第二章控制系统的数学模型

文章目录

[第二章控制系统的数学模型](#第二章控制系统的数学模型)
- [第一节动态微分方程的编写](#第一节动态微分方程的编写)
- [*第二节非线性数学模型的线性化](#*第二节非线性数学模型的线性化)
- [第三节传递函数](#第三节传递函数)
- [第四节系统结构图及其等效变换](#第四节系统结构图及其等效变换)
- [*第五节信号流图及梅森公式](#*第五节信号流图及梅森公式)
- [第六节控制系统的传递函数](#第六节控制系统的传递函数)
- 习题
- - [一、单项选择题（12 题）](#一、单项选择题（12 题）)
  - [二、填空题（12 空）](#二、填空题（12 空）)
  - [三、判断题（12 题，对√，错 ×）](#三、判断题（12 题，对√，错 ×）)
  - [四、计算题 / 分析简答题（4 道）](#四、计算题 / 分析简答题（4 道）)
- 习题答案
- - 一、单项选择题答案
  - 二、填空题答案
  - 三、判断题答案
  - [四、计算题 / 分析简答题参考答案](#四、计算题 / 分析简答题参考答案)
  - - [第 1 题](#第 1 题)
    - [第 2 题质量弹簧阻尼系统](#第 2 题质量弹簧阻尼系统)
    - [第 3 题简答](#第 3 题简答)
    - [第 4 题](#第 4 题)

第二章控制系统的数学模型

人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。

建立数学模型有两种方法：机理分析法 和实验辨识法 。机理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数据通过整理编写出来。

本章着重讨论机理分析法。机理分析法通常会先把系统划分为若干个独立的部件（环节），分别求出每个部件（环节）的动态微分方程，然后再合并各部件（环节），得到整个系统的微分方程。

第一节动态微分方程的编写

一、列写环节(部件)微分方程的目的、方法与步骤

目的：通过该方程确定环节(部件)的输出量 与给定量 之间的函数关系。

方法与步骤：

（1）根据实际情况，确定环节的输入、输出变量 。

（2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节列出相关的微分方程。

（3）消去中间变量 ，写出输入、输出变量 的微分方程。

（4）整理，输入量项 =输出量项。

例1：编写RC电路环节微分方程

例2: 编写LRC电路环节微分方程

例3: 编写运放电路环节微分方程

例4:具有质量弹簧阻尼器的部件

例5:编写电枢控制的他励直流电动机部件的微分方程

二、系统动态微分方程的编写

（1）确定系统输入量、输出量；

（2）从输入端开始将系统划分为若干个部件（环节），依有关定理列写各个部件（环节）的方程组；

（3）消去中间变量；

（4）整理。

例6: 列写直流调速系统的微分方程

系统组成原理方块图

三、负载效应与相似性

负载效应：后一级的部件影响前一级的输出量。

在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在的耦合关系，将不能得到系统准确的微分方程。

方法一的结果不够准确。方法二的结果准确。

但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应（耦合），因此严格来说，它们不能划分为独立的两个环节串联。

若在上述两个RC网络间加入电压跟随器进行隔离，消除负载效应，则方法一合理。

相似性：

以上例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学模型却可以是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。

对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。

*第二节非线性数学模型的线性化

对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。

这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。

线性化原理：

第三节传递函数

在经典控制理论中，传递函数是重要的一种数学模型。

一、传递函数的定义

线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。

线性定常系统微分方程的一般表达式:

在初始情况为零时，两端取拉氏变换：

整理得：

上式中Y(s)输出量的拉氏变换；R(s)输入量的拉氏变换； G(s) 为系统或环节的传递系数。

例2－9:图为集成元件和R、C组成的运算放大器，求其传递函数。

注意，传递函数是一种数学模型，往往不赋予"正、负号"，所以上式中的"负号" 常省略；传递函数有无量纲，由其输入量和输出量决定。由于运算放大器的输入量和输出量都是电压（V），所以上式的传递函数是无量纲的。

