带宽，时延，抖动的不可能三角

简单论证一下带宽，时延，抖动的不可能三角，这是一个非常浅显的道理，啰嗦了无数次，也不在乎再多一次。

之前说过 TCP/IP\text{TCP/IP}TCP/IP 网络所有理论都基于泊松到达指数分布的排队论，而这个前提模型是错误的，因为数据流是幂分布的，但不影响用 M/M/1\text{M/M/1}M/M/1 来论述这个不可能三角。

链路服务率 μ\muμ，到达率 λ\lambdaλ，利用率 ρ=λμ,(0≤ρ<1)\rho=\dfrac{\lambda}{\mu},\quad(0\le\rho\lt 1)ρ=μλ,(0≤ρ<1)，

M/M/1\text{M/M/1}M/M/1 中，系统总时间 TTT 包括排队等待和服务时间，服从参数为 μ⋅(1−ρ)\mu\cdot(1-\rho)μ⋅(1−ρ) 的指数分布，平均时延：

E $T$ =1μ(1−ρ)\mathbb{E} $T$ = \dfrac{1}{\mu(1-\rho)}E $T$ =μ(1−ρ)1

链路固有的抖动：

σT=Var $T$ =1μ(1−ρ)\sigma_T = \sqrt{\mathrm{Var} $T$ } = \dfrac{1}{\mu(1-\rho)}σT=Var $T$ =μ(1−ρ)1

所以：

σT=E $T$ =1μ(1−ρ)\sigma_T = \mathbb{E} $T$ = \frac{1}{\mu(1-\rho)}σT=E $T$ =μ(1−ρ)1

平均时延和抖动在 M/M/1\text{M/M/1}M/M/1 里同量级，为了适应所有分布的流，我将抖动从模型中拆开，靠接收缓存 BBB 耦合。

接收端部署深度为 BBB 的 buffer\text{buffer}buffer，把到达时间的波动锁住，方可均匀输出。

buffer\text{buffer}buffer 吸收的波动上限为 BBB，剩余的波动即输出抖动 JJJ：

J=max⁡(0,;σT−B)J = \max\left(0,; \sigma_T - B\right)J=max(0,;σT−B)

如此拆开后，端到端总时延就包括排队时延和 buffer\text{buffer}buffer 时延，写作：

D=E $T$ +B=1μ(1−ρ)+BD = \mathbb{E} $T$ + B = \dfrac{1}{\mu(1-\rho)} + BD=E $T$ +B=μ(1−ρ)1+B

把 BBB 从抖动约束里解出来：

B≥1μ(1−ρ)−JB \geq \dfrac{1}{\mu(1-\rho)}-JB≥μ(1−ρ)1−J

代入 DDD：

D=1μ(1−ρ)+max⁡(0,;1μ(1−ρ)−J)D = \dfrac{1}{\mu(1-\rho)} + \max\left(0,; \dfrac{1}{\mu(1-\rho)} - J\right)D=μ(1−ρ)1+max(0,;μ(1−ρ)1−J)

当负载较高时，1μ(1−ρ)>J\dfrac{1}{\mu (1-\rho)}\gt Jμ(1−ρ)1>J，buffer\text{buffer}buffer 工作，上式化简为：

D=2μ(1−ρ)−J⋯(∗)D=\dfrac{2}{\mu(1-\rho) - J} \quad \cdots(*)D=μ(1−ρ)−J2⋯(∗)

这就是不可能三角，DDD，JJJ，ρ\rhoρ 因此耦合。

高带宽等价于高利用率，先看高利用率和低抖动的情况。

这种情况下，ρ→1\rho\to 1ρ→1，带宽满载，将 JJJ 固定趋于 000，代入式 (∗)(*)(∗)：

D=2μ(1−ρ)−J→ρ→1,;J→0+∞D=\dfrac{2}{\mu(1-\rho)} - J \xrightarrow{\rho \to 1,; J \to 0} +\inftyD=μ(1−ρ)2−Jρ→1,;J→0 +∞

此时 1−ρ→01−\rho\to 01−ρ→0，DDD 发散，意思是带宽越高，抖动约束在足够小，buffer\text{buffer}buffer 必深，时延越大。

再看高利用率和低时延的情况。

这种情况下，ρ→1\rho\to 1ρ→1，固定 D≤Dmax⁡D\le D_{\max}D≤Dmax，约束时延，从式 (∗)(*)(∗) 解 JJJ：

J=2μ(1−ρ)−DJ=\dfrac{2}{\mu(1-\rho)}-DJ=μ(1−ρ)2−D

令 ρ→1\rho\to 1ρ→1：

J=2μ(1−ρ)⏟→+∞−Dmax⁡→ρ→1+∞J = \underbrace{\dfrac{2}{\mu(1-\rho)}}{\to +\infty} - D{\max} \xrightarrow{\rho \to 1} +\inftyJ=→+∞ μ(1−ρ)2−Dmaxρ→1 +∞

DDD 是常数，11−ρ\dfrac{1}{1−\rho}1−ρ1 为发散项，时延低，buffer\text{buffer}buffer 浅，高负载下的排队波动透传到抖动。

最后看低时延和低抖动的情况。

固定 D≤Dmax⁡D\le D_{\max}D≤Dmax，固定 J≤Jmax⁡J\le J_{\max}J≤Jmax，代入式 (∗)(*)(∗)：

2μ(1−ρ)−J≤Dmax⁡\dfrac{2}{\mu(1-\rho)} - J \leq D_{\max}μ(1−ρ)2−J≤Dmax

2μ(1−ρ)≤Dmax⁡+J≤Dmax⁡+Jmax⁡\dfrac{2}{\mu(1-\rho)} \leq D_{\max} + J \leq D_{\max} + J_{\max}μ(1−ρ)2≤Dmax+J≤Dmax+Jmax

1−ρ≥2μ,(Dmax⁡+Jmax⁡)1 - \rho \geq \dfrac{2}{\mu,(D_{\max} + J_{\max})}1−ρ≥μ,(Dmax+Jmax)2

ρ≤1−2μ,(Dmax⁡+Jmax⁡)\rho \leq 1 - \dfrac{2}{\mu,(D_{\max} + J_{\max})}ρ≤1−μ,(Dmax+Jmax)2

Dmax⁡D_{\max}Dmax 和 Jmax⁡J_{\max}Jmax 越小，右边越逼近 000，要同时降低时延和抖动，需要将 ρ\rhoρ 压低，利用率就低。

裤衩子锁着边儿，而且绣着花儿。

式 (∗)(*)(∗) 的三个变量 DDD，JJJ，ρ\rhoρ 中任意两个取约束，第三个的可行域就被推到边界外，任何技术进步调优只能改变这个三角的形状，但永远也改不了三个角的耦合本身。

所以呢。找到一个平衡就意味着牺牲一些看得见的收益，而经理往往不会放弃可以到手的东西，这就是跟经理的矛盾点。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。