Lyapunov方程系统本身稳定性判定与镇定性判定

Lyapunov方程系统本身稳定性判定与镇定性判定

• 连续时间系统
• • 连续时不变系统
  • • 连续时不变系统本身稳定性判定
    • 连续时不变系统可达性、能控性
    • • 连续时不变系统可达性、能控性定义
      • 连续时不变系统可达性、能控性判据
    • 连续时变系统本身稳定性判定
• 离散时间系统
• • 离散时不变系统
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    • • [离散时变自治系统 Lyapunov差分方程求解示例](#离散时变自治系统 Lyapunov差分方程求解示例)

连续时间系统

连续时不变系统

连续时不变系统本身稳定性判定

考虑系统 x ˙ = A x , (1) \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x},\tag{1} x˙=Ax,(1)令Lyapunov函数 V ( x ) = x T P x , (2) V(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^TP\boldsymbol{x},\tag{2} V(x)=xTPx,(2)对Lyapunov函数求导 V ˙ = x ˙ T P x + x T P x ˙ = x T A T P x + x T P A x , \dot{V}=\dot{\boldsymbol{x}}^TP\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^TP\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}^TA^TP\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^TPA\boldsymbol{x}, V˙=x˙TPx+xTPx˙=xTATPx+xTPAx,选取一个正定矩阵 Q Q Q，令 V ˙ = − x T Q x \dot{V}=-\boldsymbol{x}^TQ\boldsymbol{x} V˙=−xTQx，此时则有Lyapunov代数方程 A T P + P A = − Q , (3) A^TP+PA=-Q,\tag{3} ATP+PA=−Q,(3)求解上述Lyapunov代数方程，若所求矩阵 P P P为正定阵，则满足Lyapunov稳定性判定定理，验证系统（1）的渐近稳定性。

连续时不变系统可达性、能控性

连续时不变系统可达性、能控性定义

考虑系统 x ˙ = A x + B u , (4) \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u},\tag{4} x˙=Ax+Bu,(4)

可达性定义： 称状态 x f \boldsymbol{x}_f xf在区间 0 , t 1 0,t_1 0,t1 上可达，如果存在分段连续输入 u ( ⋅ ) \boldsymbol{u}(\cdot) u(⋅)使得系统从原点（平衡点） x ( 0 ) = 0 \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{0} x(0)=0 出发，在时刻 t 1 > 0 t_1>0 t1>0 到达 x ( t 1 ) = x f \boldsymbol{x}(t_1)=\boldsymbol{x}_f x(t1)=xf， x f \boldsymbol{x}_f xf 为指定系统状态。

全体可达状态构成可达子空间 R \mathcal{R} R。若 R = R n \mathcal{R}=\mathbb{R}^n R=Rn，则称系统完全可达。

能控性定义： 称系统在状态在区间 0 , t 1 0,t_1 0,t1 上能控，如果对任意初始状态 x 0 = x ( 0 ) \boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}(0) x0=x(0)，存在分段连续输入 u ( ⋅ ) \boldsymbol{u}(\cdot) u(⋅)，使得系统在时刻 t 1 > 0 t_1>0 t1>0 被驱动到原点（平衡点） x ( t 1 ) = 0 \boldsymbol{x}(t_1)=\boldsymbol{0} x(t1)=0。

若对任意初始状态都能做到，称系统完全能控。

连续时不变系统可达性、能控性判据

连续时不变系统的完全可达性与完全能控性等价。

证明：

定义于区间 t 0 , t f t_0,t_f t0,tf上的系统，可达格拉姆矩阵为： W R ( t 0 , t f ) = ∫ t 0 t f Φ ( t f , τ ) B B T Φ T ( t f , τ ) d τ W_R(t_0,t_f)=\int_{t_0}^{t_f}\Phi(t_f,\tau)BB^T\Phi^T(t_f,\tau)d\tau WR(t0,tf)=∫t0tfΦ(tf,τ)BBTΦT(tf,τ)dτ能控性格拉姆矩阵为： W C ( t 0 , t f ) = ∫ t 0 t f Φ ( t 0 , τ ) B B T Φ T ( t 0 , τ ) d τ W_C(t_0,t_f)=\int_{t_0}^{t_f}\Phi(t_0,\tau)BB^T\Phi^T(t_0,\tau)d\tau WC(t0,tf)=∫t0tfΦ(t0,τ)BBTΦT(t0,τ)dτ其中 Φ ( t , τ ) \Phi(t,\tau) Φ(t,τ)为状态转移矩阵。 Φ ( t , τ ) = e A ( t − τ ) \Phi(t,\tau)=e^{A(t-\tau)} Φ(t,τ)=eA(t−τ)。

