【电子战】 第01篇：噪声、门限与虚警/检测概率（PFA/PD）【含matlab代码】

第01篇：噪声、门限与虚警/检测概率（PFA/PD）

一、作用：检测器在做什么？

在电子战和雷达系统中，接收机面前永远摆着一个核心问题：这段信号里到底有没有目标？

接收机天线拾取到的信号，几乎永远混杂着噪声。检测器的任务，就是根据一段观测数据，判决"有信号"（H₁）还是"只有噪声"（H₀）。这个二元假设检验问题，构成了所有信号检测理论的基石。

然而，判决不可能永远正确。两种错误不可避免：

• 虚警（False Alarm） ：实际上只有噪声，却判决为有信号
• 漏检（Missed Detection） ：实际上有信号，却判决为只有噪声

本篇博客要解决的核心问题是：给定一个虚警概率的要求，门限应该设在哪里？对应的检测概率又是多少？

这就是Neyman-Pearson准则的精髓------在约束虚警概率的前提下，最大化检测概率。

二、原理：数学上发生了什么？

2.1 噪声服从什么分布？

假设噪声是零均值复高斯白噪声，实部和虚部独立同分布，方差各为σ2/2\sigma^2/2σ2/2。对MMM个独立同分布的复噪声样本求平方和：

Z=∑i=1M∣ni∣2=∑i=1Mℜ(ni)2+ℑ(ni)2 Z = \sum_{i=1}^{M} |n_i|^2 = \sum_{i=1}^{M} \left \\Re(n_i)\^2 + \\Im(n_i)\^2 \\right Z=i=1∑M∣ni∣2=i=1∑Mℜ(ni)2+ℑ(ni)2

每个样本的实部和虚部平方和服从自由度为2的卡方分布，MMM个样本加起来就服从自由度为2M2M2M的中心卡方分布。

2.2 有信号时服从什么分布？

当存在确定信号时，每个样本的均值不再为零。此时ZZZ服从自由度为2M2M2M、非中心参数为λ=2M⋅ξ\lambda = 2M \cdot \xiλ=2M⋅ξ的非中心卡方分布 ，其中ξ\xiξ是信噪比。

2.3 检测概率与虚警概率的闭式表达

• 虚警概率 PFAP_{FA}PFA：噪声超过门限η\etaη的概率

PFA=Qχ2M2(η) P_{FA} = Q_{\chi^2_{2M}}(\eta) PFA=Qχ2M2(η)

其中Qχ2Q_{\chi^2}Qχ2是中心卡方分布的右尾概率。

• 检测概率 PDP_DPD：有信号时超过门限η\etaη的概率

PD=Qχ2M2(λ)(η) P_D = Q_{\chi^2_{2M}(\lambda)}(\eta) PD=Qχ2M2(λ)(η)

其中Qχ2(λ)Q_{\chi^2(\lambda)}Qχ2(λ)是非中心卡方分布的右尾概率。

2.4 门限怎么定？

给定PFAP_{FA}PFA，门限η\etaη由中心卡方分布的分位数决定：

KaTeX parse error: Double superscript at position 20: ...a = \chi^2_{2M}^̲{-1}(1 - P_{FA}...

然后在相同门限下计算PDP_DPD。

三、完整代码（可直接运行）

%% ========================================================================
% 第01篇：噪声、门限与虚警/检测概率（PFA/PD）
% 完整可运行代码
% 基于：ch2_drawFigures（图2.2、2.3）、ex2_2
% ========================================================================

clear; close all; clc;

%% 参数设置
M = [1, 10, 100];           % 积累点数（时间带宽积）
PFA_target = 1e-6;          % 目标虚警概率
xi_dB = -20:0.1:20;         % SNR范围（dB）
xi_lin = 10.^(xi_dB/10);    % SNR线性值

%% 计算门限与检测概率（解析解）
% 使用ndgrid生成M和xi的所有组合
[MM, XI] = ndgrid(M, xi_lin);

% 计算门限（中心卡方分布的分位数）
eta = chi2inv(1 - PFA_target, 2*MM);

% 计算检测概率（非中心卡方分布的右尾概率）
lambda = 2 * MM .* XI;      % 非中心参数
PD = 1 - ncx2cdf(eta, 2*MM, lambda);

