天赐范式第188天：让环境开始轮回——周期峰的低通滤波响应

天赐范式2026-10-08 14:35

天赐范式第188天·第一篇：让环境开始轮回------周期峰的低通滤波响应

摘要

周期峰驱动下AR(1)均值响应是低通滤波：幅值衰减|H(Ω)|+相位滞后φ(Ω)，离散z域闭式。临界周期T*=2π/c≈523代，数值比值1.00。

一、接续187-1：定向移动做完了，周期呢？

187-1让峰开始移动------但那是单调趋势：x*(t)=x*_0+v·t，峰一直往一个方向跑。种群学会了就是常数滞后，追得很稳。

真实栖息地的环境变化有个更基本的形态：周期。昼夜、季节、潮汐------环境不是一直变好或一直变坏，是来回摆。这是环境弧的第二分量。

数学上区别很大：定向移动下种群对峰是常数滞后 （187-1的lag*）；周期驱动下种群均值是对峰的低通滤波 ------响应是幅值衰减+相位滞后。这是AR(1)对正弦输入的标准稳态解，理论结构全新，不是187的延伸。

二、理论推导------AR(1)低通滤波

均值更新（与187-1同）：μ(t+1) = (1−c)·μ(t) + c·x*(t)，c = β·h²·K

周期峰：x*(t) = x*_0 + A·sin(Ω·t)，Ω是角频率（弧度/代）。

z域传递函数

H(z) = c / (z − (1−c))

令z = e^(jΩ)，离散频率响应：

|H(Ω)| = c / √(1 − 2(1−c)cos(Ω) + (1−c)²)

φ(Ω) = −atan2(sin(Ω), cos(Ω) − 1 + c)

连续极限（Ω→0, c≪1）

|H(Ω)| → c / √(c² + Ω²)

φ(Ω) → −arctan(Ω / c)

临界周期

半功率点 |H| = 1/√2 对应 Ω* = c（连续近似），临界周期：

T* = 2π / c ≈ 2π / 0.012 ≈ 523代

这是"数字生命的时间尺度"------环境周期比这短，种群就感知不到。

三、频率响应曲线：理论vs数值

固定σ_v=0.02（c=0.0120），振幅A=0.3，扫Ω ∈ {0.005, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.1, 0.2}。正弦拟合提取种群均值的幅值和相位。

Ω T(代) |H|离散 |H|连续 |H|数值 比值 φ离散 φ数值 平均fitness 状态
0.005 1257 0.924 0.923 0.923 1.00 −0.395 0.377 0.729 跟踪
0.010 628 0.770 0.768 0.773 1.00 −0.697 0.673 0.498 衰减
0.012 524 0.709 0.707 0.714 1.01 −0.788 0.769 0.442 衰减
0.020 314 0.517 0.515 0.518 1.00 −1.038 1.014 0.353 衰减
0.030 209 0.374 0.372 0.375 1.00 −1.203 1.184 0.318 衰减
0.050 126 0.235 0.234 0.236 1.00 −1.359 1.349 0.298 衰减
0.100 63 0.120 0.119 0.120 1.00 −1.501 1.492 0.291 衰减
0.200 31 0.060 0.060 0.060 1.00 −1.611 1.611 0.288 躺平

幅值衰减|H|：离散理论vs数值比值全部1.00-1.01------闭式精确。相位φ：理论为负（滞后），数值返回atan2(−a,b)取绝对值，两者符号约定不同，下文比较绝对值。

四、跟踪区、衰减区与躺平区

跟踪区（T ≥ 1257代，Ω ≤ 0.005）：|H|≈0.92，种群均值振幅接近峰振幅。 峰慢，种群跟得上，只有相位滞后φ≈0.4弧度（约79代延迟，数值约75代）。

衰减区（T = 63~628代，Ω = 0.01~0.1）：0 < |H| < 1，种群均值振幅衰减。 半功率点（|H|=1/√2≈0.707）在临界周期T*=2π/c≈523代附近（见表中Ω=0.012行，T=524代，|H|离散=0.709）。T=314代时|H|=0.52，T=63代时|H|=0.12------种群均值几乎不动，峰在摆种群不摆。

躺平区（T ≤ 31代，Ω ≥ 0.2）：|H|→0，种群均值完全躺平。 峰在动，种群不动，平均fitness≈0.29------反而可能不如"假装峰不动"。这是滤波特性的必然：快于T*的周期，种群感知不到。

临界周期T*≈523代是分界线。 c=β·h²·K=0.012是跟踪速率，T*=2π/c是种群响应时间尺度。环境周期比T*长，种群跟得上；比T*短，种群感知不到。

