CSP-J 初赛（以满分为目标）：第三十八课《数学与逻辑①——排列还是组合？先搞清楚“选”与“排”》

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第三十八课：数学与逻辑①------排列还是组合？先搞清楚"选"与"排"

前面我们用了很多课学习图、树、DFS、BFS、最短路、最小生成树、拓扑排序。现在正式进入"数学和逻辑"篇章。

这一章看起来不像编程，其实和信息学竞赛关系非常密切：很多初赛题目不是让你写程序，而是考你能不能快速数清楚"到底有多少种可能"。

"组合数学基础"首先就是从排列与组合开始，特别强调：

排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

今天这一课，我们只解决一个最核心的问题：

什么时候用排列？什么时候用组合？

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一、今天的冒险任务：三位小朋友选队长

有三个小朋友：

• 小明

• 小红

• 小刚

现在要从他们中选出两个人。

问：

一共有多少种选法？

我们可以一个一个写：

1. 小明、小红

2. 小明、小刚

3. 小红、小刚

所以答案：

3

但是现在换一个问题：

从三个人中选出队长和副队长各一名，有多少种方法？

这次就不一样了。

例如：

• 小明队长，小红副队长

• 小红队长，小明副队长

虽然都是"小明+小红"，但是职位不同，所以是两种方法。

于是：

6

这就出现了今天最重要的一组概念。

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二、组合：只关心"选了谁"

比如：

3个人中选2个人去参加比赛。

小明、小红：

小明 + 小红

和

小红 + 小明

是不是两种？

不是。

因为比赛只关心：

谁参加了？

不关心谁先写名字。

所以：

组合：只选，不排列

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一个非常重要的判断方法

看到题目先问自己：

"换一下顺序，算不算一种新的结果？"

如果：

不算

就是组合。

例如：

5个人中选2个人参加比赛。

A、B 和 B、A：

AB
BA

实际上是同一组选手。

所以用：

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三、排列：不仅要"选"，还要"排位置"

再看：

5个人中选出冠军、亚军、季军。

这里选出来的三个人还要分：

冠军
亚军
季军

例如：

小明、小红、小刚

和

小红、小明、小刚

虽然三个人完全一样，但是：

第一名变了
第二名变了

所以是不同结果。

这就是：

排列：选出来以后，还要安排顺序

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四、排列为什么比组合多？

还是用三个小朋友：

A   B   C

选择两个。

第一步：先选两个人

有：

AB
AC
BC

一共：

种。

但是如果要安排第一名、第二名：

对于 AB：

AB
BA

有2种。

对于 AC：

AC
CA

有2种。

对于 BC：

BC
CB

有2种。

所以：

3×2=6

这就是一个非常重要的思想：

排列=先选，再排

特别提醒：

分清排列"先取再排"和组合"只取不排"。

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五、用"座位"理解排列

这是给小学生特别好用的一种理解方法。

假设有3个人：

A B C

现在有两个座位：

第1名    第2名

第1个位置有3种选择：

A / B / C

假设第一位选了 A。

那么第二位只能从：

B / C

里面选。

所以：

3×2=6

种。

因此：

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六、排列的公式从哪里来？

假设：

n个人中选出m个人，并安排顺序。

第一个位置：

n

种。

第二个位置：

n−1

种。

第三个位置：

n−2

种。

......

第m个位置：

n−m+1

种。

所以：

例如：

5个人中选3个人排前三名。

就是：

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七、组合到底是怎么来的？

我们已经知道：

表示：

选出m个人，并且排列顺序。

但是组合只需要：

选出m个人。

问题来了：

同一组m个人到底被排列了多少次？

假设已经选出了：

A B C

那么这三个人可以排列成：

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

一共有：

3!=6

种。

所以：

因此：

这就是组合公式。

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八、组合公式

于是得到：

其中：

叫做n的阶乘。

例如：

5!=5×4×3×2×1=120

所以：

也可以直接计算：

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九、小学生最容易犯的错误：看到"选"就用组合

这是初赛里非常危险的地方。

例如：

题目1

8个人中选3个人参加比赛。

关键词：

选3个人

没有职位，没有顺序。

所以：

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题目2

8个人中选出冠军、亚军、季军。

虽然也写着：

选3个人

但实际上还要安排：

冠军
亚军
季军

所以：

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十、"先选后排"是一个超级重要的思想

来看一个典型问题：

6个人中选出3个人，分别担任队长、副队长、秘书。

不要直接背公式。

我们可以：

第一步：选出3个人

第二步：给3个人安排职位

3!

