一句话说明核心方法
最小值就是旋转点（切点） ，而它有一个绝好的性质：只要 nums[mid] > nums[right]，mid 就一定在切点左侧 。于是每轮只需比较 nums[mid] 和 nums[right] 一次，决定丢掉左半还是右半，区间收敛到只剩一个元素时，那个元素就是最小值。
思路推导
题意转化：升序数组旋转若干次后，求最小元素。由于原数组升序，「最小值」等价于「切点」，也就是那个"断崖"的位置。
4 5 6 7 | 0 1 2
[ 较大升序段 ] [ 较小升序段 ]
↑ 切点 = 最小值关键观察 1：为什么这题比 33 题（搜索旋转数组中的 target）简单？
33 题要"找某个值"，而 target 的位置没有任何单调性------它可能落在较大段，也可能落在较小段，所以必须先花力气判断"哪半段有序"，再做落点判断（两层嵌套 if）。
153 题要"找最小值"，而最小值的位置与 nums[right] 的大小关系是单调的：
nums[mid] > nums[right]⟺ mid 落在较大段 ，切点（最小值）必然在 mid 右侧nums[mid] < nums[right]⟺[mid, right]处于同一升序段 ，最小值在 mid 左侧（含 mid）
一次比较就能定性，不需要"有序段判定"这层。这是本题比 33 简单得多的根本原因。
关键观察 2：为什么锚点必须选 nums[right]，不能选 nums[left]？
因为 nums[right] 是一个"干净的参照物"------它在当前窗口内，且永远位于切点的右侧或就是切点本身，所以它天然是"较小段"里的元素。拿它作锚点，"mid 在切点左还是右"的判断是单向确定的。
而 nums[left] 的语义会随收缩过程漂移：一旦 left 已经越过切点，nums[left] 自己就落进较小段，再拿它当锚点，比较就失去信息量。后面「易错点」里会给一个具体的反例。
关键观察 3：为什么 right = mid（不加一），而 left = mid + 1（加一）？
这是本题最容易记混、也最应该理解的一处不对称：
nums[mid] > nums[right]时，mid 上的值已经被证明大于 numsright ，而nums[right]本身就是窗口内的合法候选，所以 mid 绝不可能是最小值 → 可以放心用mid + 1排除它。nums[mid] < nums[right]时，mid 自己可能就是最小值 （当 mid 恰好落在切点上时，numsmid 是最小值且小于右侧所有元素）→ 只能用right = mid保留它当候选。
锚点选在右边，就意味着"右边的元素自己就是候选"，所以左右收缩的力度必然不同。
二分过程示意（nums = 4,5,6,7,0,1,2）
初始: left = 0, right = 6, mid = 0 + (6 - 0) / 2 = 3
idx: 0 1 2 3 4 5 6
val: 4 5 6 7 0 1 2
L M R
nums[mid] = nums[3] = 7, nums[right] = nums[6] = 2
7 > 2 → mid 在切点左侧 → 最小值在右侧 → left = mid + 1 = 4第二轮，窗口缩小到右半段 [0,1,2]：
第 2 轮: left = 4, right = 6, mid = 4 + (6 - 4) / 2 = 5
idx: 0 1 2 3 4 5 6
val: 4 5 6 7 0 1 2
L M R
nums[5] = 1, nums[6] = 2
1 > 2 不成立 → [5,6] 同一升序段,最小值在左侧(含 mid) → right = mid = 5第三轮，窗口只剩两个元素：
第 3 轮: left = 4, right = 5, mid = 4 + (5 - 4) / 2 = 4
idx: 0 1 2 3 4 5 6
val: 4 5 6 7 0 1 2
L R
M
nums[4] = 0, nums[5] = 1
0 > 1 不成立 → right = mid = 4
→ left == right == 4,循环结束 → return nums[4] = 0 ✓整个过程的感知是：left 像一只手，每当发现"mid 处的值比右边大"就跳到 mid 右边去逼近切点；right 则慢慢向左贴，把"不可能是切点右侧"的部分一点点削掉。两者相遇处就是切点。
Java 完整代码
java
class Solution {
public int findMin(int[] nums) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 左闭右闭:right 是有效下标
while (left < right) { // 区间只剩一个元素时即答案
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > nums[right]) {
// mid 在切点左侧(较大段),最小值一定在 mid 右边
left = mid + 1;
} else {
// [mid, right] 处于同一升序段,mid 本身可能就是最小值
right = mid;
}
}
return nums[left]; // 此时 left == right,即切点
}
}关键代码逐行解释
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while (left < right)而不是left <= right------这是本题的必写形式 。因为右边界收缩用的是right = mid（不排除 mid），当区间只剩一个元素（left == right）时，mid == left == right，nums[mid] > nums[right]必然为 false，于是走right = mid------right 原地不动，死循环 。用left < right让循环在"只剩一个候选"时就停下，那个候选就是答案，不需要再比较一次。 -
nums[mid] > nums[right]中的right必须是当前窗口的右端，不是nums.length - 1------每轮拿到的是"当前区间"的右端点。它天然地"随着收缩不断左移"，正因为如此，nums[right]始终落在较小段（或就是切点），锚点才是可信的。写成固定的nums[n-1]会破坏这个不变量。 -
nums[mid] > nums[right]用严格大于 ------本题数组元素互不相同 ，不存在相等歧义。若迁移到 LeetCode 154（含重复），==的情况会出现且无法判断方向，必须额外处理（见「可复用模板」）。 -
left = mid + 1（可以排除 mid） ------nums[mid] > nums[right]意味着 mid 处的值确定大于 窗口右端元素，因此 mid 绝不可能是最小值；而nums[right]本身已经在窗口里作为候选被保留，丢掉[left, mid]（含 mid）是安全的。 -