补充： 矩阵指数性质： ( e A s ) T = e A T s 。 (e^{As})^T=e^{A^Ts}。 (eAs)T=eATs。结合上述可达格拉姆与能控格拉姆矩阵的定义求解如下：

W R ( t 0 , t f ) = ∫ t 0 t f Φ ( t f , τ ) B B T Φ T ( t f , τ ) d τ = ∫ t 0 t f e A ( t f − τ ) B B T ( e A ( t f − τ ) ) T d τ = ∫ t 0 t f e A ( t f − τ ) B B T e A T ( t f − τ ) d τ \begin{aligned} W_R(t_0,t_f) &= \int_{t_0}^{t_f}\Phi(t_f,\tau)BB^T\Phi^T(t_f,\tau)d\tau \\ &= \int_{t_0}^{t_f}e^{A(t_f-\tau)}BB^T(e^{A(t_f-\tau)})^Td\tau\\ &= \int_{t_0}^{t_f}e^{A(t_f-\tau)}BB^Te^{A^T(t_f-\tau)}d\tau\\ \end{aligned} WR(t0,tf)=∫t0tfΦ(tf,τ)BBTΦT(tf,τ)dτ=∫t0tfeA(tf−τ)BBT(eA(tf−τ))Tdτ=∫t0tfeA(tf−τ)BBTeAT(tf−τ)dτ令 s = t f − τ s=t_f-\tau s=tf−τ，则当 τ = t 0 \tau=t_0 τ=t0时， s = t f − t 0 s=t_f-t_0 s=tf−t0；当 τ = t f \tau=t_f τ=tf时， s = 0 s=0 s=0所以上述积分可转化为：

W R ( t 0 , t f ) = ∫ t f − t 0 0 e A s B B T e A T s d ( − s ) = − ∫ t f − t 0 0 e A s B B T e A T s d s = ∫ 0 t f − t 0 e A s B B T e A T s d s = ∫ t 0 t f e A s B B T e A T s d s \begin{aligned} W_R(t_0,t_f) &= \int_{t_f-t_0}^{0}e^{As}BB^Te^{A^Ts}d(-s)\\ &= -\int_{t_f-t_0}^{0}e^{As}BB^Te^{A^Ts}ds\\ &= \int_{0}^{t_f-t_0}e^{As}BB^Te^{A^Ts}ds\\ &= \int_{t_0}^{t_f}e^{As}BB^Te^{A^Ts}ds \end{aligned} WR(t0,tf)=∫tf−t00eAsBBTeATsd(−s)=−∫tf−t00eAsBBTeATsds=∫0tf−t0eAsBBTeATsds=∫t0tfeAsBBTeATsds类似上述计算方式，能控性矩阵可转化如下：

W C ( t 0 , t f ) = ∫ t 0 t f Φ ( t 0 , τ ) B B T Φ T ( t 0 , τ ) d τ = ∫ t 0 t f e A ( t 0 − τ ) B B T ( e A ( t 0 − τ ) ) T d τ = ∫ t 0 t f e A ( t 0 − τ ) B B T e A T ( t 0 − τ ) d τ \begin{aligned} W_C(t_0,t_f) &= \int_{t_0}^{t_f}\Phi(t_0,\tau)BB^T\Phi^T(t_0,\tau)d\tau \\ &= \int_{t_0}^{t_f}e^{A(t_0-\tau)}BB^T(e^{A(t_0-\tau)})^Td\tau\\ &= \int_{t_0}^{t_f}e^{A(t_0-\tau)}BB^Te^{A^T(t_0-\tau)}d\tau\\ \end{aligned} WC(t0,tf)=∫t0tfΦ(t0,τ)BBTΦT(t0,τ)dτ=∫t0tfeA(t0−τ)BBT(eA(t0−τ))Tdτ=∫t0tfeA(t0−τ)BBTeAT(t0−τ)dτ令 s = t 0 − τ s=t_0-\tau s=t0−τ，则当 τ = t 0 \tau=t_0 τ=t0时， s = 0 s=0 s=0；当 τ = t f \tau=t_f τ=tf时， s = t 0 − t f s=t_0-t_f s=t0−tf，所以上述积分可转化为：

