Python CasADi初步教程

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简介和安装

CasADi 是一个开源的符号计算与数值优化框架，提供了Python、MATLAB和C++ 接口。其核心机制是将数学表达式构建为有向无环图（DAG）形式的计算图，并在此基础上实现精确的自动微分，并生成高效的 C 代码，适用于大规模非线性规划（NLP）和最优控制问题（如模型预测控制 MPC）的建模与求解，在模型预测控制、机器人学与轨迹优化、电力系统等领域有着重要应用。

Python可以用pip安装

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pip install casadi -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

符号表达式SX

在CasADi中，符号表达式(Symbol eXpression)用来表示数学公式的内部对象，支持定义变量和公式并构建计算图，甚至可以自动求导。

例如， ∂ ( x 2 + sin ⁡ y ) ∂ x = 2 x \frac{\partial(x^2+\sin y)}{\partial x}=2x ∂x∂(x2+siny)=2x，示例如下

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import casadi as ca
x = ca.SX.sym("x")
y = ca.SX.sym("y")
f = x**2 + ca.sin(y)
ca.gradient(f, x)       # SX((x+x))

但需要注意的是，符号表达式并不能直接带入数值，在CasADi中，需要在构造Function之后，才能带入数值进行计算。下面令 x = $2 , 3$ , y = 3 x= $2,3$ , y=3 x= $2,3$ ,y=3，进行计算

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F = ca.Function("F", [x, y], [f])
F([2,3],3)      # DM([4.14112, 9.14112])
import numpy as np
np.array(F([2,3],3)  )

在经过数值计算后，Function的返回值是DM类型，此为数据矩阵(Data Matrix, DM)，可以无缝转为数组。

在CasADi中，有两种构建SX的方法，分别是SX(n,m)和SX.sym(name, n, m)，从表达式可以看出来，二者在结构上完全一致，都是 n × m n\times m n×m的数组，但后者是个带有名字的表达式，从而在交互时更加便捷。比如SX.zeros(n,m), SX.ones(n,m), SX.eye(n)，顾名思义不必多说。

除了SX之外，CasADi还提供了矩阵表达式(Matrix eXpression, MX)这种数据结构，二者区别在于，在SX中，矩阵中的每个元素，都被看成独立的标量表达式；而在MX中，则将矩阵本身作为一个整体对象来运算，从而在大规模稀疏线性代数中效率更高。

牛刀小试

下面考虑一个常见的非线性规划问题

min ⁡ x , y ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 \min_{x,y} (x-2)^2+(y+1)^2 x,ymin(x−2)2+(y+1)2

这题很简单，一瞪眼就知道结果是 ( 2 , − 1 ) (2,-1) (2,−1)，下面调用CasADi中的IPOPT求解器进行优化，结果如下

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x = ca.SX.sym("x")
y = ca.SX.sym("y")
obj = (x - 2)**2 + (y + 1)**2

nlp = {
    "x": ca.vertcat(x, y),
    "f": obj
}

solver = ca.nlpsol("solver", "ipopt", nlp)

sol = solver(x0=[0, 0])
print(sol["x"])
# DM([2, -1])