从代码出发理解时间复杂度与空间复杂度

算法分析不追求算出程序运行多少毫秒，而是判断：当输入规模 N 变大时，运行时间和额外内存以什么速度增长。时间复杂度看基本操作的执行次数，空间复杂度看算法额外占用的存储空间。

同一段程序在不同电脑、编译器和输入数据上耗时不同。用输入规模 N 的函数来描述增长趋势，比某次运行的秒数更稳定，也更适合比较算法。

递归求斐波那契数是常见例子。它会反复计算相同的子问题，N 小时看不出代价，N 一大，调用次数就迅速膨胀------这正是复杂度分析要提前揭示的风险。

大 O 表示法只保留决定增长速度的部分：

若一个函数的基本操作次数为 N² + 2N + 10，当 N 足够大时，N² 决定整体增长趋势，因此时间复杂度记为 O(N²)。

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for (int i = 0; i < N; ++i) {
    for (int j = 0; j < N; ++j) {
        // 基本操作
    }
}

外层循环执行 N 次，每次又执行 N 次内层循环，核心操作约执行 N×N 次，所以是 O(N²)。循环前后的少量常数操作不改变结论。

代码只从头到尾遍历一次长度为 N 的数据，核心操作次数与 N 成正比，时间复杂度就是 O(N)。若分别遍历长度为 N 和 M 的两组数据，应写成 O(N+M)，不能在没有关系的情况下把 M 偷换成 N。

c 复制代码

for (int i = 0; i < 100; ++i) {
    // 基本操作
}

循环次数固定为 100，不随输入规模变化，因此记为 O(1)。O(1) 并不表示只执行一次，而是执行次数是常数。

二分查找每比较一次，就把待查区间缩小一半。经过 k 次后，区间规模约为 N/2ᵏ；当区间缩小到 1 时，k≈log₂N，因此复杂度为 O(log N)。

冒泡排序要进行多轮相邻元素比较。最坏情况下，比较次数的数量级为 N²，因此通常记为 O(N²)。

递归阶乘会沿着 N、N-1、N-2......一直调用到终止条件，调用次数与 N 成正比，时间复杂度为 O(N)。朴素递归斐波那契会分裂出大量重复调用，时间复杂度可达 O(2ᴺ)。

同一算法可能因为输入不同而执行不同次数。以顺序查找为例：

工程分析通常优先关注最坏情况，因为它给出了资源消耗的上界。

空间复杂度衡量的是额外空间随 N 的增长趋势，不是程序本身占用的全部内存。

递归函数即使每一层只定义一个常量级变量，所有尚未返回的栈帧叠加后，仍可能产生线性空间开销。

从增长较慢到较快：

O(1) < O(log N) < O(N) < O(N log N) < O(N²) < O(2ᴺ) < O(N!)

N 很大时，复杂度级别的差异会远远超过常数优化带来的收益。先选对算法级别，再讨论局部优化，通常更有效。

拿到一段代码时，可以依次检查：

复杂度分析的核心不是背公式，而是建立"代码结构---执行次数---增长趋势"之间的对应关系。