一、log 与 ln
1.1 log
对数是在问，底数 a 的多少次方等于 x？
例如：
我们的底数 a 是 10，x 是 100，用对数描述就是：
1.2 ln
ln 是一种特殊的 log，他以 e 为底数，也就是：
我们知道 e 的 1 次方就是 e，所以可得：
二、e 的导数
2.1 e的定义回顾
如果你存 1 块钱给银行，银行的年利率是 100% 如果一年存一次可获得 2 元，如果存 12 次可获得 2.613 元，如果存无限多次，最多也只能获得 e 元。
至此我们得到了 e 的定义：
那么，我们如果要把这 1 元以同等的利率方式存两年呢？
可得：
由此看出，我们存 x 年就是：
2.2 e 的导数
导数恰好就是描述某一瞬间增长的速度。
有趣的来了， 恰好是描述在一段时间内，自身增长 100% 的连续增长 / 时间。
我们不计算微分，仅取 1.0001次方 与 1 次方计算，可见还是能约等于 e：
而我们将底数换成 5 其结果则等于 8.048：
所以根据导数的定义，所以 e^x 的导数等于自身：
对于其他的底数求导公式则是：
三、为什么欧拉公式要用 e
3.1 以 e 为底数
我们知道，欧拉公式为：
这是因为 的增长率等于自身。
我们希望 θ 增长多少，角度就增长多少，所以用 e 作为底数是天然适用的。
如果我们对两端同时求导：
等于：
也就是说，只有底数为 e 的情况下，两边分别求导才是相等的。
3.2 以其他数为底数
如果我们以 5 为底数，为了保证公式的等价，结果是这样：
四、e 的连续
4.1 RC 电路
假设我们有一个电路：
R = 1000Ω
C = 0.001F
其中，Vs 能提供的电压是 10V。
我们将要计算电容什么时候可以充满 (也就是电容两端的电压什么时候达到 10V)。
我们使用电容电压充电公式：
- Vc(t)：t 时刻的电容电压，单位 V
- Vs：电源电压，也是电容最终趋近的电压，单位 V
- t：已经充电的时间，单位 s
- R：串联电阻，单位 Ω
- C：电容量，单位 F
- RC：时间常数，通常写成 τ
首先计算 τ 的值：
代入公式可得每秒的电容电压。
1s：
2s：
3s：
电压如图所示：
