C语言/数据结构动态规划题解：爬楼梯（含坏台阶）——避开障碍物的路径计数

问题描述

小明正在爬一个有 n 级台阶的楼梯，但是他的体力有限，每次只能爬 1 级或者 2 级台阶。更特别的是，楼梯的某些台阶是坏的，小明不能踩上去。小明的目标是爬到楼梯的顶部（第 n 级台阶），但必须避开所有坏掉的台阶。现在，请你帮助小明计算，在避开所有坏台阶的情况下，他有多少种不同的方式可以爬到楼梯顶部。

注意：

楼梯台阶编号从 0 开始（0 表示地面起点）到 n 结束（n 表示顶部终点）
共有 n+1 个位置（0, 1, 2, ..., n），但只有 n 级实际台阶（从 1 到 n）
坏台阶列表 bad 中的元素表示不能踩的台阶编号（在 1 到 n-1 范围内）

要求：

设计一个算法，计算小明爬到顶部的不同方式数量。
算法需要高效处理较大的 n 值，时间复杂度应为 O(n)。

测试样例

样例1：

输入：n = 3, bad = [2] 输出：1 解释：台阶编号为 0（起点）、1、2、3（终点）。第 2 级台阶是坏的。有效路径：

0 → 1 → 3（先爬1级到1，再爬2级到3）无效路径：

0 → 2 → 3（第2级是坏的）

0 → 1 → 2 → 3（经过坏台阶2）所以只有 1 种方式。

样例2：

输入：n = 4, bad = [1, 3] 输出：1 解释：台阶编号为 0、1、2、3、4。第 1 级和第 3 级是坏的。有效路径：

0 → 2 → 4（先爬2级到2，再爬2级到4）无效路径：

0 → 1 → ...（第1级坏）

0 → 2 → 3 → 4（第3级坏）所以只有 1 种方式。

样例3：

输入：n = 5, bad = [] 输出：8 解释：没有坏台阶，这就是经典的爬楼梯问题。爬到第 5 级的方式数量是 8（斐波那契数列：1,2,3,5,8）。有效路径包括所有可能的 1 步和 2 步组合。

样例4：

输入：n = 2, bad = [] 输出：2 解释：台阶编号为 0、1、2。没有坏台阶。有效路径：

0 → 1 → 2（两次1步）

0 → 2（一次2步）所以有 2 种方式。

样例5：

输入：n = 3, bad = [] 输出：3 解释：台阶编号为 0、1、2、3。没有坏台阶。有效路径：

0 → 1 → 2 → 3

0 → 1 → 3

0 → 2 → 3 所以有 3 种方式。

约束条件

1 ≤ n ≤ 1000
0 ≤ len(bad) ≤ n
bad 中的元素互不相同，且都在 $1, n-1$ 范围内（坏台阶不会包括第 0 级或第 n 级）
答案保证在 32 位有符号整数范围内

解题提示

可以使用动态规划：

设 dp $i$ 表示到达第 i 级台阶的方式数
初始化：dp $0$ = 1（起点）
对于每个位置 i（从 1 到 n）：
- 如果 i 是坏台阶，则 dp $i$ = 0
- 否则，dp $i$ = dp $i-1$ + dp $i-2$ （可以从 i-1 爬 1 步或从 i-2 爬 2 步到达）
注意处理边界条件（i-1 和 i-2 需要大于等于 0）

程序代码

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

int climbStairs(int n, int* bad, int badSize) {

// 标记坏台阶

int* isBad = (int*)calloc(n + 1, sizeof(int));

for (int i = 0; i < badSize; i++) {

isBad $bad\[i$ ] = 1;

}

// dp $i$ 表示到达第 i 级台阶的方式数

int* dp = (int*)malloc((n + 1) * sizeof(int));

dp $0$ = 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) {

if (isBad $i$ ) {

dp $i$ = 0;

} else {

dp $i$ = 0;

if (i - 1 >= 0) dp $i$ += dp $i - 1$ ;

if (i - 2 >= 0) dp $i$ += dp $i - 2$ ;

}

int result = dp $n$ ;

free(dp);

free(isBad);

return result;

}

int main() {

int bad1\[\] = {2};

printf("%d\n", climbStairs(3, bad1, 1)); // 1

int bad2\[\] = {1, 3};

printf("%d\n", climbStairs(4, bad2, 2)); // 1

int bad3\[\] = {};

printf("%d\n", climbStairs(5, bad3, 0)); // 8

printf("%d\n", climbStairs(2, bad3, 0)); // 2

printf("%d\n", climbStairs(3, bad3, 0)); // 3

return 0;

}

cpp 复制代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

int climbStairs(int n, int* bad, int badSize) {
    // 标记坏台阶
    int* isBad = (int*)calloc(n + 1, sizeof(int));
    for (int i = 0; i < badSize; i++) {
        isBad[bad[i]] = 1;
    }
    
    // dp[i] 表示到达第 i 级台阶的方式数
    int* dp = (int*)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    dp[0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (isBad[i]) {
            dp[i] = 0;
        } else {
            dp[i] = 0;
            if (i - 1 >= 0) dp[i] += dp[i - 1];
            if (i - 2 >= 0) dp[i] += dp[i - 2];
        }
    }
    
    int result = dp[n];
    free(dp);
    free(isBad);
    return result;
}

int main() {
    int bad1[] = {2};
    printf("%d\n", climbStairs(3, bad1, 1));  // 1
    
    int bad2[] = {1, 3};
    printf("%d\n", climbStairs(4, bad2, 2));  // 1
    
    int bad3[] = {};
    printf("%d\n", climbStairs(5, bad3, 0));  // 8
    printf("%d\n", climbStairs(2, bad3, 0));  // 2
    printf("%d\n", climbStairs(3, bad3, 0));  // 3
    
    return 0;
}