载人飞行器绕飞—合拢相对动力学建模报告

本报告给出仿真所依据的动力学模型、受力分解、制导律、接触动力学与数值验证，

并给出主要结果。全部数值由 rendezvous 包内的求解器产生，可复现。

1. 任务剖面

载人飞船（8 t 级，神舟构型）从空间站（69 t 级，天宫三舱 T 字构型）

后方 200 m 停泊点出发，在轨道面内逆时针等距绕飞 一周（相对距离恒为 200 m），

回到停泊点后沿 V-bar 分级减速靠拢，最终以 0.06 m/s 的接近速度触碰对接端口，

由对接机构的缓冲阻尼系统吸收能量，随后锁紧，两器合拢为刚性组合体。

阶段	时长	说明
起步段·站位保持	240 s	修正 6 m 法向初偏差与初速度偏差
绕飞段·逆时针 360°	5553.6 s（1 个轨道周期）	等距 200 m，角速率按摆线规律
停泊点保持	120 s	200 m 停泊点，验证零控平衡
靠拢 200→30 m	1360 s	闭合速度 0→0.25 m/s
靠拢 30→12 m	116.1 s	闭合速度 0.25→0.06 m/s
最终 12→9 m	50.0 s	恒速 0.06 m/s
接触捕获与缓冲	0.98 s	弹簧-阻尼吸能，峰值接触力 428 N
锁紧合拢	59 s	刚性连接，组合体保持

2. 坐标系与相对动力学

采用空间站 LVLH 系（Hill 系 / CWH 系），原点取在空间站质心：

x：径向，由地心指向空间站，「天顶」为正；
y：沿迹，沿轨道速度方向，「前方」为正；
z：轨道面法向，z = x × y，构成右手系。

该系相对惯性空间以轨道平均角速率旋转，ω = n ẑ。对圆轨道目标星，

相对运动由 Clohessy--Wiltshire（C-W）方程描述：

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ẍ − 3n²x − 2nẏ = a_x
ÿ + 2nẋ        = a_y
z̈ + n²z        = a_z

其中 n = sqrt(μ / r³)。取 400 km 圆轨道：

n = 1.131367e−3 rad/s
T = 2π/n = 5553.62 s = 92.56 min

相对距离 200 m 与轨道半径 6778 km 之比约 3×10⁻⁵，C-W 的一阶线性化误差

完全可忽略。

3. 受力分解

把 C-W 方程右端按物理来源拆开，得到本仿真全程记录的受力清单（比力，m/s²）：

分项	表达式	物理来源
重力梯度（潮汐）	`(2n²x, −n²y, −n²z)`	两器所受地心引力之差
离心力	`(n²x, n²y, 0)`	旋转系牵连加速度
科氏力	`(2nẏ, −2nẋ, 0)`	旋转系科氏加速度
控制推力	`a_ctrl`	平移发动机（RCS）等效推力
气动阻力差	`(0, −1×10⁻⁷, 0)`	两器面质比不同造成的阻力差
对接接触力	`(0, F_ring/m, 0)`	缓冲阻尼机构作用力

潮汐与离心两项沿 y 恒好抵消（−n²y + n²y = 0），沿 x 合成为经典的

3n²x，这正是 C-W 方程中「重力梯度项」的来源。分解后可以看到：

径向分离由差分引力与牵连离心共同决定；
沿迹耦合完全由科氏力产生------这正是 V-bar 靠拢必须持续施加径向推力
a_x = −2n·ẏ 的原因；
在 V-bar 上静止的飞行器（x = z = 0，ẏ = 0）受力为零，是系统的平衡线。

数值校验 ：对 2000 组随机状态，潮汐 + 离心 + 科氏 与闭式

natural_accel(x,y,z,vx,vy,vz) 的最大偏差为 8.7×10⁻¹⁹ m/s² ，

即受力清单是完备的。

4. 制导律

4.1 逆时针等距绕飞

参考轨迹取轨道面内的等距圆

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ρ_ref(τ) = R (cos θ, sin θ, 0),   θ(τ) = θ₀ + Δθ·s(τ)
s(τ) = τ − sin(2πτ)/(2π),          τ = t/T

