确界的倒数性质证明

确界的倒数性质证明

设SSS为正实数构成的非空集合，且存在上界，则：

inf⁡{1s∣s∈S}=1sup⁡S \inf\{\frac{1}{s}|s\in S\}=\frac{1}{\sup S} inf{s1∣s∈S}=supS1

证明：

设M=sup⁡SM=\sup SM=supS，则对于集合SSS中所有的元素s∈Ss\in Ss∈S，有s≤Ms\leq Ms≤M，两边同时取倒数（正数两边取倒数，不等号反向），有1s≥1M\frac 1s\geq\frac1 Ms1≥M1，说明1M\frac1 MM1是集合{1s}\{\frac1 s\}{s1}的一个下界。

下面证明1M\frac1 MM1是集合{1s}\{\frac1 s\}{s1}的下确界

1. 用ε−δ\varepsilon-\deltaε−δ语言搭桥
   考虑这样一个关于xxx的方程f(x)=1M−x(0<x<M)f(x)=\frac{1}{M-x}(0<x<M)f(x)=M−x1(0<x<M)，因为反比例函数在定义域内连续，所以
   lim⁡x→0+1M−x=1M \lim_{x\to0^+}{\frac1 {M-x}}=\frac1 M x→0+limM−x1=M1
   即∀ε>0，∃δ>0\forall\varepsilon>0，\exists\delta>0∀ε>0，∃δ>0，当0<x<δ0<x<\delta0<x<δ时，使得
   ∣1M−x−1M∣<ε⟹1M−x<1M+ε |\frac1 {M-x}-\frac1 M|<\varepsilon\\2ex \Longrightarrow\frac 1{M-x}<\frac1 M+\varepsilon ∣M−x1−M1∣<ε⟹M−x1<M1+ε
   对于上述的xxx，一定可以找到一个元素s0s_0s0，使得s0>M−xs_0>M-xs0>M−x，两边同时取倒数，得
   1s0<1M−x<1M+ε \frac1 {s_0}<\frac1 {M-x}<\frac1 M+\varepsilon s01<M−x1<M1+ε
   所以，对于任意给定的ε>0\varepsilon>0ε>0，可以通过方程f(x)f(x)f(x)找到符合条件的xxx，再通过xxx可以找到集合SSS中的元素s0s_0s0，从而找到集合{1s}\{\frac1 s\}{s1}中的元素1s0\frac1 {s_0}s01，使得1s0\frac1 {s_0}s01满足
   1s0<1M+ε \frac1 {s_0}<\frac1 M+\varepsilon s01<M1+ε
   这就证明了1M\frac1 MM1是集合{1s}\{\frac1 s\}{s1}的下确界。