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q) σ∈Gal(L/Q)
必须满足：
σ ( 2 ) = 2 \sigma(\sqrt2)=\sqrt2 σ(2 )=2
或者：
σ ( 2 ) = − 2 \sigma(\sqrt2)=-\sqrt2 σ(2 )=−2
因此只有两个自同构：
id \operatorname{id} id
和：
σ ( 2 ) = − 2 \sigma(\sqrt2)=-\sqrt2 σ(2 )=−2
所以：
Gal ( L / Q ) ≅ C 2 \boxed{ \operatorname{Gal}(L/\mathbb Q) \cong C_2 } Gal(L/Q)≅C2
五、例子： x 3 − 2 x^3-2 x3−2
考虑：
f ( x ) = x 3 − 2 f(x)=x^3-2 f(x)=x3−2
设：
α = 2 3 \alpha=\sqrt3{2} α=32
以及：
ω = e 2 π i / 3 \omega=e^{2\pi i/3} ω=e2πi/3
三个根为：
α , α ω , α ω 2 \alpha,\qquad \alpha\omega,\qquad \alpha\omega^2 α,αω,αω2
因此分裂域为：
L = Q ( α , ω ) L=\mathbb Q(\alpha,\omega) L=Q(α,ω)
因为：
char ( Q ) = 0 \operatorname{char}(\mathbb Q)=0 char(Q)=0
所以 f ( x ) f(x) f(x) 自动可分。
六、确定分裂域的次数
首先：
Q ( α ) : Q = 3 \\mathbb Q(\\alpha):\\mathbb Q=3 Q(α):Q=3
因为 x 3 − 2 x^3-2 x3−2 在 Q \mathbb Q Q 上不可约。
而：
ω ∉ Q ( α ) \omega\notin\mathbb Q(\alpha) ω∈/Q(α)
因为 Q ( α ) ⊆ R \mathbb Q(\alpha)\subseteq\mathbb R Q(α)⊆R，而 ω \omega ω 不是实数。
所以：
L : Q \] = \[ Q ( α , ω ) : Q ( α ) \] \[ Q ( α ) : Q \] \[L:\\mathbb Q\] =\[\\mathbb Q(\\alpha,\\omega):\\mathbb Q(\\alpha)\] \[\\mathbb Q(\\alpha):\\mathbb Q\] \[L:Q\]=\[Q(α,ω):Q(α)\]\[Q(α):Q
其中：
Q ( α , ω ) : Q ( α ) = 2 \\mathbb Q(\\alpha,\\omega):\\mathbb Q(\\alpha)=2 Q(α,ω):Q(α)=2
因此：
L : Q = 6 \boxed{ L:\\mathbb Q=6 } L:Q=6
所以：
∣ Gal ( L / Q ) ∣ = 6 \boxed{ |\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)|=6 } ∣Gal(L/Q)∣=6
七、确定生成元的可能像
设：
σ ∈ Gal ( L / Q ) \sigma\in\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q) σ∈Gal(L/Q)
因为：
α 3 = 2 \alpha^3=2 α3=2
所以：
σ ( α ) 3 = 2 \sigma(\alpha)^3=2 σ(α)3=2
因此：
σ ( α ) ∈ { α , α ω , α ω 2 } \sigma(\alpha) \in \{ \alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2 \} σ(α)∈{α,αω,αω2}
另一方面：
ω 2 + ω + 1 = 0 \omega^2+\omega+1=0 ω2+ω+1=0
所以：
σ ( ω ) ∈ { ω , ω 2 } \sigma(\omega) \in \{ \omega,\omega^2 \} σ(ω)∈{ω,ω2}
因此定义两个自同构：
σ ( α ) = α ω , σ ( ω ) = ω \sigma(\alpha)=\alpha\omega, \qquad \sigma(\omega)=\omega σ(α)=αω,σ(ω)=ω
以及：
τ ( α ) = α , τ ( ω ) = ω 2 \tau(\alpha)=\alpha, \qquad \tau(\omega)=\omega^2 τ(α)=α,τ(ω)=ω2