W C ( t 0 , t f ) = ∫ 0 t 0 − t f e A s B B T e A T s d ( − s ) = − ∫ 0 t 0 − t f e A s B B T e A T s d s = ∫ t 0 − t f 0 e A s B B T e A T s d s = ∫ t 0 t f e A s B B T e A T s d s \begin{aligned} W_C(t_0,t_f) &= \int_{0}^{t_0-t_f}e^{As}BB^Te^{A^Ts}d(-s)\\ &= -\int_{0}^{t_0-t_f}e^{As}BB^Te^{A^Ts}ds\\ &= \int_{t_0-t_f}^{0}e^{As}BB^Te^{A^Ts}ds\\ &= \int_{t_0}^{t_f}e^{As}BB^Te^{A^Ts}ds \end{aligned} WC(t0,tf)=∫0t0−tfeAsBBTeATsd(−s)=−∫0t0−tfeAsBBTeATsds=∫t0−tf0eAsBBTeATsds=∫t0tfeAsBBTeATsds从而可知连续时不变系统的完全可达性与完全能控性等价。

1. 能控性矩阵判据

构造能控矩阵： C = B A B A 2 B . . . A n − 1 B ， \mathcal{C}=B \\ AB\\ A\^2B \\ ...\\ A\^{n-1}B， C=B AB A2B ... An−1B，若 r a n k ( C ) = n rank(\mathcal{C})=n rank(C)=n，则系统（4）完全能控。

若任何初始状态都能在 t 1 t_1 t1时刻归零，称系统在区间 t 0 , t 1 t_0,t_1 t0,t1完全能控。

2. PBH秩判据

系统（4）的系数矩阵 A A A的所有特征值 λ \lambda λ，满足 r a n k λ I − A , B = n rank\\lambda I-A, B=n rankλI−A,B=n则系统（4）能控。

3. Gram矩阵判据

(1) 连续无限时间可达Gram矩阵： W c = ∫ 0 ∞ e A τ B B T e A T τ d τ ， W_c=\int_0^\infty e^{A\tau}BB^Te^{A^T\tau}d\tau， Wc=∫0∞eAτBBTeATτdτ，无限时域情况下，只有当系数矩阵 A A A稳定，才能进行能控性判定，因为只有当 A A A稳定时，上述积分才能收敛，才能判定能控性。完全能控充要条件为 W C > 0 W_C>0 WC>0。同时可验证上述无限时间可达Gram矩阵满足连续Lyapunov方程： A W C + W C A T = − B B T AW_C+W_CA^T=-BB^T AWC+WCAT=−BBT(2)有限时域可达Gram： W C ( 0 , t 1 ) = ∫ 0 t 1 e A τ B B T e A T τ d τ W_C(0,t_1)=\int_0^{t_1}e^{A\tau}BB^Te^{A^T\tau}d\tau WC(0,t1)=∫0t1eAτBBTeATτdτ系统完全能控当且仅当 W C ( 0 , t 1 ) W_C(0,t_1) WC(0,t1)正定（ ∀ t 1 > 0 \forall t_1>0 ∀t1>0）。

连续时变系统本身稳定性判定

能控状态集合： C t 0 , t 1 = { x 0 ∣ Φ ( t 1 , t 0 ) x 0 ∈ R t 0 , t 1 } \mathcal{C}t_0,t_1=\{\boldsymbol{x}_0|\Phi(t_1,t_0)\boldsymbol{x}_0\in\mathcal{R}t_0,t_1\} Ct0,t1={x0∣Φ(t1,t0)x0∈Rt0,t1}

