dihedral group 二面体群

二面体群

设正 nnn 边形中心在坐标原点，且有一个顶点位于 xxx 轴正半轴上。

• rrr ：逆时针旋转 2πn\frac{2\pi}{n}n2π（即旋转过一个顶点）；
• sss ：关于 xxx 轴的反射。

对应的矩阵表示为：

r=(cos⁡2πn−sin⁡2πnsin⁡2πncos⁡2πn),s=(100−1). r = \begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}{n} & -\sin\frac{2\pi}{n} \\6pt \sin\frac{2\pi}{n} & \cos\frac{2\pi}{n} \end{pmatrix}, \qquad s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\6pt 0 & -1 \end{pmatrix}. r=(cosn2πsinn2π−sinn2πcosn2π),s=(100−1).

二面体群是正 nnn 边形的全部由以上两种操作组合成的变换和复合操作所构成的代数结构 ，它是一个群，通常记作 DnD_nDn.

这两个生成元满足二面体群的标准关系：

rn=e,s2=e,srs=r−1. r^n = e, \qquad s^2 = e, \qquad srs = r^{-1}. rn=e,s2=e,srs=r−1.

其中第三条关系等价于 sr=r−1ssr = r^{-1}ssr=r−1s，表明旋转与反射不可交换。

群的元素

由 rrr 和 sss 生成的二面体群 DnD_nDn 的阶为 2n2n2n，其所有元素可唯一表示为：

rk,rks,k=0,1,...,n−1. r^k, \quad r^k s, \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1. rk,rks,k=0,1,...,n−1.

• 前 nnn 个元素 rkr^krk 是纯旋转；
• 后 nnn 个元素 rksr^k srks 是反射。

当 n≥3n \geq 3n≥3 时，DnD_nDn 是非交换群。