%% 蒙特卡洛验证（可选，仅演示M=1情况）
nMC = 10000;
M_mc = 1;
snr_test_db = -10:2:10;
snr_test_lin = 10.^(snr_test_db/10);

PD_mc = zeros(size(snr_test_lin));
for idx = 1:length(snr_test_lin)
    % 生成噪声（复高斯）
    noise = (1/sqrt(2)) * (randn(M_mc, nMC) + 1i*randn(M_mc, nMC));
    % 生成信号（单位功率，相位随机）
    signal = (1/sqrt(2)) * (randn(M_mc, nMC) + 1i*randn(M_mc, nMC));
    signal = signal * sqrt(snr_test_lin(idx));  % 按SNR缩放
    
    % 接收信号 = 信号 + 噪声
    y = signal + noise;
    
    % 平方律检测器输出：能量
    z = sum(abs(y).^2, 1);
    
    % 判决：超过门限则判为检测到
    threshold = chi2inv(1 - PFA_target, 2*M_mc);
    detections = z > threshold;
    PD_mc(idx) = sum(detections) / nMC;
end

%% 绘制结果
figure('Position', [100, 100, 800, 600]);

% 子图1：P_D vs SNR（不同M值）
subplot(2,2,1);
plot(xi_dB, PD, 'LineWidth', 2);
xlabel('SNR $\xi$ [dB]', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('检测概率 $P_D$', 'Interpreter', 'latex');
title(['$P_{FA} = 10^{' num2str(log10(PFA_target)) '}$'], 'Interpreter', 'latex');
legend(arrayfun(@(x) sprintf('M = %d', x), M, 'UniformOutput', false), ...
       'Location', 'southeast');
grid on;
xlim([-20, 20]);
ylim([0, 1]);

% 子图2：门限 vs M
subplot(2,2,2);
semilogy(M, chi2inv(1 - PFA_target, 2*M), 'ko-', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8);
xlabel('积累点数 $M$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('门限 $\eta$', 'Interpreter', 'latex');
title('门限随M的变化');
grid on;

% 子图3：不同PFA下的P_D曲线
subplot(2,2,3);
PFA_set = [1e-6, 1e-4, 1e-2];
colors = lines(length(PFA_set));
M_plot = 10;
for idx = 1:length(PFA_set)
    eta_tmp = chi2inv(1 - PFA_set(idx), 2*M_plot);
    lambda_tmp = 2 * M_plot * xi_lin;
    PD_tmp = 1 - ncx2cdf(eta_tmp, 2*M_plot, lambda_tmp);
    plot(xi_dB, PD_tmp, 'Color', colors(idx,:), 'LineWidth', 2);
    hold on;
end
xlabel('SNR $\xi$ [dB]', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('检测概率 $P_D$', 'Interpreter', 'latex');
title(['$M = ' num2str(M_plot) '$'], 'Interpreter', 'latex');
legend(arrayfun(@(x) sprintf('$P_{FA} = 10^{%d}$', log10(x)), PFA_set, ...
       'UniformOutput', false), 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'southeast');
grid on;
xlim([-20, 20]);
ylim([0, 1]);

% 子图4：解析解 vs 蒙特卡洛
subplot(2,2,4);
% 解析解（M=1）
eta_mc = chi2inv(1 - PFA_target, 2);
lambda_mc = 2 * snr_test_lin;
PD_analytic = 1 - ncx2cdf(eta_mc, 2, lambda_mc);
plot(snr_test_db, PD_analytic, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '解析解');
hold on;
plot(snr_test_db, PD_mc, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 1.5, ...
     'DisplayName', '蒙特卡洛');
xlabel('SNR $\xi$ [dB]', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('检测概率 $P_D$', 'Interpreter', 'latex');
title(['$M = 1, P_{FA} = 10^{' num2str(log10(PFA_target)) '}$, 蒙特卡洛验证'], ...
       'Interpreter', 'latex');
legend('Location', 'southeast');
grid on;
xlim([-10, 10]);
ylim([0, 1]);

%% 导出图片
% exportgraphics(gcf, 'fig_detection_basics.png', 'Resolution', 300);

四、代码讲解：为什么这么写？

4.1 整体结构

代码分为四个层次：

1. 参数定义 ：积累点数MMM、虚警概率PFAP_{FA}PFA、SNR范围
2. 解析计算：利用卡方分布计算门限和检测概率
3. 蒙特卡洛验证：用随机仿真验证解析结果的正确性
4. 可视化：四个子图从不同角度展示检测性能

