自然推理系统 P
命题逻辑推理理论
自然推理系统 F
推理的形式结构
定理（基本推理公式） 以下蕴涵式皆为重言式：（重言蕴涵式）
1.A⇒（A∨B） | 附加律 |
2 .(A∧B)⇒A | 化简律 |
3 .(A→B)∧A⇒B | 假言推理 |
4 .(A→B)∧¬B⇒¬A | 拒取式 |
5 .(A∨B）∧¬B⇒A | 析取三段论 |
-
(A→B）∧（B→C)⇒(A→C) | 假言三段论 |
-
(A↔B）∧（B↔C)⇒（A↔C) | 等价三段论 |
8 .(A→B）∧（C→D)∧（A∨C)⇒（B∨D) | 构造性二难 |
(A→B）∧（¬A→B）⇒B | 构造性二难（特殊形式） |
- (A→B）∧（C→D)∧（¬B∨¬D)⇒（¬A∨¬C) | 破坏性二难 |
注：每个等值式可产生两个推理定律
如,由 A⇔¬¬A 可产生 A⇒¬¬A 和¬¬A ⇒A
练习
写出以下推理的推理形式结构：
- 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了。
- 若下午气温超过 30℃，则王晓燕必去游泳。若她去游泳了，她就不去看电影了。所以若王晓燕没去看电影，下午气温必超过了 30℃。
- 若 a 是奇数，则 a 不能被 2 整除。若 a 是偶数，则 a 能被 2 整除。因此，如果 a 是偶数，则 a 不是奇数。
以下蕴含式哪些是重言式？ ABEFG
A (A∨B）∧¬B→A B (A→B）∧¬B→¬A C （A→B）∧B→¬A D (A→B）∧B→A E （A→B）→A F (A→B）∧（¬A→B)→B G (A→B）∧（B→C)→(A→C)主要内容：
- 形式系统的定义与分类
- 自然推理系统 P
- 在 P 中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法
要求：
- 掌握自然推理系统的组成
- 熟练应用构造推理证明的方法进行推理证明
- 包括：直接证明法、附加前提法、归谬法
一个形式系统 I 由下面四个部分组成：
- 非空的字母表，记作 A (I)
- A (I) 中符号构造的合式公式集，记作 E (I)
- E (I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 Aₓ(I)
- 推理规则集，记作 R (I)
记 I=<A (I), E (I), Aₓ(I), R (I)>，其中 <A (I), E (I)> 是 I 的形式语言系统 ，<Aₓ(I), R (I)> 是 I 的形式演算系统。
形式系统一般分为两类：（本课程只介绍自然推理系统）
- 自然推理系统：无公理，即 Aₓ=∅
- 公理推理系统 ：推出的结论是系统中的重言式，称作定理
自然推理系统 P 定义如下：
- 字母表
- (1) 命题变项符号：P，Q，R...
- (2) 联结词符号：¬, ∧, ∨, →, ↔
- (3) 括号与逗号：（），
2. 合式公式
用 9 条推理定律和结论引入规则，可以导出以下各条推理规则
3. 推理规则
- (1) 前提引入规则
- (2) 结论引入规则
- (3) 置换规则（子公式等值置换）
推理的形式结构 --- 主要的推理规则
(1) 前提引入规则
在证明的任何步骤上，都可引入前提
(2) 结论引入规则
在证明的任何步骤上，中间所证明的结论都可以作为后续证明的前提
(3) 置换规则
在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换
(4) 假言推理规则
A→B
A
∴ B
(5) 附加规则
A
∴ A∨B
(6) 化简规则
A∧B
∴ A
(7) 拒取式规则
A→B
¬B
∴ ¬A
(8) 假言三段论规则
A→B
B→C
∴ A→C
(9) 析取三段论规则
A∨B
¬B
∴ A
(10) 构造性二难推理规则
A→B
C→D
A∨C
∴ B∨D
(11) 破坏性二难推理规则
A→B
C→D
¬B∨¬D
∴ ¬A∨¬C
(12) 合取引入规则
A
B
∴ A∧B
例：构造下面推理的证明(重点！！！！！！！！！！其实这里符号最好用小写)
若明天是星期一或星期三，我明天就有课。若我明天有课，今天必备课。我今天没备课。所以，明天不是星期一、也不是星期三。
解：
(1) 设命题并符号化
- 设 P：明天是星期一
- Q：明天是星期三
- R：我明天有课
- S：我今天备课
(2) 写出证明的形式结构
- 前提：(P∨Q)→R, R→S, ¬S
- 结论：¬P∧¬Q
(3) 证明（证明时每一个前提都要用）：
① ¬S ------ 前提引入
② R→S ------ 前提引入
③ ¬R ------ ①②拒取式
④ (P∨Q)→R ------ 前提引入
⑤ ¬(P∨Q) ------ ③④拒取式
⑥ ¬P∧¬Q ------ ⑤置换
例：构造下列推理的论证
- 前提：P∨Q, P→¬R, S→T, ¬S→R
- 结论：Q
证明：
(1) S→T ------ 前提引入
(2) ¬T ------ 前提引入
(3) ¬S ------ (1)(2) 拒取式
(4) ¬S→R ------ 前提引入
(5) R ------ (3)(4) 假言推理
(6) P→¬R ------ 前提引入