可达状态集合： R t 0 , t 1 = { ∫ t 0 t 1 Φ ( t 1 , τ ) B ( τ ) u ( τ ) d τ ∣ u ( ⋅ ) } \mathcal{R}t_0,t_1=\{\int_{t_0}^{t_1}\Phi(t_1,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau|\boldsymbol{u}(\cdot)\} Rt0,t1={∫t0t1Φ(t1,τ)B(τ)u(τ)dτ∣u(⋅)}

考虑系统 x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) , (4) \dot{\boldsymbol{x}}(t)=A(t)\boldsymbol{x}(t),\tag{4} x˙(t)=A(t)x(t),(4)令Lyapunov函数 V ( x ( t ) ) = x T ( t ) P ( t ) x ( t ) , (5) V(\boldsymbol{x}(t))=\boldsymbol{x}^T(t)P(t)\boldsymbol{x}(t),\tag{5} V(x(t))=xT(t)P(t)x(t),(5)对Lyapunov函数求导 V ˙ = x ˙ T ( t ) P ( t ) x ( t ) + x T ( t ) P ˙ ( t ) x ( t ) + x T ( t ) P ( t ) x ˙ ( t ) = x T ( t ) A T ( t ) P ( t ) x ( t ) + x T ( t ) P ˙ ( t ) x ( t ) + x T ( t ) P ( t ) A x ( t ) , \dot{V}=\dot{\boldsymbol{x}}^T(t)P(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{x}^T(t)\dot{P}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{x}^T(t)P(t)\dot{\boldsymbol{x}}(t)\\=\boldsymbol{x}^T(t)A^T(t)P(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{x}^T(t)\dot{P}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{x}^T(t)P(t)A\boldsymbol{x}(t), V˙=x˙T(t)P(t)x(t)+xT(t)P˙(t)x(t)+xT(t)P(t)x˙(t)=xT(t)AT(t)P(t)x(t)+xT(t)P˙(t)x(t)+xT(t)P(t)Ax(t),选取一个正定矩阵 Q ( t ) Q(t) Q(t)，令 V ˙ = − x T Q ( t ) x \dot{V}=-\boldsymbol{x}^TQ(t)\boldsymbol{x} V˙=−xTQ(t)x，此时则有Lyapunov微分方程 A T ( t ) P ( t ) + P ˙ ( t ) + P ( t ) A ( t ) = − Q ( t ) , (6) A^T(t)P(t)+\dot{P}(t)+P(t)A(t)=-Q(t),\tag{6} AT(t)P(t)+P˙(t)+P(t)A(t)=−Q(t),(6)求解上述Lyapunov微分方程，得到解 P ( t ) P(t) P(t)。

若存在常数 0 < α < β < ∞ 0<\alpha<\beta<\infty 0<α<β<∞，使得

α I ≤ P ( t ) ≤ β I , ∀ t ≥ t 0 \alpha \boldsymbol I \leq P(t) \leq \beta \boldsymbol I,\quad \forall t\ge t_0 αI≤P(t)≤βI,∀t≥t0即 P ( t ) P(t) P(t)一致正定，一致有界，则系统一致渐近稳定。即依据Lyapunov渐近稳定性定理：存在正定阵 P ( t ) P(t) P(t)，使得Lyapunov函数 V = x T ( t ) P ( t ) x ( t ) ≥ 0 V=\boldsymbol{x}^T(t)P(t)\boldsymbol{x}(t)\geq0 V=xT(t)P(t)x(t)≥0，沿轨迹导数 V ˙ < 0 \dot{V}<0 V˙<0，则系统渐近稳定。

离散时间系统

离散时不变系统

离散时不变系统本身稳定性判定

离散自治系统：

x ( k + 1 ) = A x ( k ) \boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(k) x(k+1)=Ax(k)选取Lyapunov函数 V ( x ( k ) ) = x ( k ) T P x ( k ) V(\boldsymbol{x}(k))=\boldsymbol{x}(k)^\mathrm{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(k) V(x(k))=x(k)TPx(k)，沿轨迹差分：

