声学感知基础：Day2（1）.Chirp信号

Chirp 信号

一、什么是 Chirp 信号？

Chirp 是一种频率随时间连续变化的信号。

普通单频信号的频率始终不变，例如：

1000 Hz→1000 Hz→1000 Hz 1000\ \mathrm{Hz}\rightarrow1000\ \mathrm{Hz}\rightarrow1000\ \mathrm{Hz} 1000 Hz→1000 Hz→1000 Hz

而一个从 18 kHz18\ \mathrm{kHz}18 kHz 扫描到 22 kHz22\ \mathrm{kHz}22 kHz 的 Chirp 信号，其频率变化为：

18 kHz→19 kHz→20 kHz→21 kHz→22 kHz 18\ \mathrm{kHz}\rightarrow19\ \mathrm{kHz}\rightarrow20\ \mathrm{kHz} \rightarrow21\ \mathrm{kHz}\rightarrow22\ \mathrm{kHz} 18 kHz→19 kHz→20 kHz→21 kHz→22 kHz

Chirp 也常被称为：

啁啾信号；
扫频信号；
线性调频信号；
Linear Frequency Modulated Signal，简称 LFM 信号。

"啁啾"这个名称来自鸟叫，因为鸟叫的音调经常会由低到高或由高到低变化。

二、先复习什么是频率

频率表示信号在一秒内完成振动的次数，单位是赫兹（Hz）。

例如：

f=1000 Hz f=1000\ \mathrm{Hz} f=1000 Hz

表示信号每秒完成 100010001000 次振动。

一个频率固定的余弦信号可以写成：

x(t)=Acos⁡(2πft+φ) x(t)=A\cos(2\pi ft+\varphi) x(t)=Acos(2πft+φ)

其中：

符号	含义
AAA	振幅，表示信号强弱
fff	频率，单位为 Hz
ttt	时间，单位为 s
φ\varphiφ	初始相位
2πft+φ2\pi ft+\varphi2πft+φ	信号在 ttt 时刻的相位

例如：

x(t)=cos⁡(2π×1000t) x(t)=\cos(2\pi\times1000t) x(t)=cos(2π×1000t)

表示一个频率始终为 1000 Hz1000\ \mathrm{Hz}1000 Hz 的信号。

三、Chirp 的核心：频率随时间变化

最常见的是线性 Chirp，其瞬时频率为：

f(t)=f0+kt \boxed{f(t)=f_0+kt} f(t)=f0+kt

其中：

符号	含义	单位
f(t)f(t)f(t)	ttt 时刻的瞬时频率	Hz
f0f_0f0	Chirp 的起始频率	Hz
kkk	扫频速率，也称 Chirp slope	Hz/s
ttt	从 Chirp 开始计算的时间	s

扫频速率 kkk 为：

k=BT=f1−f0T \boxed{k=\frac{B}{T}=\frac{f_1-f_0}{T}} k=TB=Tf1−f0

其中：

f0f_0f0：起始频率；
f1f_1f1：结束频率；
B=f1−f0B=f_1-f_0B=f1−f0：带宽；
TTT：一个 Chirp 的持续时间。

示例

假设手机播放一个 Chirp：

起始频率：18 kHz18\ \mathrm{kHz}18 kHz；
结束频率：22 kHz22\ \mathrm{kHz}22 kHz；
持续时间：40 ms40\ \mathrm{ms}40 ms。

带宽为：

B=22000−18000=4000 Hz B=22000-18000=4000\ \mathrm{Hz} B=22000−18000=4000 Hz

因为：

40 ms=0.04 s 40\ \mathrm{ms}=0.04\ \mathrm{s} 40 ms=0.04 s

所以扫频速率为：

k=40000.04=100000 Hz/s k=\frac{4000}{0.04}=100000\ \mathrm{Hz/s} k=0.044000=100000 Hz/s