它们都保持 L L L 中的代数关系，因此确实定义了 L / Q L/\mathbb Q L/Q 的自同构。
八、得到自同构群
对 σ \sigma σ：
σ 3 = id \sigma^3=\operatorname{id} σ3=id
对 τ \tau τ：
τ 2 = id \tau^2=\operatorname{id} τ2=id
并且：
τ σ τ = σ − 1 \tau\sigma\tau=\sigma^{-1} τστ=σ−1
因此：
Gal ( L / Q ) ≅ S 3 \boxed{ \operatorname{Gal}(L/\mathbb Q) \cong S_3 } Gal(L/Q)≅S3
群的阶为：
∣ S 3 ∣ = 6 |S_3|=6 ∣S3∣=6
与：
L : Q = 6 L:\\mathbb Q=6 L:Q=6
一致。
九、一般求法
对于：
f ( x ) ∈ K x f(x)\in Kx f(x)∈Kx
求它的分裂域自同构群，可以按照下面的顺序进行。
第一步：判断 f ( x ) f(x) f(x) 是否可分
在特征 0 0 0 下自动可分。
在特征 p > 0 p>0 p>0 下，可以检查：
gcd ( f , f ′ ) = 1 \gcd(f,f')=1 gcd(f,f′)=1
第二步：求分裂域
设 f ( x ) f(x) f(x) 的全部根为：
α 1 , α 2 , ... , α n \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n α1,α2,...,αn
则：
L = K ( α 1 , α 2 , ... , α n ) \boxed{ L=K(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) } L=K(α1,α2,...,αn)
第三步：求扩张次数
计算：
L : K \] \\boxed{ \[L:K\] } \[L:K
这个数字非常重要，因为对于伽罗瓦扩张：
∣ Gal ( L / K ) ∣ = L : K \boxed{ |\operatorname{Gal}(L/K)|=L:K } ∣Gal(L/K)∣=L:K
第四步：确定根的可能像
对于：
σ ∈ Gal ( L / K ) \sigma\in\operatorname{Gal}(L/K) σ∈Gal(L/K)
有：
σ ( α i ) \sigma(\alpha_i) σ(αi)
必须仍然是 f ( x ) f(x) f(x) 的根。
因此：
σ ( α i ) ∈ { α 1 , ... , α n } \boxed{ \sigma(\alpha_i) \in \{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\} } σ(αi)∈{α1,...,αn}
第五步：检查代数关系
不能简单地认为：
n 个根 ⟹ S n n\text{ 个根} \Longrightarrow S_n n 个根⟹Sn
因为根之间可能存在额外的代数关系。
必须检查：
α 1 , ... , α n \alpha_1,\ldots,\alpha_n α1,...,αn
之间满足的关系是否在映射后仍然成立。
只有保持所有这些关系的根置换，才能对应一个自同构。
第六步：写出所有自同构
确定生成元的像，例如：
σ ( α 1 ) = β 1 , σ ( α 2 ) = β 2 , ... \sigma(\alpha_1)=\beta_1, \qquad \sigma(\alpha_2)=\beta_2, \ldots σ(α1)=β1,σ(α2)=β2,...
然后得到全部：
Aut ( L / K ) \operatorname{Aut}(L/K) Aut(L/K)
第七步：确定群结构
最后根据自同构的复合关系，确定群的结构，例如：
C n C_n Cn
C 2 × C 2 C_2\times C_2 C2×C2
S 3 S_3 S3
A 4 A_4 A4
D n D_n Dn
等。
十、一个重要区别
要区分：
多项式可分 \boxed{ \text{多项式可分} } 多项式可分
和：
多项式不可约 \boxed{ \text{多项式不可约} } 多项式不可约
以及：
扩张是伽罗瓦扩张 \boxed{ \text{扩张是伽罗瓦扩张} } 扩张是伽罗瓦扩张
它们不是一回事。
例如：
x 3 − 2 x^3-2 x3−2
在 Q \mathbb Q Q 上：
不可约且可分 \boxed{ \text{不可约且可分} } 不可约且可分
但：
Q ( 2 3 ) / Q \mathbb Q(\sqrt3{2})/\mathbb Q Q(32 )/Q
