leetcode 152乘积最大子数组

一、完整代码（精简注释）

复制代码

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        // 初始化当前最大、最小乘积及全局最大值
        long long maxfn = nums[0];
        long long minfn = nums[0];
        long long ans = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            // 保存上一轮的最大、最小乘积
            long long mx = maxfn, mn = minfn;

            // 三种情况取最大乘积
            maxfn = max((long long)nums[i],
                        max(mx * nums[i], mn * nums[i]));

            // 三种情况取最小乘积
            minfn = min((long long)nums[i],
                        min(mx * nums[i], mn * nums[i]));

            // 更新全局最大乘积
            ans = max(maxfn, ans);
        }

        return (int)ans;
    }
};

二、动态规划五步总结

1. 确定 DP 状态

这道题使用动态规划的空间优化形式，只需要三个变量：

maxfn：以当前元素结尾的连续子数组的最大乘积。
minfn：以当前元素结尾的连续子数组的最小乘积。
ans：遍历过程中出现的全局最大乘积。

为什么需要维护最小乘积？

因为负数乘负数可能得到最大的正数，所以之前的最小乘积也可能产生当前的最大乘积。

2. 确定递推公式

对于每个 nums[i]，考虑三种情况：

当前元素自己作为一个子数组：nums[i]
前一个最大乘积乘以当前元素：mx * nums[i]
前一个最小乘积乘以当前元素：mn * nums[i]

最大乘积：

复制代码

maxfn = max((long long)nums[i],
            max(mx * nums[i], mn * nums[i]));

最小乘积：

复制代码

minfn = min((long long)nums[i],
            min(mx * nums[i], mn * nums[i]));

注意： mx 和 mn 保存的是上一轮的状态，避免更新 maxfn 后影响 minfn 的计算。

3. 初始化

复制代码

long long maxfn = nums[0];
long long minfn = nums[0];
long long ans = nums[0];

只有第一个元素时，最大乘积、最小乘积和全局最大乘积都等于 nums[0]。

4. 确定遍历顺序

复制代码

for(int i = 1; i < nums.size(); i++)

从左往右遍历，因为当前位置的最大、最小乘积依赖前一个位置的状态。

5. 举例推导

假设：

复制代码

nums = [-2, 3, -4]

i	nums $i$	maxfn	minfn	ans
0	-2	-2	-2	-2
1	3	3	-6	3
2	-4	24	-12	24

当 i = 2 时：

复制代码

mx = 3;
mn = -6;
nums[i] = -4;

计算：

复制代码

maxfn = max(-4, max(-12, 24)); // 24
minfn = min(-4, min(-12, 24)); // -12
ans = max(24, 3);              // 24

最终返回 24。

三、复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$，只需要遍历一次数组。
空间复杂度： $O(1)$，只使用固定数量的变量，不需要额外的 DP 数组。

四、核心易错点

为什么需要同时维护最大值和最小值？

负数会改变乘积的大小关系，之前的最小乘积乘以负数可能成为最大乘积。

为什么需要 mx 和 mn？

因为更新当前最大、最小乘积时，都必须使用上一轮的状态，不能使用已经更新的 maxfn。

为什么 ans 不能直接等于 maxfn？

因为最大乘积子数组不一定以最后一个元素结尾，所以需要记录遍历过程中的最大值：

复制代码

ans = max(ans, maxfn);

为什么使用 long long？

为了扩大中间乘积的表示范围，降低整数溢出的风险。但 long long 也有范围限制，并不能保证任意输入都不溢出。

最终记忆：

这道题的核心就是维护两个状态（最大乘积、最小乘积），每次从三种情况中更新当前状态，再通过 ans 保存全局最大值。

普通 DP 需要 $O(n)$ 空间，而这里每次只依赖上一轮状态，因此可以优化到 $O(1)$ 空间。