汉诺塔 + 青蛙跳台阶问题

递归：汉诺塔 + 青蛙跳台阶

递归核心：把大问题拆解成规模更小的相同子问题，设置递归出口（终止条件）

1. 青蛙跳台阶问题

题目

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级台阶。求跳上 n 级台阶总共有多少种跳法。

分析

设 f(n)：跳到第 n 阶的跳法总数

最后一步：要么跳 1 阶（前面是 f(n‑1)），要么跳 2 阶（前面是 f(n‑2)）

递推公式：f(n) = f(n‑1) + f(n‑2)

递归出口：

n = 1：只有 1 种，跳 1 步 → f(1)=1

n = 2：两种：1+1 、2 → f(2)=2

本质就是变形斐波那契数列

c 复制代码

#include <stdio.h>

// 递归版本
int jump(int n)
{
    if(n == 1)
        return 1;
    if(n == 2)
        return 2;
    return jump(n-1) + jump(n-2);
}

int main(void)
{
    int n;
    printf("请输入台阶数：");
    scanf("%d", &n);
    printf("总跳法：%d\n", jump(n));
    return 0;
}

缺点：递归重复计算多，n 大效率低；可以改用循环迭代优化。

2. 汉诺塔问题

题目

有 A、B、C 三根柱子，A 上有 n 个圆盘，圆盘从上到下从小到大。

规则：

一次只能移动一个圆盘

小圆盘永远不能压在大圆盘下面

把全部圆盘从 A 移动到 C，打印每一步移动。

递归思路

把 n‑1 个圆盘，借助 C，从 A 移动到 B

把第 n 个（最大圆盘），直接 A → C

把 n‑1 个圆盘，借助 A，从 B 移动到 C

递归出口：n == 1：直接 A→C

c 复制代码

#include <stdio.h>

// n个盘子，从 src 借助 temp 移动到 dest
void hanoi(int n, char src, char temp, char dest)
{
    if(n == 1)
    {
        printf("%c --> %c\n", src, dest);
        return;
    }
    hanoi(n-1, src, dest, temp);   // n‑1个：src → temp，借助dest
    printf("%c --> %c\n", src, dest); // 最大盘子直接移过去
    hanoi(n-1, temp, src, dest);   // n‑1个：temp → dest，借助src
}

int main(void)
{
    int n;
    printf("输入汉诺塔圆盘数量：");
    scanf("%d", &n);
    hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
    return 0;
}

样例 n=3 输出

plaintext

A --> C

A --> B

C --> B

A --> C

B --> A

B --> C

A --> C

递归通用模板：

c 复制代码

函数(规模n)
{
    if(递归出口条件)
        return 结果;
    return 函数(更小的子问题);
}

3.两个题对比总结

问题递归公式出口

青蛙跳台 f(n)=f(n‑1)+f(n‑2) n=1→1；n=2→2

汉诺塔移动 n 个 = 移动 n‑1 个 + 移动最大盘 + 移动 n‑1 个 n=1 直接移动

青蛙跳台：求数量；汉诺塔：输出移动步骤。