五、结论与弧签名动作

问题 答案
周期峰下种群怎么响应？ 低通滤波：幅值衰减|H(Ω)|+相位滞后φ(Ω)，AR(1)标准稳态解
临界周期多长？ T*=2π/c≈523代------数字生命感知环境变化的时间尺度下限
理论准吗？ 幅值比值全部1.00，离散z域闭式精确
和187-1什么关系？ 187-1定向移动=常数滞后；188-1周期驱动=低通滤波，环境弧第二分量

叙事弧：

  • 187-1：定向移动------常数滞后lag*=v(1−c)/c
  • 188-1：周期驱动------低通滤波|H(Ω)|+φ(Ω)，从"追踪"升级到"滤波"
  • 弧签名动作：187定向追踪 → 188周期滤波。
  • 主线意义：T*≈523代是数字生命感知环境变化的时间尺度下限。

环境弧全貌：定向（187，趋势分量）→ 周期（188-1，季节分量）→ 随机游走（不可预测分量，留给189+）。

降调：

  1. 线性化近似。 低通滤波公式是AR(1)线性系统的稳态解，假设h²和K当常数（用σ_v=0.02自洽解）。大振幅下种群偏离峰远，h²和K有微小漂移（187-1降调2同源）。振幅A=0.3下影响小，更大振幅需验证。

  2. 相位拟合有0~5%偏差（随Ω减小而增大）。 数值相位绝对值比理论略小（如0.377 vs 0.395，偏差4.6%；1.611 vs 1.611，偏差0%）。偏差源于低频端测量窗覆盖周期少、暂态残留多；高频端周期多、暂态影响小。幅值精确匹配是核心结果，相位偏差在降调里如实报。

  3. 测量窗含整数个周期。 gen=4000、warmup=500，测量窗3500代。最长周期T=1257代覆盖2.8个周期------够。更长的周期需要更多代数。

  4. 跟踪区仅Ω=0.005一个格点支撑。 更慢周期（Ω<0.005）未测，需要更长模拟窗口。

  5. 单位点模型。 多位点、上位效应、连锁不平衡待后续。

系列还在逐步建设中，完善是和伙伴们的努力方向。

附录：完整代码

python 复制代码 
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
天赐范式 第188天 第一篇
让环境开始轮回------周期峰的低通滤波响应

PID: TC-188A-V3.3.26.0
V3.3.26.0 · 2026-10-07

接续187-1：定向移动（趋势分量）→ 周期移动（季节分量）
  187-1: x*(t)=x*_0+v·t（单调趋势），种群响应=常数滞后
  188-1: x*(t)=x*_0+A·sin(Ω·t)（周期驱动），种群响应=低通滤波

理论：AR(1)均值动力学 μ(t+1)=(1-c)·μ(t)+c·x*(t)，c=β·h²·K
  z域传递函数 H(z)=c/(z-(1-c))
  令z=e^(jΩ)，离散频率响应：
    |H(Ω)| = c/√(1−2(1−c)cos(Ω)+(1−c)²)
    φ(Ω)  = −atan2(sin(Ω), cos(Ω)−1+c)
  连续极限（Ω→0, c<<1）：
    |H(Ω)| → c/√(c²+Ω²)
    φ(Ω)  → −arctan(Ω/c)
  临界周期 T*=2π/c≈523代（半功率点）

预测：
  慢周期（T>>T*）：A≈1, φ≈0，种群紧跟峰
  快周期（T<<T*）：A→0，种群均值躺平，峰在动种群不动
  T*≈523代是"数字生命的时间尺度"------季节比这短就感知不到

数值：扫Ω，正弦拟合提取幅值衰减+相位滞后，理论vs数值对比
"""

import sys
import math
import numpy as np

if hasattr(sys.stdout, "reconfigure"):
    sys.stdout.reconfigure(encoding="utf-8")

PID = "TC-188A-V3.3.26.0"

TARGET = 0.5
X_STAR_0 = 0.8
AMPLITUDE = 0.3
FITNESS_WIDTH = 0.10
BETA = 0.3
SIGMA_E = 0.02
SIGMA_V = 0.02
N_POP = 200
N_GENERATIONS = 4000
WARMUP_STATIC = 500
N_SEEDS = 20
TOL = 1e-12
MAX_ITER = 5000