不是正规扩张，所以不是伽罗瓦扩张。
而它的分裂域：
Q ( 2 3 , ω ) / Q \mathbb Q(\sqrt3{2},\omega)/\mathbb Q Q(32 ,ω)/Q
既正规又可分，因此是伽罗瓦扩张。
十一、不可分时怎么办
如果：
f ( x ) f(x) f(x)
不可分，那么它的分裂域扩张可能不是可分扩张，因此一般不能直接说：
Gal ( L / K ) = Aut ( L / K ) \operatorname{Gal}(L/K) =\operatorname{Aut}(L/K) Gal(L/K)=Aut(L/K)
作为"伽罗瓦扩张的伽罗瓦群"来使用。
此时仍然可以研究：
Aut ( L / K ) \operatorname{Aut}(L/K) Aut(L/K)
但自同构群可能很小，甚至只有恒等自同构。
例如在特征 p > 0 p>0 p>0 的域中：
f ( x ) = x p − a f(x)=x^p-a f(x)=xp−a
满足：
f ′ ( x ) = p x p − 1 = 0 f'(x)=px^{p-1}=0 f′(x)=pxp−1=0
因此 f ( x ) f(x) f(x) 不可分。
这时不能套用：
∣ Aut ( L / K ) ∣ = L : K |\operatorname{Aut}(L/K)|=L:K ∣Aut(L/K)∣=L:K
十二、不知道根求伽罗瓦群
考虑三次多项式
f ( x ) = x 3 − 3 x − 1. f(x)=x^3-3x-1. f(x)=x3−3x−1.
我们希望在不知道它的三个根具体是什么的情况下，求出它的伽罗瓦群。
1. 第一步：判断多项式是否不可约
首先判断
f ( x ) = x 3 − 3 x − 1 f(x)=x^3-3x-1 f(x)=x3−3x−1
在 Q \mathbb Q Q 上是否不可约。
因为 f ( x ) f(x) f(x) 是三次多项式，所以如果它在 Q \mathbb Q Q 上可约，那么必然存在一个有理根。
根据有理根定理，有理根只能是常数项 − 1 -1 −1 的约数，因此只需要检查
x = ± 1. x=\pm1. x=±1.
计算：
f ( 1 ) = 1 − 3 − 1 = − 3 ≠ 0 , f(1)=1-3-1=-3\neq0, f(1)=1−3−1=−3=0,
以及
f ( − 1 ) = − 1 + 3 − 1 = 1 ≠ 0. f(-1)=-1+3-1=1\neq0. f(−1)=−1+3−1=1=0.
所以 f ( x ) f(x) f(x) 没有有理根。
因此
f ( x ) 在 Q 上不可约 \boxed{f(x)\text{ 在 }\mathbb Q\text{ 上不可约}} f(x) 在 Q 上不可约
2. 第二步：由不可约性得到根的次数
设 α \alpha α 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个根，即
α 3 − 3 α − 1 = 0. \alpha^3-3\alpha-1=0. α3−3α−1=0.
由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 Q \mathbb Q Q 上不可约，并且
deg f = 3 , \deg f=3, degf=3,
所以 α \alpha α 在 Q \mathbb Q Q 上的最小多项式就是 f ( x ) f(x) f(x)。
因此
Q ( α ) : Q = 3. \\mathbb Q(\\alpha):\\mathbb Q=3. Q(α):Q=3.
也就是说，只加入一个根 α \alpha α，就得到一个三次扩张：
Q ( α ) : Q = 3 . \boxed{\\mathbb Q(\\alpha):\\mathbb Q=3}. Q(α):Q=3.
3. 第三步：伽罗瓦群可能是什么？
设 f ( x ) f(x) f(x) 的三个根为
α 1 , α 2 , α 3 . \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3. α1,α2,α3.
因为 f ( x ) f(x) f(x) 在 Q \mathbb Q Q 上不可约，所以它的伽罗瓦群
G = Gal ( f / Q ) G=\operatorname{Gal}(f/\mathbb Q) G=Gal(f/Q)
会传递地作用在三个根上。
因此 G G G 可以看成 S 3 S_3 S3 的一个传递子群。
而 S 3 S_3 S3 的传递子群只有两个：
A 3 和 S 3 . A_3 \qquad\text{和}\qquad S_3. A3和S3.
