一.二叉树
二叉树是树形结构中最常用的树，一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根节点两颗别称为左子树右子树的二叉树组成或者为空。
二.二叉树的两个特点
**1.**二叉树不存在分度大于2的结点。
**2.**二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
三.特殊的二叉树
一个二叉树如果每一层的结点都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树，也就是说如果个二叉树的层数为k，则节点数就是2的k次方减1。
四.完全二叉树
除了最后一层之外，其余每一层结点树都到达最大值，且最后一层的结点全部靠左连续排列，右边不能有空位置，满二叉树就是一种特殊的二叉树。
五.二叉树性质
根据满二叉树的特点可知：
1. 若规定根结点的层数为1 ，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^i−1 个结点。
**2.**若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h-1。
**3.**若规定根结点的层数为1 ，具有n 个结点的满二叉树的深度 ( log以2为底， n+1 为对数)。
六.二叉树的存储
二叉树的存储方式有顺序存储和链式存储，顺序结构一般用在完全二叉树上，是用数组来存储二叉树，而链式存储则是用链表来存储二叉树。
七.堆
堆是一种完全二叉树，它不仅有完全二叉树的性质还有一下两个性质：
**1.**堆中某点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
**2.**堆总是一颗完全二叉树。
八.相关代码
void HPInit(HP* php)//初始化
{
php->arr = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
void HPDestroy(HP* php)//堆的销毁
{
if (php->arr)
{
free(php->arr);
}
php->arr = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
void HPPrint(HP* php)//堆的打印
{
for (int i = 0; i < php->size; i++)
{
printf("%d ",php->arri);
}
printf("\n");
}
void Swap(int* x, int* y)//交换数据
{
int tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
//大堆>
//小堆<
if (arrchild < arrparent)
{
//调整
Swap(&arrchild,&arrparent);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
//插入数据
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
//判断空间是否足够
if (php->size == php->capacity)
{
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newCapacity*sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
exit(1);
}
php->arr = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->arrphp-\>size = x;
php->size++; // size先+1！此时新元素下标是 size - 1
AdjustUp(php->arr, php->size - 1); // 传新元素下标 size-1
}
//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
//向下调整算法(大堆) - 时间复杂度o(logn)
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{
int child = parent * 2 + 1;//左孩子
while (child < n)
{
//大堆: <
//小堆: >
if (child + 1 < n && arrchild > arrchild + 1)
{
child++;
}
//大堆: >
//小堆: <
if(arrchild < arrparent)
{
//调整
Swap(&arrchild,&arrparent);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//出堆
void HPPop(HP* php)
{
assert(!HPEmpty(php));
Swap(&php-> arr0,&php->arrphp -\>size - 1);
--php->size;
//向下调整
AdjustDown(php->arr, 0, php->size);
}
//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
assert(!HPEmpty(php));
return php->arr0;
}