OMEGAS = [0.005, 0.01, 0.012, 0.02, 0.03, 0.05, 0.1, 0.2]


def bar(title):
    print("=" * 72)
    print("  " + title)
    print("=" * 72)
    print()


def sub(title):
    print("【" + title)
    print("-" * 72)


def fitness(x, x_star):
    return np.exp(-(x - x_star) ** 2 / (2 * FITNESS_WIDTH ** 2))


def solve_self_consistent(sigma_v):
    var_g = sigma_v ** 2 / (1 - BETA ** 2)
    for it in range(MAX_ITER):
        sigma_x2 = var_g + SIGMA_E ** 2
        h2 = var_g / sigma_x2
        v_x_sel = sigma_x2 * FITNESS_WIDTH ** 2 / (sigma_x2 + FITNESS_WIDTH ** 2)
        var_g_sel = h2 ** 4 * v_x_sel + var_g * (1 - h2 ** 2)
        var_g_new = BETA ** 2 * var_g_sel + sigma_v ** 2
        if abs(var_g_new - var_g) < TOL:
            return var_g_new, it + 1
        var_g = var_g_new
    return var_g, MAX_ITER


def theory_response(omega, track_rate):
    c = track_rate
    denom = 1.0 - 2.0 * (1.0 - c) * math.cos(omega) + (1.0 - c) ** 2
    gain = c / math.sqrt(denom) if denom > 0 else float('inf')
    phase = -math.atan2(math.sin(omega), math.cos(omega) - 1.0 + c)
    return gain, phase


def theory_response_cont(omega, track_rate):
    c = track_rate
    gain = c / math.sqrt(c ** 2 + omega ** 2)
    phase = -math.atan2(omega, c)
    return gain, phase


def run_one(omega, seed):
    rng = np.random.RandomState(seed)
    genes = rng.normal(TARGET, 0.01, N_POP)
    mu_trace = []
    xstar_trace = []
    fit_trace = []

    for gen in range(N_GENERATIONS):
        if gen < WARMUP_STATIC:
            x_star = X_STAR_0
        else:
            t = gen - WARMUP_STATIC
            x_star = X_STAR_0 + AMPLITUDE * math.sin(omega * t)

        phenos = genes + rng.normal(0, SIGMA_E, N_POP)
        fits = fitness(phenos, x_star)
        fit_sum = float(fits.sum())

        if fit_sum < 1e-10:
            for g2 in range(gen, N_GENERATIONS):
                if g2 >= WARMUP_STATIC:
                    fit_trace.append(0.0)
            break

        probs = fits / fit_sum
        sel_idx = rng.choice(N_POP, size=N_POP, p=probs)
        parent_genes = genes[sel_idx]
        mu = float(np.mean(genes))
        genes = mu + BETA * (parent_genes - mu) + rng.normal(0, SIGMA_V, N_POP)

        if gen >= WARMUP_STATIC:
            mu_trace.append(float(np.mean(genes)))
            xstar_trace.append(x_star)
            fit_trace.append(float(np.mean(fits)))

    return np.array(mu_trace), np.array(xstar_trace), np.array(fit_trace)


def sine_fit(mu_trace, xstar_trace, omega):
    t = np.arange(len(mu_trace)) + 1
    residual = mu_trace - X_STAR_0
    cos_basis = np.cos(omega * t)
    sin_basis = np.sin(omega * t)
    A_mat = np.array([[np.sum(cos_basis * cos_basis), np.sum(cos_basis * sin_basis)],
                      [np.sum(sin_basis * cos_basis), np.sum(sin_basis * sin_basis)]])
    b_vec = np.array([np.sum(residual * cos_basis), np.sum(residual * sin_basis)])
    try:
        coeffs = np.linalg.solve(A_mat, b_vec)
    except np.linalg.LinAlgError:
        return 0.0, 0.0
    a, b = coeffs
    amp = math.sqrt(a ** 2 + b ** 2)
    phase = math.atan2(-a, b)
    return amp, phase


def main():
    bar(f"{PID}  让环境开始轮回------周期峰的低通滤波响应")
    print(f"模型: g'=μ+β(g_sel-μ)+v_mut（回归到种群均值μ）")
    print(f"fitness峰: x*(t)=x*_0+A·sin(Ω·t), x*_0={X_STAR_0}, A={AMPLITUDE}")
    print(f"参数: β={BETA}, σ_e={SIGMA_E}, σ_v={SIGMA_V}, N={N_POP}, seeds={N_SEEDS}")
    print(f"理论: AR(1)低通滤波 |H(Ω)|=c/√(1−2(1−c)cos(Ω)+(1−c)²)")
    print(f"      连续极限 |H|=c/√(c²+Ω²), φ=−arctan(Ω/c)")
    print(f"      临界周期 T*=2π/c")
    print(f"数值: gen={N_GENERATIONS}, warmup={WARMUP_STATIC}, 正弦拟合提取幅值+相位")
    print()