Δ V = V ( x ( k + 1 ) ) − V ( x ( k ) ) = x ( k ) T ( A T P A − P ) x ( k ) \begin{aligned} \Delta V &= V(\boldsymbol{x}(k+1))-V(\boldsymbol{x}(k)) \\ &= \boldsymbol{x}(k)^\mathrm{T}\big(\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{P}\big)\boldsymbol{x}(k) \end{aligned} ΔV=V(x(k+1))−V(x(k))=x(k)T(ATPA−P)x(k)令差分负定，得到离散Lyapunov代数方程：

A T P A − P = − Q \boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{P}=-\boldsymbol{Q} ATPA−P=−Q式中 P , Q \boldsymbol{P},\boldsymbol{Q} P,Q 均为对称正定矩阵。系统渐近稳定当且仅当对任意正定 Q \boldsymbol{Q} Q，方程存在唯一正定解 P \boldsymbol{P} P。

离散时变系统本身稳定性判定

离散时变自治系统： x ( k + 1 ) = A ( k ) x ( k ) \boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{A}(k)\boldsymbol{x}(k) x(k+1)=A(k)x(k)构造Lyapunov函数 V ( x ( k ) , k ) = x ( k ) T P ( k ) x ( k ) V(\boldsymbol{x}(k),k)=\boldsymbol{x}(k)^\mathrm{T}\boldsymbol P(k)\boldsymbol{x}(k) V(x(k),k)=x(k)TP(k)x(k)，其中 P ( k ) \boldsymbol P(k) P(k)对称且一致正定一致有界：

α I ≤ P ( k ) ≤ β I , 0 < α < β < ∞ , ∀ k ≥ k 0 \alpha \boldsymbol I \le \boldsymbol P(k) \le \beta \boldsymbol I,\quad 0<\alpha<\beta<\infty,\forall k\ge k_0 αI≤P(k)≤βI,0<α<β<∞,∀k≥k0沿系统轨迹计算差分：

Δ V = V ( x ( k + 1 ) , k + 1 ) − V ( x ( k ) , k ) = x ( k ) T A ( k ) T P ( k + 1 ) A ( k ) − P ( k ) x ( k ) \begin{aligned} \Delta V &= V(\boldsymbol{x}(k+1),k+1)-V(\boldsymbol{x}(k),k) \\ &=\boldsymbol{x}(k)^\mathrm{T}\Big\\boldsymbol A(k)\^\\mathrm{T}\\boldsymbol P(k+1)\\boldsymbol A(k)-\\boldsymbol P(k)\\Big\boldsymbol{x}(k) \end{aligned} ΔV=V(x(k+1),k+1)−V(x(k),k)=x(k)TA(k)TP(k+1)A(k)−P(k)x(k)要求差分负定，得到离散时变Lyapunov差分方程 ：

A ( k ) T P ( k + 1 ) A ( k ) − P ( k ) = − Q ( k ) \boldsymbol A(k)^\mathrm{T}\boldsymbol P(k+1)\boldsymbol A(k)-\boldsymbol P(k) = -\boldsymbol Q(k) A(k)TP(k+1)A(k)−P(k)=−Q(k)式中 Q ( k ) \boldsymbol Q(k) Q(k) 为一致正定对称矩阵。该方程为差分方程，采用反向递推 求解：给定终端 P ( k f ) \boldsymbol P(k_f) P(kf)，

P ( k ) = A ( k ) T P ( k + 1 ) A ( k ) + Q ( k ) , k = k f − 1 , k f − 2 , ... \boldsymbol P(k) = \boldsymbol A(k)^\mathrm{T}\boldsymbol P(k+1)\boldsymbol A(k)+\boldsymbol Q(k),\quad k=k_f-1,k_f-2,\dots P(k)=A(k)TP(k+1)A(k)+Q(k),k=kf−1,kf−2,...若上述条件成立，则离散时变自治系统一致渐近稳定。

