【贪心算法】LC 55.跳跃游戏

文章目录

前言
一、题目
- 1、原题链接
- 2、题目描述
二、个人思路整理
- 1、思路分析
- 2、解题代码
三、知识风暴

前言

本专栏文章为《LeetCode 热题 100》的刷题题解，相关内容如有侵权，立即删除。

一、题目

1、原题链接

55. 跳跃游戏

2、题目描述

二、个人思路整理

1、思路分析

核心思路：维护最远可达位置

核心观察：
- 如果你能到达某个下标 i i i，那么从起点到 i i i 之间的所有位置你都能到达。
- 在下标 i i i 时，你能到达的最远位置为 i + nums $i$ i + \text{nums} $i$ i+nums $i$ 。
- 因此，我们只需要遍历数组，动态更新全局最远可达下标 max_reach。
状态转移与边界：
- 初始状态：max_reach = 0。
- 遍历每个下标 i i i：
  - 不可达判断：如果当前下标 i > max_reach i > \text{max\_reach} i>max_reach，说明前面的跳跃无论如何都够不到当前位置，后续也绝不可能到达，直接返回 false。
  - 更新覆盖范围：更新 max_reach = max(max_reach, i + nums[i])。
  - 提前终止（剪枝）：如果此时 max_reach >= n - 1，说明已经可以到达或超过最后一个下标，直接返回 true。
- 如果能顺利遍历结束，说明可以到达终点，返回 true。

2、解题代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int max_reach = 0;   // 记录当前跳跃到达的最远下标

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 如果当前位置已经超过了之前能到达的最远距离，说明中间断档，无法到达此处
            if (i > max_reach) {
                return false;
            }

            // 贪心更新当前能够覆盖的最远下标：当前下标 + 该处最大跳跃步数
            max_reach = max(max_reach, i + nums[i]);

            // 剪枝优化： 如果最远可达位置已经覆盖或超过了终点下标，直接返回成功
            if (max_reach >= n - 1) {
                return true;
            }
        }

        return true;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，只需线性遍历一次数组。

空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)，仅需常数级别的变量维护状态。

三、知识风暴

贪心算法（Greedy Algorithm） 是本题的核心算法思想。它通过每一步都做出当前看起来最优的选择，来逐步逼近全局最优解。对于跳跃游戏而言，我们不需要回溯所有可能的跳跃路径，只需在遍历过程中动态维护「当前能到达的最远位置」，即可判断能否抵达终点。理解贪心策略的正确性与边界处理，对掌握本题至关重要。

算法核心思想：

局部最优推导全局最优 ：在每个下标 i i i，我们只关心「从当前位置能跳到的最远位置」 i + nums $i$ i + \text{nums} $i$ i+nums $i$ ，并不断更新全局最远可达下标 max_reach。只要 max_reach 能覆盖到终点，就一定存在一条可行路径。
不可达的判定 ：如果遍历到某个下标 i i i 时，发现 i > max_reach i > \text{max\_reach} i>max_reach，说明前面的所有跳跃都无法触及当前位置，中间出现了「断档」，后续也绝不可能到达，直接返回 false。
与动态规划的区别：动态规划需要记录每个位置是否可达，并可能回溯多条路径；而贪心只维护一个最远可达边界，无需额外数组，空间复杂度更低。

常见对比：贪心 vs 动态规划

贪心算法 ：时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)。只维护最远可达位置，思路简洁、效率最高，是本题的最优解。
动态规划 ：时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。需要记录每个下标是否可达，并逐一判断从前面的哪些位置能跳到当前位置，适合需要统计路径数量或具体路径的场景。
共同点：两者都能判断能否到达终点。区别在于贪心只关心「最远能到哪」，而动态规划关心「每个位置是否可达」。

"贪心"设计思想：

核心思想 ：利用「可达区间是连续的」这一性质------如果你能到达下标 i i i，那么起点到 i i i 之间的所有位置都能到达。因此只需维护一个不断右移的右边界 max_reach，无需关心区间内部的具体跳法。
与本题的联系 ：跳跃游戏只要求判断「能否到达终点」，不要求给出具体跳跃路径。因此我们无需记录每一步怎么跳，只需保证 max_reach 始终覆盖当前遍历到的下标即可。
注意事项 ：max_reach 的更新必须取「当前最远」与「从 i i i 出发能到的最远位置」的较大值，即 max_reach = max(max_reach, i + nums[i])，不能直接覆盖为 i + nums[i]，否则可能丢失之前位置带来的更远覆盖。

使用要点：

循环遍历 ：用 for (int i = 0; i < n; i++) 顺序遍历每个下标，在循环内先判断是否可达，再更新最远覆盖。
不可达判断 ：if (i > max_reach) return false; 必须放在更新之前，因为当前位置不可达时，后续位置更不可能到达。
剪枝优化 ：每次更新后判断 if (max_reach >= n - 1) return true;，一旦覆盖终点即可提前结束，无需遍历完整个数组。
结果返回 ：若循环正常结束（未提前返回），说明所有下标都在可达范围内，返回 true。

算法变体与扩展：

跳跃游戏（LeetCode 55）：本题，贪心维护最远可达位置的标准应用。
跳跃游戏 II（LeetCode 45）：在保证能到达终点的前提下，求最少跳跃次数。需要额外维护「当前步的覆盖边界」与「下一步的最远覆盖」，是贪心的进阶应用。
跳跃游戏 III（LeetCode 1306） ：从起点出发，每次只能跳到 i + nums[i] 或 i - nums[i]，且不能越界。由于跳跃方向不唯一，贪心失效，需改用 BFS 或 DFS 搜索。
跳跃游戏 IV（LeetCode 1345）：数组中相同值的下标可以互相跳跃，求最少步数。需要结合哈希表分组 + BFS 求解，是图论建模的进阶应用。

相关 LeetCode 例题：

55. 跳跃游戏（贪心 + 维护最远可达位置）
45. 跳跃游戏 II（贪心 + 最少跳跃次数）
1306. 跳跃游戏 III（BFS/DFS + 可达性搜索）
1345. 跳跃游戏 IV（哈希表 + BFS 最短路）