4.2 核心数学函数

eta = chi2inv(1 - PFA_target, 2*MM);

chi2inv是卡方分布的逆累积分布函数 （分位数函数）。给定右尾概率PFAP_{FA}PFA，返回对应的门限η\etaη。这是Neyman-Pearson准则的核心操作------先定虚警，再求门限。

PD = 1 - ncx2cdf(eta, 2*MM, lambda);

ncx2cdf是非中心卡方分布的累积分布函数 。1 - cdf就是右尾概率，即检测概率PDP_DPD。非中心参数λ=2Mξ\lambda = 2M\xiλ=2Mξ体现了信噪比的影响------信噪比越高，分布越向右偏移，检测概率越大。

⚠️ 注意 ：chi2inv和ncx2cdf来自MATLAB的Statistics and Machine Learning Toolbox。如果没有该工具箱，原书代码提供了utils.chi2inv和utils.ncx2cdf作为替代实现。

4.3 为什么要用ndgrid？

[MM, XI] = ndgrid(M, xi_lin);

ndgrid将MMM和ξ\xiξ的所有组合展开成矩阵，使得我们可以一次性计算所有参数组合下的门限和检测概率，无需写双层for循环。这是MATLAB向量化编程的典型技巧，既简洁又高效。

4.4 蒙特卡洛验证模块

noise = (1/sqrt(2)) * (randn(M_mc, nMC) + 1i*randn(M_mc, nMC));
signal = (1/sqrt(2)) * (randn(M_mc, nMC) + 1i*randn(M_mc, nMC));
signal = signal * sqrt(snr_test_lin(idx));

复高斯噪声的构造：实部和虚部各用randn生成，乘以1/21/\sqrt{2}1/2 使总功率为1。信号同样构造为单位功率，再按SNR缩放。

z = sum(abs(y).^2, 1);

这就是平方律检测器 的核心------取模平方后求和。为什么叫"平方律"？因为输出与输入幅度的平方成正比。

4.5 四子图的设计意图

子图	内容	教学目的
左上	PDP_DPD vs SNR，不同MMM	展示积累增益：MMM越大，曲线越陡
右上	门限 vs MMM	展示MMM对门限的影响
左下	PDP_DPD vs SNR，不同PFAP_{FA}PFA	展示虚警概率与检测概率的权衡
右下	解析解 vs 蒙特卡洛	验证理论公式的正确性

这正是原书图2.2、2.3和ex2_2所展示的内容。

五、运行结果解读

运行代码后，你会看到：

1. 左上图 ：M=1M=1M=1时曲线最平缓，M=100M=100M=100时曲线最陡。这说明积累点数越多，检测性能越好------这是时间带宽积（TBWP）带来的处理增益。

2. 右上图 ：门限随MMM增大而升高。因为积累的能量更多，噪声的统计幅度更大，门限自然要上调才能维持相同的虚警概率。

3. 左下图 ：PFAP_{FA}PFA越低（如10−610^{-6}10−6），曲线越靠右。更低的虚警概率意味着更高的门限，从而需要更高的信噪比才能达到相同的检测概率------这就是检测性能的基本权衡。

4. 右下图：红色圆点（蒙特卡洛）紧密贴合蓝色曲线（解析解），验证了理论公式的正确性。

六、延伸思考

1. 如果MMM不是整数怎么办？ 实际中M=BTM = BTM=BT（带宽×脉冲宽度），通常是整数。如果非整数，可以用伽马分布近似。

2. 如果信号是起伏的（Swerling模型）怎么办？ 此时信号幅度本身是随机的，检测概率需要对信号分布再做一次平均。原书第3章对此有详细讨论。

3. 实际系统中如何估计噪声功率？ 这就是CFAR（恒虚警）技术要解决的问题------从参考单元中实时估计噪声功率，动态调整门限。我们将在第03篇中详细讨论。

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下一篇预告（第02篇）：能量检测器 vs. 相关检测器

当信号波形已知时，相关检测器能获得比能量检测器更好的性能。我们将从交叉相关器的原理出发，推导其检测概率公式，并用MATLAB复现原书图4.6的经典对比曲线。