离散时变自治系统 Lyapunov差分方程求解示例

离散时变自治系统：

x ( k + 1 ) = A ( k ) x ( k ) \boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{A}(k)\boldsymbol{x}(k) x(k+1)=A(k)x(k)

Lyapunov差分方程：

A T ( k ) P ( k + 1 ) A ( k ) − P ( k ) = − Q ( k ) \boldsymbol{A}^\mathrm{T}(k)\boldsymbol{P}(k+1)\boldsymbol{A}(k)-\boldsymbol{P}(k)=-\boldsymbol{Q}(k) AT(k)P(k+1)A(k)−P(k)=−Q(k)

反向递推形式：

P ( k ) = A T ( k ) P ( k + 1 ) A ( k ) + Q ( k ) \boldsymbol{P}(k)=\boldsymbol{A}^\mathrm{T}(k)\boldsymbol{P}(k+1)\boldsymbol{A}(k)+\boldsymbol{Q}(k) P(k)=AT(k)P(k+1)A(k)+Q(k)

定义系统参数

A ( k ) = 0.2 0 0 0.5 + 0.1 ( − 1 ) k , Q ( k ) = I = 1 0 0 1 \boldsymbol{A}(k)= \begin{bmatrix} 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5+0.1(-1)^k \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{Q}(k)=\boldsymbol I=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} A(k)=0.2000.5+0.1(−1)k,Q(k)=I=1001

终端条件： k f = 3 , P ( 3 ) = 0 k_f=3,\ \boldsymbol P(3)=\boldsymbol 0 kf=3, P(3)=0。

1. k = 2 k=2 k=2

   A ( 2 ) = 0.2 0 0 0.6 , P ( 2 ) = A T ( 2 ) P ( 3 ) A ( 2 ) + I = 1 0 0 1 \boldsymbol{A}(2)=\begin{bmatrix}0.2 & 0\\0 & 0.6\end{bmatrix},\quad \boldsymbol P(2)=\boldsymbol A^\mathrm{T}(2)\boldsymbol P(3)\boldsymbol A(2)+\boldsymbol I=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} A(2)=0.2000.6,P(2)=AT(2)P(3)A(2)+I=1001

2. k = 1 k=1 k=1

   A ( 1 ) = 0.2 0 0 0.4 , P ( 1 ) = A T ( 1 ) P ( 2 ) A ( 1 ) + I = 1.04 0 0 1.16 \boldsymbol{A}(1)=\begin{bmatrix}0.2 & 0\\0 & 0.4\end{bmatrix},\quad \boldsymbol P(1)=\boldsymbol A^\mathrm{T}(1)\boldsymbol P(2)\boldsymbol A(1)+\boldsymbol I=\begin{bmatrix}1.04 & 0\\0 & 1.16\end{bmatrix} A(1)=0.2000.4,P(1)=AT(1)P(2)A(1)+I=1.04001.16

3. k = 0 k=0 k=0

   A ( 0 ) = 0.2 0 0 0.6 , P ( 0 ) = A T ( 0 ) P ( 1 ) A ( 0 ) + I = 1.0416 0 0 1.4176 \boldsymbol{A}(0)=\begin{bmatrix}0.2 & 0\\0 & 0.6\end{bmatrix},\quad \boldsymbol P(0)=\boldsymbol A^\mathrm{T}(0)\boldsymbol P(1)\boldsymbol A(0)+\boldsymbol I=\begin{bmatrix}1.0416 & 0\\0 & 1.4176\end{bmatrix} A(0)=0.2000.6,P(0)=AT(0)P(1)A(0)+I=1.0416001.4176

P ( k ) \boldsymbol P(k) P(k) 满足 α I ≤ P ( k ) ≤ β I \alpha \boldsymbol I \le \boldsymbol P(k)\le \beta \boldsymbol I αI≤P(k)≤βI，一致正定且一致有界，系统一致渐近稳定。

说明：无限时域： k f → ∞ k_f\to\infty kf→∞，若系统一致渐近稳定，则 P ( k f ) → 0 \boldsymbol P(k_f)\to \boldsymbol 0 P(kf)→0；