所以目前只有两种可能：
G = A 3 或 G = S 3 \boxed{ G=A_3 \quad\text{或}\quad G=S_3 } G=A3或G=S3
接下来只需要判断到底是哪一种。
4. 第四步：计算判别式
对于一般的三次多项式
x 3 + p x + q , x^3+px+q, x3+px+q,
其判别式为
Δ = − 4 p 3 − 27 q 2 . \Delta=-4p^3-27q^2. Δ=−4p3−27q2.
我们的多项式是
x 3 − 3 x − 1 , x^3-3x-1, x3−3x−1,
所以
p = − 3 , q = − 1. p=-3,\qquad q=-1. p=−3,q=−1.
代入判别式公式：
Δ = − 4 ( − 3 ) 3 − 27 ( − 1 ) 2 = − 4 ( − 27 ) − 27 = 108 − 27 = 81. \begin{aligned} \Delta &=-4(-3)^3-27(-1)^2\\ &=-4(-27)-27\\ &=108-27\\ &=81. \end{aligned} Δ=−4(−3)3−27(−1)2=−4(−27)−27=108−27=81.
因此
Δ = 81 = 9 2 . \boxed{\Delta=81=9^2}. Δ=81=92.
特别重要的是：
Δ 是 Q 中的平方 \boxed{\Delta\text{ 是 }\mathbb Q\text{ 中的平方}} Δ 是 Q 中的平方
5. 第五步：判别式为什么能够判断伽罗瓦群？
设三个根为
α 1 , α 2 , α 3 . \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3. α1,α2,α3.
定义
δ = ( α 1 − α 2 ) ( α 1 − α 3 ) ( α 2 − α 3 ) . \delta =(\alpha_1-\alpha_2) (\alpha_1-\alpha_3) (\alpha_2-\alpha_3). δ=(α1−α2)(α1−α3)(α2−α3).
那么判别式满足
Δ = δ 2 . \Delta=\delta^2. Δ=δ2.
考虑伽罗瓦群中的一个自同构
σ ∈ G . \sigma\in G. σ∈G.
因为 σ \sigma σ 会置换三个根，所以它对应于 S 3 S_3 S3 中的一个置换。
而 δ \delta δ 在置换根的时候，会根据置换的奇偶性改变符号：
σ ( δ ) = sgn ( σ ) δ . \sigma(\delta) =\operatorname{sgn}(\sigma)\delta. σ(δ)=sgn(σ)δ.
因此：
-
如果 σ \sigma σ 是偶置换，则
σ ( δ ) = δ ; \sigma(\delta)=\delta; σ(δ)=δ;
-
如果 σ \sigma σ 是奇置换，则
σ ( δ ) = − δ . \sigma(\delta)=-\delta. σ(δ)=−δ.
现在由于
Δ = 81 = 9 2 , \Delta=81=9^2, Δ=81=92,
所以
δ = ± 9. \delta=\pm9. δ=±9.
特别地，
δ ∈ Q . \delta\in\mathbb Q. δ∈Q.
因此对于任意
σ ∈ G , \sigma\in G, σ∈G,
都有
σ ( δ ) = δ . \sigma(\delta)=\delta. σ(δ)=δ.
于是
sgn ( σ ) = 1. \operatorname{sgn}(\sigma)=1. sgn(σ)=1.
也就是说， G G G 中不存在奇置换。
因此
G ⊆ A 3 . G\subseteq A_3. G⊆A3.
6. 第六步：确定伽罗瓦群
传递子群是 在集合上作用只有一个轨道的子群
前面已经知道
G G G
是 S 3 S_3 S3 的传递子群，因此
G = A 3 或 G = S 3 . G=A_3 \quad\text{或}\quad G=S_3. G=A3或G=S3.
而根据判别式是平方，我们已经得到
G ⊆ A 3 . G\subseteq A_3. G⊆A3.
所以只能是
G = A 3 . \boxed{G=A_3}. G=A3.
由于
∣ A 3 ∣ = 3 , |A_3|=3, ∣A3∣=3,
所以
∣ G ∣ = 3 . \boxed{|G|=3}. ∣G∣=3.
并且 A 3 A_3 A3 是一个三阶循环群，因此
Gal ( f / Q ) ≅ A 3 ≅ C 3 . \boxed{ \operatorname{Gal}(f/\mathbb Q) \cong A_3 \cong C_3 }. Gal(f/Q)≅A3≅C3.