该 Chirp 的瞬时频率为：

f(t)=18000+100000t f(t)=18000+100000t f(t)=18000+100000t

时间	瞬时频率
t=0t=0t=0	18 kHz18\ \mathrm{kHz}18 kHz
t=0.01 st=0.01\ \mathrm{s}t=0.01 s	19 kHz19\ \mathrm{kHz}19 kHz
t=0.02 st=0.02\ \mathrm{s}t=0.02 s	20 kHz20\ \mathrm{kHz}20 kHz
t=0.03 st=0.03\ \mathrm{s}t=0.03 s	21 kHz21\ \mathrm{kHz}21 kHz
t=0.04 st=0.04\ \mathrm{s}t=0.04 s	22 kHz22\ \mathrm{kHz}22 kHz

因此，它在 40 ms40\ \mathrm{ms}40 ms 内均匀地从 18 kHz18\ \mathrm{kHz}18 kHz 扫描到了 22 kHz22\ \mathrm{kHz}22 kHz。

四、线性 Chirp 的完整波形公式

这是一个非常容易写错的地方。

已知 Chirp 的瞬时频率为：

f(t)=f0+kt f(t)=f_0+kt f(t)=f0+kt

但不能简单地把它代入 2πft2\pi ft2πft，写成：

cos⁡(2π(f0+kt)t) \cos\left(2\pi(f_0+kt)t\right) cos(2π(f0+kt)t)

因为频率在不断变化，相位应当通过对频率积分得到：

ϕ(t)=2π∫0tf(τ) dτ+ϕ0 \phi(t)=2\pi\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau+\phi_0 ϕ(t)=2π∫0tf(τ)dτ+ϕ0

代入 f(τ)=f0+kτf(\tau)=f_0+k\tauf(τ)=f0+kτ：

ϕ(t)=2π∫0t(f0+kτ) dτ+ϕ0=2π(f0t+12kt2)+ϕ0 \begin{aligned} \phi(t) &=2\pi\int_0^t(f_0+k\tau)\,\mathrm{d}\tau+\phi_0\\ &=2\pi\left(f_0t+\frac{1}{2}kt^2\right)+\phi_0 \end{aligned} ϕ(t)=2π∫0t(f0+kτ)dτ+ϕ0=2π(f0t+21kt2)+ϕ0

因此，线性 Chirp 的完整波形为：

x(t)=Acos⁡ $2π(f0t+12kt2)+ϕ0$ \boxed{ x(t)=A\cos\left $2\\pi\\left(f_0t+\\frac{1}{2}kt\^2\\right)+\\phi_0\\right$ } x(t)=Acos $2π(f0t+21kt2)+ϕ0$

现阶段只需要记住：

频率是相位随时间的变化速度。

两者的数学关系为：

f(t)=12πdϕ(t)dt \boxed{f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}} f(t)=2π1dtdϕ(t)

五、上扫频与下扫频

1. 上扫频 Chirp

频率由低到高，例如：

18 kHz→22 kHz 18\ \mathrm{kHz}\rightarrow22\ \mathrm{kHz} 18 kHz→22 kHz

此时：

k>0 k>0 k>0

2. 下扫频 Chirp

频率由高到低，例如：

22 kHz→18 kHz 22\ \mathrm{kHz}\rightarrow18\ \mathrm{kHz} 22 kHz→18 kHz

此时：

k<0 k<0 k<0

在时频图中：

上扫频通常表现为一条向右上方延伸的斜线；
下扫频通常表现为一条向右下方延伸的斜线。

六、Chirp 为什么能够用于声学感知？

声学感知的基本过程是：

扬声器发射 Chirp；
声波传播到人体或物体；
人体或物体反射声波；
麦克风接收回波；
系统从回波中估计目标距离和运动。

假设发射信号为 s(t)s(t)s(t)，目标距离为 RRR。声波经历的往返路程是 2R2R2R，因此传播延迟为：

τ=2Rc \boxed{\tau=\frac{2R}{c}} τ=c2R

其中 ccc 是声速，在常温空气中近似为：

c≈343 m/s c\approx343\ \mathrm{m/s} c≈343 m/s

接收的回波可以简化为：

r(t)=αs(t−τ) r(t)=\alpha s(t-\tau) r(t)=αs(t−τ)

