数据结构之树&&二叉树(二)

前言

二叉树是树结构里最重要的子集，也是堆、平衡二叉树、红黑树、B + 树的底层基础。在写代码、刷算法、面试中高频出现。本文避开真题，专注讲概念、特殊二叉树、核心性质、存储方式、堆（二叉树顺序存储）。

2.1 二叉树的定义

二叉树：每个结点最多只有两个子结点，子结点分左孩子、右孩子，顺序不能颠倒。

结点组成三部分：

1. 数据域：保存结点数据
2. 左指针：指向左孩子
3. 右指针：指向右孩子

重点区别普通树：普通树子节点不分左右；二叉树严格区分左孩子、右孩子。 空二叉树：结点数量为 0。

二叉树的几个结构

2.2 几个特殊的二叉树

2.2.1 满二叉树

每一层结点数都达到该层最大数量。 高度为 h. 特点：所有叶子结点都在最底层，没有结点只有单边孩子。

2.2.2 完全二叉树

满二叉树去掉最底层右侧若干结点得到。

• 除最后一层以外，其余每一层全部结点都是满的
• 最后一层结点靠左紧密排列，不能出现右边有结点、左边空缺

核心价值：完全二叉树可以直接用数组顺序存储，不需要指针，堆就是基于完全二叉树实现。

没有左子树就没有右子树,上层未铺满,不能有下层

2.2.3 搜索二叉树（BST，二叉搜索树）

二叉树满足：

• 左子树上所有结点的值 ＜ 当前结点值
• 右子树上所有结点的值 ＞ 当前结点值 左右子树也必须满足二叉搜索树规则。

作用：适合做查找，中序遍历 BST 可以得到升序序列。

2.3 二叉树四大核心性质

i 从 1 开始计数；n 代表结点总数；h 代表树高度

性质 4 ：n 个结点完全二叉树，高度

完全二叉树下标从 0 开始的数组下标关系：

• 父下标：parent
• 左孩子下标：2*parent + 1
• 右孩子下标：2*parent + 2
• 孩子下标为 child，父节点下标：(child‑1)/2 向下取整

这个下标映射，就是堆实现的底层原理。

2.4 二叉树两种存储结构

2.4.1 顺序存储结构

使用数组存放结点，只适合完全二叉树 / 堆。 普通二叉树不适合顺序存储：会大量空位，数组空间浪费严重。

优点：不用指针，下标直接找父子，缓存友好。 缺点：非完全二叉树空间利用率极低。

2.4.2 链式存储结构

最常用，二叉链表。

typedef struct BTNode
{
    int data;
    struct BTNode* lchild;
    struct BTNode* rchild;
}BTNode;

每个结点存数据、左孩子指针、右孩子指针。 大部分二叉树算法（遍历、求高度、找结点）都基于链式存储。

2.5 二叉树顺序存储 ------ 堆

堆本质就是完全二叉树的数组实现。分为大根堆、小根堆。

2.5.1 堆的定义

• 小根堆：父结点 ≤ 左右孩子结点，堆顶（数组下标 0）是整堆最小值。
• 大根堆：父结点 ≥ 左右孩子结点，堆顶是整堆最大值。

注意：堆只保证父子大小关系，不保证整棵树有序，左右孩子之间没有大小约束。

2.5.2 堆两大核心算法：向上调整 AdjustUp、向下调整 AdjustDown

1. AdjustUp 向上调整（插入用） 新元素放在数组末尾，不断和父节点比较；如果不满足堆规则，交换，一直向上，直到符合堆条件。对应堆的插入操作。
2. AdjustDown 向下调整（删除、建堆用） 父节点和左右孩子比较，选出符合堆规则的孩子，交换；向下递归，直到满足堆条件。

2.5.3 堆的插入

1. 数据放到数组末尾
2. size++
3. 调用 AdjustUp 向上调整

2.5.4 堆的删除（删除堆顶）

1. 堆顶和数组最后一个元素交换
2. size--（逻辑删除末尾）
3. 对堆顶位置调用 AdjustDown 向下调整

不会直接删除数组头部，直接删头部数组挪动代价很大，交换末尾元素是堆删除的精髓。

2.5.5 堆的应用

1. 堆排序：利用大根堆小根堆做排序
2. TopK 问题：海量数据找最大 / 最小前 K 个元素
3. 优先级队列，操作系统任务调度优先队列底层就是堆