right = mid（不能排除 mid） ------nums[mid] < nums[right]说明[mid, right]是同一条上升线，最小值只可能出现在 mid 或 mid 左边 。当 mid 恰好就是切点时，numsmid 正是答案，所以只能right = mid而不能right = mid - 1。 -
return nums[left]------循环退出时left == right，该位置即最小元素下标。也可以写return nums[right]，数值完全相同；统一写left可读性更好（和 33 题的出口风格一致）。 -
left + (right - left) / 2------防溢出写法。本题 n ≤ 5000 不会溢出，但这是二分模板的肌肉记忆，换到大数组场景（如 4 题、300 题的二分优化）真的会炸。
时间、空间复杂度
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时间复杂度：O(log n)
- 每轮循环区间都严格变小：走
left = mid + 1时，left 至少前进 1；走right = mid时，由于mid = left + ⌊(right - left) / 2⌋ < right（只要left < right），新右端点必然小于旧右端点。更精确地，两个分支都把区间长度约减半，所以轮数上界是 ⌈log₂ n⌉。n = 5000 时约 13 轮。 - 对比 33 题：同样 O(log n)，但本题每轮只有一次比较 （33 要比较
nums[mid]与 left/right 两个端点），常数更小。
- 每轮循环区间都严格变小：走
-
空间复杂度：O(1)
- 只有 left / right / mid 三个变量，无递归、无辅助数组。
易错点
-
循环条件写成
while (left <= right)导致死循环 ------这是本题最高频的 bug。left == right时mid == left == right，nums[mid] > nums[right]是 false，走right = mid后右端点纹丝不动，程序卡死。记住三件套绑定：right = mid必须配while (left < right)。 -
右边界写成
right = mid - 1------错在"把 mid 也排除了"。当 mid 恰好是切点时，nums[mid]就是最小值，mid - 1直接把它扔掉，返回偏大的错误答案。判别方法：锚点是右侧，右收缩永不加减。 -
拿
nums[left]当锚点 ------看起来"对称"，实际会失败。反例：nums = [3,4,5,1,2]，若写成if (nums[mid] < nums[left]) right = mid; else left = mid + 1;：- 第 1 轮
mid=2，nums[2]=5vsnums[0]=3，5 < 3 不成立 →left = 3 - 第 2 轮
left=3, right=4, mid=3，此时nums[left]已经变成nums[3]=1（left 越过切点了），1 < 1不成立 →left = 4 left == right == 4，返回nums[4] = 2✗（正确答案是 1）
根因就是
nums[left]的语义随收缩而漂移。锚点只能用右端。 - 第 1 轮
-
无旋转数组（旋转了 n 次）时以为要特判 ------不需要。比如
[11,13,15,17]：全程nums[mid] < nums[right]成立，一直走right = mid，收敛到left = 0，返回nums[0] = 11，天然正确。切点在 0 这个边界被模板自动覆盖。 -
n == 1 时进不去循环就慌 ------
left = right = 0，while (0 < 0)不成立，直接return nums[0]，正确。单元素数组是最小元素它自己的退化情形，模板无需特判。
可复用模板
「右端锚点二分找切点」母版，适用于一切"部分有序、求极值位置"的题：
java
class Solution {
public int findMin(int[] nums) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left < right) { // ① 只剩一个候选即答案
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > nums[right]) { // ② mid 在切点左侧
left = mid + 1; // 排除 mid(它比 nums[right] 大)
} else { // ③ mid 在切点或其右侧
right = mid; // 保留 mid(它可能就是最小值)
}
}
return nums[left]; // ④ 相遇点 = 切点
}
}变体提示：
- 含重复元素 （LeetCode 154）→ 出现
nums[mid] == nums[right]时无法判断 mid 在切点哪一侧，只能right--逐格收缩（因为nums[right]有重复副本，丢掉一个不影响结果），最坏退化为 O(n)。 - 求最大值 → 先按本模板求出切点位置
k，最大值就是切点左边那一个：nums[(k - 1 + n) % n]。 - 比较相邻元素的极值题 （LeetCode 162 寻找峰值）→ 结构同源，把锚点换成
nums[mid]与nums[mid + 1]的比较，同样"只收半边"，同样"保留可能的极值点"。 - 想复用 33 题的框架找 target → 本模板可作为 33 题"两步法"的第一步：先定位切点 k，再判断 target 落在
[k, n-1]还是[0, k-1]，最后做标准二分。
相似题及区别
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LeetCode 154 寻找旋转排序数组中的最小值 II ：本题的"含重复元素"版。
nums[mid] == nums[right]时方向不明，只能把right左移一格（丢弃一个重复副本），最坏 O(n)；本题因元素互异，严格 O(log n)。这是检验"是否真理解锚点语义"的最佳变种题。 -
LeetCode 33 搜索旋转排序数组 ：同样在旋转数组上二分，但目标是找 target 而非找切点。target 的位置没有单调性，必须先判"哪半段有序"再做落点判断；本题的"最小值的相对位置"天然单调，一次比较即可。两题对照能看清**"可二分的本质是有序性可判定"**。
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LeetCode 81 搜索旋转排序数组 II：33 题的含重复版，同样退化为最坏 O(n)。和本题 + 154 构成完整的"旋转数组四件套"（无重复/有重复 × 找值/找极值）。
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LeetCode 162 寻找峰值 ：求局部极大值，同样用"比较相邻元素 + 只收半边"的策略，复杂度也是 O(log n)。和本题的区别在于：162 的单调性是局部 的（"上升就一定有峰在右边"），本题的单调性是全局的（"切点的位置相对右端确定"）。放在一起读，能理解"锚点选择"在二分难题里的核心地位。