(7) ¬P ------ (5)(6) 拒取式
(8) P∨Q ------ 前提引入
(9) Q ------ (7)(8) 析取三段论
推理正确
附加前提证明法（适用于结论为蕴涵式）
| 欲证 | 等价地证明 |
|---|---|
| 前提：A₁, A₂, ..., Aₖ | 前提：A₁, A₂, ..., Aₖ, C |
| 结论：C→B | 结论：B |
理由：
（A₁∧A₂∧...∧Aₖ）→(C→B)
⇔ ¬(A₁∧A₂∧...∧Aₖ)∨(¬C∨B)
⇔ ¬(A₁∧A₂∧...∧Aₖ∧C)∨B
⇔ (A₁∧A₂∧...∧Aₖ∧C)→B
例：构造下面推理的证明
2 是素数或合数。若 2 是素数，则√2 是无理数。若√2 是无理数，则 4 不是素数。所以，如果 4 是素数，则 2 是合数。
解：用附加前提证明法构造证明
(1) 设 P：2 是素数，Q：2 是合数，R：√2 是无理数，S：4 是素数
(2) 推理的形式结构
- 前提：P∨Q, P→R, R→¬S
- 结论：S→Q
(3) 证明：
① S ------ 附加前提引入
② P→R ------ 前提引入
③ R→¬S ------ 前提引入
④ P→¬S ------ ②③假言三段论
⑤ ¬P ------ ①④拒取式
⑥ P∨Q ------ 前提引入
⑦ Q ------ ⑤⑥析取三段论
eg:
在自然推理系统 P 中使用附加前提证明法构造下面推理的证明
- 前提：¬P∨(Q→R), ¬S∨P, Q
- 结论：S→R
归谬法（反证法）
欲证：
- 前提：A₁, A₂, ..., Aₖ
- 结论：B
做法： 在前提中加入 ¬B，推出矛盾
理由：
A₁∧A₂∧...∧Aₖ→B
⇔ ¬(A₁∧A₂∧...∧Aₖ)∨B
⇔ ¬(A₁∧A₂∧...∧Aₖ∧¬B)
⇔ ¬(A₁∧A₂∧...∧Aₖ∧¬B)∨0
⇔ A₁∧A₂∧...∧Aₖ∧¬B→0
例：
- 前提：(P∧Q)∨R, R→S, ¬S, P
- 结论：¬Q
证明：用归谬法
① Q ------ 结论否定引入
② ¬S ------ 前提引入
③ R→S ------ 前提引入
④ ¬R ------ ②③拒取式
⑤ (P∧Q)∨R ------ 前提引入
⑥ ¬(P∧Q) ------ ④⑤析取三段论
⑦ ¬P∨¬Q ------ ⑥置换
⑧ P ------ 前提引入
⑨ ¬Q ------ ⑦⑧析取三段论
⑩ P∧¬P ------ ⑧⑨合取
结果是矛盾
在自然推理系统 P 中使用归谬法构造下面推理的证明
- 前提：P→¬Q, ¬Q∨R, ¬R
- 结论：¬P
-
自己写
要求：
理解并记住推理形式结构的两种形式
- (A₁∧A₂∧...∧Aₖ)→B
-
- 前提：A₁, A₂, ..., Aₖ；结论：B
- 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）
- 牢记 P 系统中各条推理规则
- 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬法
- 会解决实际中的简单推理问题
1. 判断下面推理是否正确
(1) 前提：¬P→Q，¬Q；
结论：¬P
推理的形式结构：(¬P→Q)∧¬Q→P
解：
方法一：等值演算法
(¬P→Q)∧¬Q→P
⇔ ¬((P∨Q)∧¬Q)∨¬P
⇔ (¬P∧¬Q)∨Q∨¬P
⇔...
⇔¬ P∨Q
易知 10 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确。
方法二：主析取范式法
(¬P→Q)∧¬Q→¬P
⇔...
⇔¬ P∨Q
⇔ M₂
⇔ m₀∨m₁∨m₃
未含 m₂，不是重言式，推理不正确。
方法三：真值表法
| P | Q | ¬P→Q | (¬P→Q)∧¬Q | (¬P→Q)∧¬Q→¬P |
0 0 0 0 1
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 1 0 1
不是重言式，推理不正确。
方法四： 直接观察出 10 是成假赋值
(2) 前提：q→r, p→¬r
结论：q→¬p
解 推理的形式结构：
(q→r)∧(p→¬r)→(q→¬p)
用等值演算法：
(q→r)∧(p→¬r)→(q→¬p)
⇔ (¬q∨r)∧(¬p∨¬r)→(¬q∨¬p)
⇔ ¬((¬q∨r)∧(¬p∨¬r))∨(¬q∨¬p)
⇔ ¬((q∧¬r)∨(p∧r))∨(¬q∨¬p)
⇔ ((¬q∨r)∧(¬p∨¬r))∨(¬q∨¬p)
⇔ 1
推理正确
- 在系统 P 中构造下面推理的证明：
如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩。如果颐和园游人太多，就不去颐和园。今天是周六，并且颐和园游人太多。所以，我们去圆明园或动物园玩。
证明：
(1) 设
p：今天是周六
q：到颐和园玩
r：到圆明园玩
s：颐和园游人太多
t：到动物园玩
(2) 前提：p→(q∨r), s→¬q, p, s
结论：r∨t
(3) 证明：
① p→(q∨r) 前提引入
② p 前提引入
③ q∨r ①②假言推理
④ s→¬q 前提引入
⑤ s 前提引入
⑥ ¬q ④⑤假言推理
⑦ r ③⑥析取三段论
⑧ r∨t ⑦附加