【二叉树】LC 236.二叉树的最近公共祖先

文章目录

前言
一、题目
- 1、原题链接
- 2、题目描述
二、个人思路整理
- 1、思路分析
- 2、解题代码
三、知识风暴

前言

本专栏文章为《LeetCode 热题 100》的刷题题解，相关内容如有侵权，立即删除。

一、题目

1、原题链接

236.二叉树的最近公共祖先

2、题目描述

二、个人思路整理

1、思路分析

递归函数的作用可以定义为：在以 root 为根的子树中，寻找节点 p 或 q，并返回找到的节点或它们的最近公共祖先。

根据后序遍历"自底向上"的特性，每个节点会汇总左右子树的搜索结果：

递归终止条件（Base Case）：
- 如果当前节点 root 为空，说明没找到，返回 nullptr。
- 如果当前节点 root 就是 p 或 q，直接返回 root（向上层汇报找到了目标）。
向左右子树递归（DFS）：

在左子树中查找：left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q)
在右子树中查找：right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q)

结果汇总与判断：
- left != nullptr 且 right != nullptr：说明 p 和 q 分别分布在当前节点的左子树和右子树中，因此当前节点 root 就是它们的最近公共祖先，直接返回 root。
- left != nullptr 且 right == nullptr：说明目标节点都在左子树，返回 left。
- left == nullptr 且 right != nullptr：说明目标节点都在右子树，返回 right。
- 左右都为空：说明该子树不包含 p 或 q，返回 nullptr。

2、解题代码

cpp 复制代码

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        // 1. 终止条件：到达空节点，或者找到了 p / q
        if (root == nullptr || root == p || root == q) {
            return root;
        } 

        // 2. 分别在左右子树递归查找
        TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);

        // 3. 左右子树各找到一个，当前节点即为 LCA
        if (left != nullptr && right != nullptr) {
            return root;
        }

        // 4. 只有一侧找到了目标（或LCA），向上传递非空的那一侧
        return left != nullptr ? left : right;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( N ) O(N) O(N)，其中 N N N 是二叉树的节点数。最坏情况下需要遍历整棵树的所有节点。

空间复杂度： O ( N ) O(N) O(N)，递归栈的深度取决于树的高度。最坏情况下（树退化为链表）为 O ( N ) O(N) O(N)，平均情况下（平衡树）为 O ( log ⁡ N ) O(\log N) O(logN)。

三、知识风暴

后序遍历（Postorder Traversal） 是本题的核心：最近公共祖先问题本质上依赖"自底向上"的搜索，即先处理左右子树，再根据左右子树的搜索结果判断当前节点是否为公共祖先。后序遍历的顺序是 左 -> 右 -> 根，这种"先子树、后根"的特性，天然契合本题需要先收集子树信息再汇总判断的需求。

算法核心思想：

自底向上搜索 ：递归函数先深入左右子树查找 p 和 q，再回到当前节点汇总结果，这正是后序遍历的天然顺序。
左右子树汇总判断：若左右子树各找到一个目标节点，则当前节点即为最近公共祖先；若只有一侧找到，则向上传递找到的那一侧。
终止条件即答案 ：当节点为空或节点本身就是 p / q 时直接返回，这种"遇到即返回"的策略简化了边界处理。

常见对比：递归 vs 迭代（显式栈）

递归（后序 DFS） ：这是本题最直观的解法，利用递归调用栈天然保存了回溯路径，代码简洁清晰；但空间复杂度为 O ( h ) O(h) O(h)（ h h h 为树高），最坏情况下（退化为链表）递归深度为 O ( n ) O(n) O(n)，存在栈溢出风险。
迭代（显式栈 + 标记） ：用栈模拟后序遍历，需要额外标记每个节点的访问状态（如 pair<TreeNode*, bool>），以区分"首次入栈"和"左右子树处理完毕"两个阶段，实现相对繁琐但避免了系统递归栈的开销。
迭代（哈希表记录父节点） ：这是另一种经典思路。先通过一次 BFS/DFS 遍历，用 unordered_map 记录每个节点的父节点，然后从 p 出发向上标记祖先链，再从 q 出发向上查找第一个被标记的节点即为 LCA。空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，但思路更直观、易于理解。

哈希表记录父节点思想：

核心思想 ：遍历整棵树，建立 节点 -> 父节点 的映射表，从而获得从任意节点到根节点的"向上路径"。
与本题的联系 ：最近公共祖先本质上是 p 和 q 两条向上路径的第一个交汇点。先标记 p 的所有祖先，再让 q 向上走，遇到的第一个已标记节点即为答案。
注意事项 ：该方法需要额外的 O ( n ) O(n) O(n) 空间存储父节点映射，且需要两次遍历（一次建表、一次查找），但胜在逻辑清晰、不易出错，适合作为递归解法的补充理解。

使用要点：

后序递归框架：先递归处理左右子树，再对左右结果做逻辑判断，这是本题递归解法的核心模板，务必牢记。
"遇到即返回"的剪枝 ：当 root 为 p 或 q 时直接返回，无需继续向下递归，因为若另一个目标在下方，当前节点就是它们的 LCA。
空节点处理 ：递归基中 root == nullptr 返回 nullptr，作为搜索失败的兜底，保证递归能正常回溯。
结果传递：左右子树返回的非空结果向上层传递，最终在首个左右都非空的节点处汇聚成答案。

算法变体与扩展：

二叉搜索树的最近公共祖先（LeetCode 235） ：利用 BST 的有序性，通过比较节点值大小即可在 O ( h ) O(h) O(h) 时间内定位 LCA，无需遍历整棵树，可与本题的通用解法对比理解。
二叉树的层序遍历（LeetCode 102）：与本题的深度优先搜索不同，层序遍历采用广度优先，可对比理解树的两种遍历方式。
二叉树的最大深度（LeetCode 104）：同样是后序遍历的经典应用，通过递归计算左右子树深度并取最大值，可加深对"自底向上"思想的理解。
二叉树的所有路径（LeetCode 257）：通过 DFS 记录从根到叶子的路径，与本题"向上路径"的思路互为镜像，可对比理解路径类问题的两种处理方向。

相关 LeetCode 例题：

235. 二叉搜索树的最近公共祖先（利用 BST 有序性优化）
102. 二叉树的层序遍历（广度优先遍历对比）
104. 二叉树的最大深度（后序遍历求深度）
257. 二叉树的所有路径（DFS 路径记录对比）