【背包dp】输出方案路径

1 01背包输出方案

2 按字典序顺序输出所选背包物品

举个例子，输入的数据↓

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N=5, V=5
1: v=2 w=3
2: v=1 w=0
3: v=1 w=0
4: v=2 w=3
5: v=1 w=5

按照逆向dp，构造出的dp数组（dp $i$ $j$ 表示体积为j时，放第i件物品的最大价值）。如下表所示，dp $1$ $V$ 存储了n件物品，体积为V时的最大价值。搜索时，正序遍历dp数组，内层循环逆序遍历体积，如果dp $i+1$ $curV - v\[i$ ] + w $i$ == dp $i$ $curV$ ),说明第i件物品有选。

体积/物品	1	2	3	4	5
物品1	5	5	8	8	11
物品2	5	5	8	8	8
物品3	5	5	8	8	8
物品4	5	5	8	8	8
物品5	5	5	5	5	5

参考代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, V;
int v[1005], w[1005];
int dp[1005][1005]; // dp[i][j]: 从 i 到 n，容量 j 的最大价值
bool chosen[1005];

int main(){
    cin >> n >> V;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    // 逆序 DP
    for(int i = n; i >= 1; i--){
        for(int j = 0; j <= V; j++){
            dp[i][j] = dp[i+1][j];
            if(j >= v[i]){
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i+1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

    // 从前往后贪心，保证字典序最小
    int curV = V;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(curV >= v[i] && dp[i+1][curV - v[i]] + w[i] == dp[i][curV]){
            chosen[i] = true;
            curV -= v[i];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(chosen[i]){
            cout << i<<" ";
        }
    }
    cout << "\n";
    return 0;
}

例题2 洛谷P2066

对于编号小的尽量少分配机器，再做dp时考虑正向。搜索方案的时候逆向搜索。

参考代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, m, a[20][20], dp[20][20];
int ansk[20];

signed main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			cin >> a[i][j];
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= 1; j--) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			for (int k = 1; k <= j; k++)
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k] + a[i][k]);
		}
	}
	cout << dp[n][m] << endl;
	int curM = m;
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		for (int k = curM; k >= 1; k--) {
			if (dp[i][curM] == dp[i - 1][curM - k] + a[i][k]) {
				ansk[i] = k;
				curM -= k;
				break;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cout << i << " " << ansk[i] << endl;
	return 0;
}