其中：

τ\tauτ：回波的传播延迟；
α\alphaα：信号经过传播和反射后的衰减系数。

只要能够估计出 τ\tauτ，就可以计算目标距离：

R=cτ2 \boxed{R=\frac{c\tau}{2}} R=2cτ

之所以除以 222，是因为声波经历了"去"和"回"两段路程。

七、Chirp 如何把传播延迟转化为拍频？

这是 Chirp 测距的核心原理。

发射信号的瞬时频率不断升高：

ftx(t)=f0+kt f_{\mathrm{tx}}(t)=f_0+kt ftx(t)=f0+kt

回波延迟了 τ\tauτ，因此接收信号对应的是更早时刻发出的频率：

frx(t)=f0+k(t−τ) f_{\mathrm{rx}}(t)=f_0+k(t-\tau) frx(t)=f0+k(t−τ)

将发射信号和接收信号进行混频，可以得到两者的频率差：

fb=ftx−frx f_b=f_{\mathrm{tx}}-f_{\mathrm{rx}} fb=ftx−frx

代入后得到：

fb=(f0+kt)− $f0+k(t-τ)$ =kτ \begin{aligned} f_b &=(f_0+kt)-\left $f_0+k(t-\\tau)\\right$ \\ &=k\tau \end{aligned} fb=(f0+kt)− $f0+k(t-τ)$ =kτ

因此：

fb=kτ \boxed{f_b=k\tau} fb=kτ

fbf_bfb 称为：

Beat frequency；
拍频；
差频。

由此可得：

τ=fbk \tau=\frac{f_b}{k} τ=kfb

再结合 R=cτ/2R=c\tau/2R=cτ/2，得到：

R=cfb2k \boxed{R=\frac{cf_b}{2k}} R=2kcfb

示例

假设：

k=100000 Hz/s k=100000\ \mathrm{Hz/s} k=100000 Hz/s

经过混频后测得拍频为：

fb=100 Hz f_b=100\ \mathrm{Hz} fb=100 Hz

传播延迟为：

τ=fbk=100100000=0.001 s \tau=\frac{f_b}{k}=\frac{100}{100000}=0.001\ \mathrm{s} τ=kfb=100000100=0.001 s

目标距离为：

R=343×0.0012=0.1715 m R=\frac{343\times0.001}{2}=0.1715\ \mathrm{m} R=2343×0.001=0.1715 m

即：

R≈17.15 cm \boxed{R\approx17.15\ \mathrm{cm}} R≈17.15 cm

因此，系统不一定需要直接测量极短的传播时间，而可以通过测量拍频间接估计距离。

**说明：**上述拍频公式基于理想静止目标和线性扫频模型。目标运动、多径传播以及收发不同步等因素，会使实际信号更加复杂。

八、Chirp 相比单频信号有什么优势？

假设只播放一个 20 kHz20\ \mathrm{kHz}20 kHz 的单频信号：

x(t)=cos⁡(2π×20000t) x(t)=\cos(2\pi\times20000t) x(t)=cos(2π×20000t)

反射回来的信号仍然是 20 kHz20\ \mathrm{kHz}20 kHz，只是到达时间更晚、振幅更小，并且相位发生变化。

单频信号可以非常灵敏地测量相位变化，因此适合检测呼吸、振动等微小位移；但是，仅根据一个频率通常很难明确判断回波来自哪个距离。

Chirp 覆盖一段频率范围，例如：

18 kHz∼22 kHz 18\ \mathrm{kHz}\sim22\ \mathrm{kHz} 18 kHz∼22 kHz

经过匹配滤波、相关运算或解调后，可以将不同传播延迟映射到不同的距离位置。

对比维度	单频信号	Chirp 信号
频率	固定	随时间变化
占用带宽	很窄	较宽
距离分辨能力	较弱	较强
微小相位变化检测	很灵敏	同样可以利用
区分不同距离目标	比较困难	更容易
抗噪能力	能量集中在单个频率	可通过相关处理积累能量