    var_g_star, _ = solve_self_consistent(SIGMA_V)
    sigma_x2 = var_g_star + SIGMA_E ** 2
    h2 = var_g_star / sigma_x2
    K = sigma_x2 / (sigma_x2 + FITNESS_WIDTH ** 2)
    track_rate = BETA * h2 * K
    T_star = 2 * math.pi / track_rate

    sub("理论参数（σ_v=0.02自洽）")
    print(f"  h²* = {h2:.4f}")
    print(f"  K   = {K:.4f}")
    print(f"  c = β·h²·K = {track_rate:.6f}（跟踪速率）")
    print(f"  T* = 2π/c = {T_star:.1f}代（临界周期）")
    print()

    sub("频率响应：理论 vs 数值")
    print(f"{'Ω':>8s}  {'T(代)':>8s}  {'|H|离散':>8s}  {'|H|连续':>8s}  {'|H|数值':>8s}  {'φ离散':>8s}  {'φ数值':>8s}  {'平均fit':>10s}  {'状态':>6s}")
    print("-" * 90)

    results = []
    for omega in OMEGAS:
        T = 2 * math.pi / omega
        gain_discrete, phase_discrete = theory_response(omega, track_rate)
        gain_cont, phase_cont = theory_response_cont(omega, track_rate)

        gains_seed = []
        phases_seed = []
        fits_seed = []
        for seed in range(N_SEEDS):
            mu_trace, xstar_trace, fit_trace = run_one(omega, seed)
            amp, phase = sine_fit(mu_trace, xstar_trace, omega)
            gains_seed.append(amp / AMPLITUDE)
            phases_seed.append(phase)
            fits_seed.append(float(np.mean(fit_trace)) if len(fit_trace) > 0 else 0.0)

        gain_num = float(np.mean(gains_seed))
        phase_num = float(np.mean(phases_seed))
        mean_fit = float(np.mean(fits_seed))

        if gain_num > 0.9:
            status = "跟踪"
        elif gain_num > 0.1:
            status = "衰减"
        else:
            status = "躺平"

        results.append({
            'omega': omega, 'T': T, 'gain_discrete': gain_discrete,
            'gain_cont': gain_cont, 'gain_num': gain_num,
            'phase_discrete': phase_discrete, 'phase_num': phase_num,
            'mean_fit': mean_fit, 'status': status,
        })

        print(f"{omega:>8.4f}  {T:>8.1f}  {gain_discrete:>8.4f}  {gain_cont:>8.4f}  {gain_num:>8.4f}  {phase_discrete:>8.4f}  {phase_num:>8.4f}  {mean_fit:>10.6f}  {status:>6s}")

    print()

    sub("理论 vs 数值对比")
    for r in results:
        ratio = r['gain_num'] / r['gain_discrete'] if r['gain_discrete'] > 1e-6 else float('inf')
        print(f"  Ω={r['omega']:.4f} (T={r['T']:.0f}代): |H|离散={r['gain_discrete']:.4f} vs |H|数值={r['gain_num']:.4f}，比值={ratio:.2f}，φ离散={r['phase_discrete']:.4f} vs φ数值={r['phase_num']:.4f}")

    print()

    sub("结论")
    print(f"187-1：定向移动，常数滞后lag*=v·(1−c)/c")
    print(f"188-1：周期驱动，低通滤波响应|H(Ω)|+φ(Ω)")
    print(f"       临界周期 T*=2π/c={T_star:.0f}代------数字生命的时间尺度")
    track_vs = [r for r in results if r['status'] == "跟踪"]
    decay_vs = [r for r in results if r['status'] == "衰减"]
    flat_vs = [r for r in results if r['status'] == "躺平"]
    if track_vs:
        print(f"       跟踪区：T≥{track_vs[-1]['T']:.0f}代（Ω≤{track_vs[-1]['omega']:.4f}），|H|≈1")
    if decay_vs:
        print(f"       衰减区：T∈[{decay_vs[-1]['T']:.0f}, {decay_vs[0]['T']:.0f}]代，0<|H|<1")
    if flat_vs:
        print(f"       躺平区：T≤{flat_vs[0]['T']:.0f}代（Ω≥{flat_vs[0]['omega']:.4f}），|H|→0")
    print()
    print(f"  弧签名动作：187定向追踪 → 188周期滤波")
    print(f"  主线意义：T*≈{T_star:.0f}代是数字生命感知环境变化的时间尺度下限")


if __name__ == "__main__":
    main()

天赐范式 V3.3.26.0 · 2026-10-07

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