相位角 θ 由 −90° 减至 −450°：即飞船从后方出发，依次经天底、

前方、天顶回到后方，转一整圈。在交会对接通用的相对运动图

（沿迹 y 向右、径向 x 向上）中，该序列为「左 → 下 → 右 → 上」，即逆时针 ；

这也正是 C-W 自然椭圆解的方向（见 4.2 节）。摆线形式的 s(τ) 使角速率在

首尾为零、峰值为均值的 2 倍，从而保证推力在阶段交界处连续。

把参考轨迹代入 C-W 方程反解，得到前馈推力

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a_ff = ρ̈_ref − natural(ρ_ref, ρ̇_ref)

圆轨道等距绕飞所需推力为常值偏置加正弦项：

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a_x = −(ω² + 3n² + 2nω) R cos θ
a_y = −(ω² + 2nω) R sin θ

若角速率取常值 ω = −n（即逆时针、一个轨道周期绕飞一周），所需推力为

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a_x = −(ω² + 3n² + 2nω) R cos θ = −2n²R cos θ
a_y = −(ω² + 2nω) R sin θ        = +n²R sin θ
|a| = n²R sqrt(4cos²θ + sin²θ) ∈ [n²R, 2n²R]

取 R = 200 m 得 |a| = 2.56×10⁻⁴ ... 5.12×10⁻⁴ m/s²，对应推力 2.0--4.1 N。

由于实际采用摆线角速率（首尾为 0、中段为 2n），推力在相位角上不再均匀：

数值结果为 0.6--5.7 N ，按 Δv 反推的全程平均推力为

1.5651 × 7995 / 5553.6 ≈ 2.25 N。

4.2 与弹道式（自然）绕飞的对比

若不加持续控制，C-W 方程的有界解是 2:1 椭圆

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x(t) = −A sin(nt),   y(t) = y_c − 2A cos(nt)

只用一个径向脉冲 Δv = nA 即可进入该椭圆，一个轨道周期后自动回到出发点。

取最小相对距离 200 m（即 A = 200 m，椭圆半长轴 400 m，出发点在后方 400 m），

两次脉冲合计 Δv = 2nA = 0.45 m/s。该椭圆的运动次序正是

后方 → 天底 → 前方 → 天顶，与 4.1 节采用的逆时针方向一致。

三种方案的定量对比（同样的 200 m、同样的一个轨道周期）：

方案	转向（标准相对运动图中）	相对距离	所需 Δv
弹道式 2:1 椭圆（两次脉冲）	逆时针（自然）	200--600 m 变化	0.45 m/s
强制等距 200 m（本仿真）	逆时针（顺自然方向）	恒为 200 m	1.57 m/s
强制等距 200 m（反向）	顺时针（逆自然方向）	恒为 200 m	6.48 m/s

结论很明确：与自然方向一致时，把 2:1 椭圆「拉」成等距圆的代价只有
1.57 m/s，是弹道方案的 3.5 倍；而反自然方向绕飞要 6.48 m/s，是逆时针方案的
4.1 倍 ------仅方向选择一项就相差约 77 % 的绕飞推进剂。因此工程上若必须做

等距绕飞，应选择与 C-W 自然解同向的转向。

4.3 V-bar 靠拢

靠拢段严格沿 V-bar（x = z = 0）。每段采用零加速度端点的三次速度剖面

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v(τ) = v₀ + (v₁ − v₀)(3τ² − 2τ³),    T = 2(y₁ − y₀)/(v₀ + v₁)

平均闭合速度恰为 (v₀+v₁)/2。沿 V-bar 匀速运动时所需的径向推力为

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a_x = −2n·ẏ

以 0.25 m/s 靠拢时 a_x = −5.66×10⁻⁴ m/s²，推力约 4.5 N。

4.4 跟踪控制器

前馈 + PD 闭环：

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a_cmd = a_ff + K_p (ρ_ref − ρ) + K_d (ρ̇_ref − ρ̇)