例求他励直流电动机的传递函数。

解以电枢电压为输入量，转速为输出量的微分方程已由式（2－22）给出

例图是单闭环直流电动机调速系统原理图，求系统的传递函数。

二、传递函数主要特点

1.传递函数的概念只适应于单输入-单输入线性定常系统。

2.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。

3.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。

4.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。

5.分母称为特征多项式；令特征多项式等于0，称为系统特征方程式；

系统特征方程式的根，为系统特征根，亦称为系统极点。

三、传递函数三种表达式

1、传递函数的多项式比的表达形式

2、传递函数的零极点表示形式

3、传递函数的时间常数表示形式

例己知系统的传递函数

对应的零极点表达式和时间常数表达式。

四、典型环节的传递函数

无论什么样的系统，它的传递函数都是由一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。

把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。

（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）

特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。

（2）惯性环节

特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟。

（3）积分环节

特点：输出量随时间成正比地无限增加。

（4）振荡环节

特点：振荡的程度与阻尼系数有关。

（5）微分环节

特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势。实践中，理想的微分环节难以实现。

（6）延迟环节（时滞环节、滞后环节）

特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号。

第四节系统结构图及其等效变换

"结构图" 是"动态结构图" 的简称，也称为"方框图" 。因为该图是将系统中各部件的功能及其相互关系用图形表示，所以，又称它为控制系统（或环节）图形化的一种数学模型，是分析、设计系统时最常使用的一种数学模型之一。

一、结构图的组成要素及绘制方法

1、组成要素

系统（或环节）的结构图，由4种基本图形组成。

（1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。

（2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。

（3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。

（4）方框：方框图内输入环节的传递函数。

2 .动态结构图的绘制步骤：

（1）确定系统输入量与输出量。

（2）将复杂系统划分为若干个典型环节。

（3）求出各典型环节对应的传递函数。

（4）作出相应的结构图。

（5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。

例发电机励磁控制系统,试绘制该系统的结构图。

解系统是由五个环节组成：比较环节、放大环节环节、励磁回路环节、发电机电枢环节和反馈环节。分别求出这些环节的微分方程，并在零初始条件下进行拉氏变换，求出各环节的传递函数。

按信号顺序连接

发电机励磁控制系统结构图

例2-14 绘制直流调速系统的结构图

解系统是由4个环节组成：比较环节、放大环节环节、电机环节和反馈环节

强调指出：

同一个系统，划分的环节不同，结构图也会不同。也就是说，对于一个系统，结构图并不是唯一的。但对同一个系统绘出的不同结构图中，系统输入信号与输出信号之间的传递关系，即系统的传递函数，一定是相同的。

二、结构图的等效变换

分析系统时往往要对结构图进行等效变换。变换所遵循的原则是，变换前后其输入--输出变量间的传递关系必须保持不变。。

（一）环节的合并

法则一环节串联，传递函数相乘。

法则二环节并联，传递函数相加。

法则三反馈连接的等效传递函数。

（二）信号相加点及分支点的移动

法则四相加点从环节输入端移到输出端

法则五相加点从环节输出端移到输入端

法则六分支点从环节输入端移到输出端

法则七分支点从环节输出端移到输入端

法则八两个分支点、相加点间可以相互换位。相加点和分支点之间一般不能换位。

表2-1 列出了结构图等效变换的基本法则。

三、系统结构图的化简

控制系统的原始结构图，往往是比较复杂的，不方便对系统进行分析研究，因此，必须对原始结构图先进行化简。化简的目的是，能容易得到系统有关的各种传递函数。

例简化图所示的系统结构图，求系统的传递函数。

*第五节信号流图及梅森公式

一、基本概念及常用术语

信号流程图简称信号流图，是一种用图线表示线性方程组的方法。

设系统的描述方程为

其中

为输入变量，

为输出变量，a为两个变量间的传输。

该系统可以用信号流图表示为：

系统信号流图,如同网络图

常用术语：

1.节点表示信号/变量。

（1）源节点只有输出量的节点。

（2）汇节点只有输入量的节点。

（3）混合节点既有输入又有输出的节点。

2.支路连接两节点间的有向线段。

3.支路增益表示信号间的因果关系。

4.通路从一个节点到另一节点的路径，其间每个节点只通过一次。

（1）前向通路从源点到汇点

（2）闭通路起点与终点为同一点

5.通路增益通路中所有支路增益之积

6.不接触回路回路之间没有公共节点

二、如何作信号流图

方法一：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。

例1 绘制二级RC滤波电路的信号流图。

解（1）列写系统微分方程组

（2）对上述微分方程作拉氏变换

（3）对上述代数方程作信号流图

（4）综合作出系统信号流图

方法二：由系统动态结构图变形得来。

变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。

三、由梅逊公式求传递函数

例用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。

例某系统的信号流程图，试用梅逊公式求系统的总传输。

第六节控制系统的传递函数

一、系统传递函数的定义

对控制系统进行性能分析、研究时，都是通过系统的相关传递函数进行的。系统传递函数有5种，分别是：闭环系统的开环传递函数(简称"系统开环传递函"）；给定输入下的闭环传递函数和误差传递函数；扰动(干扰)输入下的闭环传递函数和误差传递函数。这些定义都是根据图所示的系统"典型结构图" 给出的。