可以简单记成：

单频信号擅长感受"有没有微小变化"，Chirp 更擅长判断"变化发生在哪个距离"。

九、带宽与距离分辨率的关系

在理想宽带测距模型下，Chirp 的距离分辨率近似为：

ΔR≈c2B \boxed{\Delta R\approx\frac{c}{2B}} ΔR≈2Bc

其中：

ΔR\Delta RΔR：距离分辨率；
ccc：声速；
BBB：Chirp 的有效带宽。

假设：

B=4000 Hz B=4000\ \mathrm{Hz} B=4000 Hz

则：

ΔR≈3432×4000≈0.0429 m \Delta R\approx\frac{343}{2\times4000}\approx0.0429\ \mathrm{m} ΔR≈2×4000343≈0.0429 m

即：

ΔR≈4.29 cm \boxed{\Delta R\approx4.29\ \mathrm{cm}} ΔR≈4.29 cm

如果带宽增加到 8000 Hz8000\ \mathrm{Hz}8000 Hz：

ΔR≈3432×8000≈2.14 cm \Delta R\approx\frac{343}{2\times8000}\approx2.14\ \mathrm{cm} ΔR≈2×8000343≈2.14 cm

因此：

带宽越大，距离分辨能力通常越强。 \boxed{\text{带宽越大，距离分辨能力通常越强。}} 带宽越大，距离分辨能力通常越强。

需要注意，"分辨率越高"意味着 ΔR\Delta RΔR 的数值越小。例如，2 cm2\ \mathrm{cm}2 cm 的距离分辨率优于 5 cm5\ \mathrm{cm}5 cm，因为它更有能力区分距离相近的反射目标。

十、Chirp 在研究路线中的作用

计划中的声学感知流程为：

Chirp→胸腔反射→Range--Time Map→静态分量去除→Transformer/Mamba→呼吸与心跳 \text{Chirp} \rightarrow\text{胸腔反射} \rightarrow\text{Range--Time Map} \rightarrow\text{静态分量去除} \rightarrow\text{Transformer/Mamba} \rightarrow\text{呼吸与心跳} Chirp→胸腔反射→Range--Time Map→静态分量去除→Transformer/Mamba→呼吸与心跳

在这个流程中，Chirp 主要负责三件事：

1. 主动探测

扬声器主动发射已知信号，不需要人体自己发出声音。

2. 距离定位

根据回波的传播延迟或拍频，判断反射来自哪个距离。

3. 捕捉胸腔运动

胸腔的呼吸和心跳会引起反射路径长度变化，进而造成回波的距离、相位或幅度变化。

连续发射多个 Chirp 后，每个 Chirp 都可以产生一条距离剖面（Range Profile）：

Chirp1→Range Profile1 \mathrm{Chirp}_1\rightarrow\mathrm{Range\ Profile}_1 Chirp1→Range Profile1

Chirp2→Range Profile2 \mathrm{Chirp}_2\rightarrow\mathrm{Range\ Profile}_2 Chirp2→Range Profile2

Chirp3→Range Profile3 \mathrm{Chirp}_3\rightarrow\mathrm{Range\ Profile}_3 Chirp3→Range Profile3

将这些距离剖面按照采集时间排列，就形成 Range--Time Map：

横轴：采集时间，也称慢时间；
纵轴：距离；
像素强度：相应距离位置的反射强度或其他回波特征。

Range--Time Map 的形式很像一幅二维图像，因此后续可以结合已有的计算机视觉经验，使用 CNN、Transformer 或 Mamba 提取其中的时空特征。

十一、本节必须记住的五句话

Chirp 是频率随时间连续变化的信号。
线性 Chirp 的瞬时频率为：

f(t)=f0+kt f(t)=f_0+kt f(t)=f0+kt
扫频速率为：

k=BT k=\frac{B}{T} k=TB
在理想线性扫频模型中，传播延迟可以转化为拍频：

fb=kτ f_b=k\tau fb=kτ
带宽越大，理论距离分辨能力通常越强：

ΔR≈c2B \Delta R\approx\frac{c}{2B} ΔR≈2Bc