所以：

也就是：

20×6=120

答案：

120

这就是：

先选后排

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十一、一个特别容易考的陷阱：指定顺序

有这样一句话，非常值得孩子记下来：

按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题。

什么意思？

例如：

5个人排成一列，但是要求按照年龄从小到大排列。

表面上看：

排成一列

好像应该用排列。

但是实际上：

一旦选定了这5个人，顺序已经被"年龄从小到大"唯一确定。

例如选：

A B C

如果年龄已经确定：

A < B < C

那么只能：

A B C

不能再：

B A C

所以实际上只是：

选哪些人

而不是：

怎么排列

因此属于组合思想。

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十二、一个万能判断器

以后做排列组合题，不要先看公式。

先问两个问题。

问题1：是在"选人"吗？

如果是，继续问第二个问题。

问题2：换一下顺序，结果会不会改变？

不改变

组合

会改变

排列

可以记成：

                选出来
                   ↓
          换顺序会不会改变结果？
             ↙           ↘
           不会           会
            ↓             ↓
          组合           排列

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十三、生活中的例子

我们自己判断。

例1：班级里选3个人去春游

只关心谁去。

所以：

组合

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例2：班级里选班长、副班长、学习委员

职位不同。

所以：

排列

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例3：从10本书中选3本带回家

只关心带哪三本。

组合

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例4：从10本书中选3本，分别放在书架第1、2、3层

位置不同。

排列

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例5：从10名同学中选5名组成一个小组

组合

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例6：从10名同学中选5名，排成一列

排列

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十四、和C++有什么关系？

有的同学可能会问：

"老师，这不是数学课吗？为什么放在CSP-J初赛？"

因为计算机特别喜欢问：

"一共有多少种可能？"

例如：

for(int i = 1; i <= 3; i++)
{
    for(int j = 1; j <= 3; j++)
    {
        if(i != j)
            cout << i << " " << j << endl;
    }
}

这里实际上是在做：

从 1、2、3 中选择两个不同的数
并且考虑顺序

得到：

1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2

一共：

所以：

排列组合，是很多枚举程序背后的数学。

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十五、如果不考虑顺序，程序就会重复

例如我们想找：

1、2、3中任意选两个。

如果直接：

for(int i = 1; i <= 3; i++)
{
    for(int j = 1; j <= 3; j++)
    {
        if(i != j)
            cout << i << " " << j << endl;
    }
}

会出现：

1 2
2 1

可是对于"选两个人"来说：

1 2

和：

2 1

其实是同一种。

怎么办？

让：

j > i

例如：

for(int i = 1; i <= 3; i++)
{
    for(int j = i + 1; j <= 3; j++)
    {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

输出：

1 2
1 3
2 3

正好：

这就是：

组合 = 枚举时主动消除"顺序重复"。

这个思想以后学习中会经常出现。

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十六、排列和组合的关系

今天一定要把这张图记住：

排列
  │
  │  把顺序考虑进去
  ↓
先选出 m 个
  │
  ↓
再把这 m 个进行排列
  │
  ↓
组合 × m!

所以：

反过来：

这是两者最重要的关系。

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十七、排列与组合中的典型思路

后面我们还会提到，一些非常重要的方法：

• 特优法：优先处理特殊元素或特殊位置

• 捆绑法：要求某些元素相邻时，把它们先看成一个整体

• 插空法：要求某些元素不相邻时，先排其他元素，再插进去

• "至多""至少"：通常考虑排除法或分类

• 多面手问题：通常分类解决

这些内容今天先不展开，后面的课会逐个拆开。

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十八、课堂小测：先不要算，先判断

题1

5个人中选2个人参加比赛。

是排列还是组合？

答案：组合。

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题2

5个人中选出冠军和亚军。

答案：排列。

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题3

从8本不同的书中选3本。

答案：组合。

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题4

从8本不同的书中选3本，分别放在第1、2、3层。

答案：排列。

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题5

从10个人中选3个人组成小组，然后按照年龄从小到大站成一排。

答案：组合。

为什么？

因为：

顺序已经被年龄规则唯一确定了。

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十九、计算题

题6

6个人中选3个人参加比赛，有多少种方法？

答案：

20

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题7

6个人中选出冠军、亚军、季军，有多少种方法？

答案：

120

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题8

7个人中选3个人，然后分别担任队长、副队长、秘书。

先选：

再排：

3!=6

所以：

35×6=210

答案：

210

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二十、今天同学们必须记住的"四句话"

第一句

组合：只选，不管顺序

第二句

排列：选出来，还要考虑顺序

第三句

排列=先选后排

第四句

遇到题目先问：

"换一下顺序，算不算一种新的结果？"

不算 → 组合
算   → 排列

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二十一、今天真正应该建立的数学思维

这一课表面上是在学习两个公式：

和

但对于我们小学生，我更希望你们真正学会的是：

不要一看到公式就套公式。

而应该先问：

题目到底在数什么？
        ↓
是"选谁"？
还是"怎么安排"？
        ↓
换顺序会不会产生新结果？
        ↓
再决定用组合还是排列

这其实和我们前面学习算法时的思想完全一致：

先理解问题，再选择工具。

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📌 课后作业

第一步必须写"排列/组合"以及为什么。

1. 10人中选4人参加比赛。

2. 10人中选4人分别担任4个不同职位。

3. 6本书中选3本带回家。

4. 6本书中选3本分别放到3个不同书架。

5. 8名同学中选5名组成小组。

6. 8名同学中选5名，按身高从低到高排队。

7. 7个人中选3个人参加比赛，再选出其中的队长。

8. 从1～9中选出3个不同数字组成一个三位数。

第8题尤其值得讲一讲。因为它会让同学们发现：

"选3个数字"是组合，

但"组成三位数"以后，位置就产生了意义，因此最终属于排列思想。

这正好为下一课的阶乘、排列数 、组合数做准备。

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