CF2131D Arboris Contractio

题目描述

Kagari 正准备对一棵树进行归档，她知道归档的成本取决于树的直径 ¹。为了降低成本，她的目标是首先尽可能缩小直径。她可以对树执行以下操作：

选择两个顶点 s 和 t。设从 s 到 t 的简单路径 ² 上的顶点序列为 v0,v1,...,vk，其中 v0=s,vk=t。移除路径上的所有边。即移除边 (v0,v1),(v1,v2),...,(vk−1,vk)。
将顶点 v1,v2,...,vk 直接连接到 v0。即添加边 (v0,v1),(v0,v2),...,(v0,vk)。

可以证明，操作后图仍然是一棵树。

请帮助她确定实现最小直径所需的最少操作次数。

注释：

¹ 树的直径是任意两个顶点之间可能的最长距离。距离本身通过连接它们的唯一简单路径上的边数来衡量。

² 简单路径是树中两个顶点之间的路径，且不会重复访问任何顶点。可以证明，任意两个顶点之间的简单路径总是唯一的。

输入格式

每个测试包含多个测试用例。

第一行包含测试用例的数量 t(1≤t≤104)。

每个测试用例的第一行包含一个整数 n(2≤n≤2⋅105)，表示树中顶点的数量。

每个测试用例的接下来 n−1 行描述树。每行包含两个整数 u 和 v(1≤u,v≤n,u=v)，表示顶点 u 和 v 之间有一条边。保证这些边构成一棵树。

保证所有测试用例的 n 之和不超过 2⋅105。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个整数表示实现最小直径所需的最少操作次数。

输入输出样例

输入 #1复制

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输出 #1复制

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说明/提示

在第一个测试用例中，原始树的直径为 3。Kagari 可以对 s=3 和 t=4 执行操作。操作包括以下步骤：

移除边 (3,1), (1,2) 和 (2,4)。
添加边 (3,1), (3,2) 和 (3,4)。

操作后，直径减小到 2。可以证明 2 是最小直径。

在第二个测试用例中，树的直径为 1。可以证明 1 已经是最小值，因此 Kagari 无需执行操作。

每次操作：

选择两个顶点 s 和 t。设从 s 到 t 的简单路径 ² 上的顶点序列为 v0,v1,...,vk，其中 v0=s,vk=t。移除路径上的所有边。即移除边 (v0,v1),(v1,v2),...,(vk−1,vk)。

将顶点 v1,v2,...,vk 直接连接到 v0。即添加边 (v0,v1),(v0,v2),...,(v0,vk)。

即把一条链"压扁"成以起点为中心的星形。

cpp 复制代码

#include "bits/stdc++.h"
#define int long long
using namespace std;
signed main()
{
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  //这个记得注释掉
  //freopen("../input.txt","r",stdin);
  int t;
  cin>>t;
  while (t--)
  {
    //cout<<"------------------------\n";
    int n;
    cin>>n;
    vector<vector<int>>g(n+1);
    vector<int>in(n+1);//记录每个点连了多少个点
    for (int i=1;i<=n-1;i++)
    {
      int u,v;
      cin>>u>>v;
      g[u].push_back(v);
      g[v].push_back(u);
      in[u]++;
      in[v]++;
    }
    //统计整棵树有多少个叶子
    int cnt_leaf=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
      //度数为 1 的节点就是叶子
      if (in[i]==1)
        cnt_leaf++;
    }
    //找直连叶子最多的点作为根
    int max_leaf=0;
    for (int u=1;u<=n;u++)
    {
      //当前叶子u周围直接连着几个叶子
      int cur_leaf=0;
      for (int v:g[u])
      {
        //度数为 1 的节点就是叶子
        if (in[v]==1)
          cur_leaf++;
      }
      if (cur_leaf>max_leaf)
        max_leaf=cur_leaf;
    }
    //叶子总数-已经直连当前中心的叶子数
    int ans=cnt_leaf-max_leaf;
    if (n==2)//特判
      ans=0;
    cout<<ans<<"\n";
  }
  return 0;
}