系统的典型结构图

1.闭环系统的开环传递函数

闭环系统的开环传递函数，常简称为"系统开环传递函数"。其定义是，主反馈信号与偏差信号之比，或者说，前向通道传递函数与主反馈通道传递函数的乘积，用表示，即

若系统为单位反馈

则系统的开环传递函数就是前向通道的传递函数。

2．给定输入作用下的闭环传递函数

系统输出信号与输入信号之比，称为给定输入作用下的系统闭环传递函数，

用

表示。典型结构图中，要先令扰动输入为0，只考虑给定输入作用

下的情况，如图所示。

由给定输入作用下系统闭环传递函数的定义，可写出

由上式，可得系统输出量的拉氏变换式

3．给定输入作用下的偏差传递函数

系统偏差信号与输入信号之比，称为系统在给定输入作用下的偏差传递函数.在典型结构图中，视为输出信号，给定输入作用下偏差输出的结构图如图所示。

由偏差传递函数定义，可得

由上式，给定输入作用下系统偏差的拉氏变换式为

4．扰动输入作用下的闭环传递函数

系统输出信号与扰动输入信号之比，称为扰动输入作用下的闭环传递函数。

典型结构图中，令输入信号为0，只考虑扰动输入作用的情况，扰动输入单独作用下系统典型的结构图如图所示。

依传递函数定义有

扰动输入下的系统输出的拉氏变换式

扰动输入作用下的偏差传递函数

系统偏差信号与扰动输入信号之比，称为系统的扰动输入下的偏差传递函数。

典型结构图中,干扰视为输入信号，误差视为输出信号，等效为图。

扰动输入下的偏差传递函数为

扰动输入下的系统偏差信号的拉氏变换式

6、给定和扰动同时作用下系统输出及误差

由于传递函数只能表示一个输出与一个输入间的关系，当系统在多个输入同时作用下求系统输出时，只能利用线性系统具有的叠加性。于是，由给定输入单独作用下系统的输出式，由扰动输入单独作用下系统的输出式，两式相加，得到系统总输出的拉氏变换式为

同理，给定输入和扰动输入同时作用下，系统总误差的拉氏变换式

二、系统传递函数的求法

由系统结构图求传递函数，可采用２种方法。

一是通过结构图的化简法则，一直化简到具有"典型结构图" 形式后，再按定义求出相关的传递函数。

二是直接利用梅森公式。下面举例说明。

例题：对下面典型结构图进行等效变换

解

例题：对下面典型结构图进行等效变换

解：

结论

例2-16 (p37) ：己知系统结构图如图所示。

求：（１）系统开环传递函数

（２）给定输入信号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数；

（３）扰动输入信号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数。

扰动输入信号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数。

化简

例试用梅逊公式下图系统的

解 (1)

两种方法比较:一般来说，当系统中相互接触的反馈回路较多时，采用梅森公式较好；相反，则采用结构图化简的方法较好。

习题

一、单项选择题（12 题）

建立系统数学模型的两类基本方法是（）
A. 解析法、图解法
B. 机理分析法、实验辨识法
C. 时域法、频域法
D. 叠加法、齐次法
两级 RC 电路直接串联，不接隔离放大器，前后级之间存在（）
A. 零极点效应
B. 负载效应
C. 小偏差效应
D. 相似效应
非线性模型小偏差线性化方法的数学基础是（）
A. 傅里叶级数展开
B. 泰勒级数展开，忽略高阶小项
C. 拉普拉斯变换
D. 叠加原理
下面哪一类非线性不能使用小偏差法线性化（）
A. 在工作点连续光滑的非线性
B. 死区、继电器这类不连续的本质非线性
C. 饱和特性（工作点选在线性段）
D. 平方特性
传递函数定义的前提条件是（）
A. 任意初始条件
B. 零初始条件，线性定常系统
C. 只有阶跃输入
D. 零输入条件
传递函数(G(s)=\dfrac{Y(s)}{R(s)})，下面说法正确的是（）
A. 和输入信号形式有关
B. 只由系统本身结构、参数决定
C. 可以描述非线性系统
D. 可以反映非零初始条件响应
特征方程是令（）等于零得到的方程
A. 传递函数分子多项式
B. 传递函数分母（特征多项式）
C. 输入信号拉氏变换
D. 输出信号拉氏变换

A. 比例环节
B. 惯性环节
C. 积分环节
D. 振荡环节