K_p = 1.6×10⁻³ s⁻²、K_d = 8×10⁻² s⁻¹，闭环带宽

sqrt(n² + K_p) ≈ 0.04 rad/s，临界阻尼，时间常数约 25 s；

推力上限 160 N（a_max = 0.02 m/s²），全程未饱和。

5. 接触、缓冲与锁紧

对接端口位于空间站 V-bar 后端 y = −9 m。飞行器对接环到达端口面时

触发接触模型。缓冲阻尼系统用 Kelvin-Voigt 模型描述：

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μ_r δ̈ + c δ̇ + k δ = 0
μ_r = m_c m_s /(m_c + m_s) = 7169 kg     （折合质量）
k = μ_r ω_n²   = 10323 N/m               （ω_n = 1.2 rad/s）
c = 2ζ ω_n μ_r = 6022 N·s/m              （ζ = 0.35）

由 (δ, δ̇) = (0, v₀) 出发的解析解为

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δ(t) = (v₀/ω_d) e^{−ζω_n t} sin(ω_d t),   ω_d = ω_n sqrt(1−ζ²)

接触速度 v₀ = 0.06 m/s 时给出峰值行程 31.8 mm 、峰值接触力 428.5 N ，

与数值积分结果（428.4 N）相差 0.03 %。当 |δ̇| 与 |δ| 均衰减到阈值以下

时锁紧机构闭合，两器成为刚性组合体，合拢完成；空间站质心因动量守恒

反向偏移 Δy_s = −(m_c/(m_c+m_s))·δ ≈ −3.3 mm。

6. 数值方法

定步长四阶 Runge-Kutta 积分，控制量在步内零阶保持（模拟数字自动驾驶仪）；
巡航段 dt = 0.05 s，接触段 dt = 0.002 s；
质量按火箭方程 dm/dt = −m|a_ctrl|/(I_sp g₀) 连续消耗，I_sp = 290 s；
接触时刻通过把最后一个积分步按线性插值回切到端口面来确定，
残差为 O(dt²)（dt 减半时接触时刻变化 2 ms，对应 0.1 mm 行程）。

验证结果（`scripts/selftest.py`）

检查项	结果	容差
受力分解恒等式	8.67×10⁻¹⁹ m/s²	1×10⁻¹⁵
RK4 与 C-W 解析状态转移矩阵（600 s 弹道）	9.55×10⁻¹² m	1×10⁻⁹
接触缓冲数值解 vs 解析解	0.14 N	1.0 N
轨迹随步长收敛（dt → dt/2）	1.5×10⁻⁶ m	1×10⁻⁴
接触时刻收敛	2.1×10⁻³ s	1×10⁻²
Δv 收敛	4.6×10⁻⁵ m/s	1×10⁻⁴

7. 主要结果

量	数值
轨道平均角速率 n	1.131367×10⁻³ rad/s
轨道周期	5553.62 s（92.56 min）
绕飞半径 / 方向	200 m / 逆时针（自 +ẑ 俯视）
全程速度增量 Δv	2.439 m/s
推进剂消耗	6.86 kg
峰值控制推力	74.1 N（起步段偏差修正）
绕飞段推力区间	2.0 -- 4.1 N
对接接触速度	0.0600 m/s
峰值接触力	428.4 N
缓冲峰值行程	31.8 mm
从接触到锁紧	0.98 s
总任务时长	7499.8 s（2 h 05 min）

Δv 分配

阶段	Δv / m/s
起步段·站位保持	0.178
绕飞段·逆时针 360°	1.565
停泊点保持	≈ 0
靠拢 200→30 m	0.491
靠拢 30→12 m	0.197
最终 12→9 m	0.007
合计	2.439

绕飞段仍占 Δv 的 64 %，但绝对量已降到 1.57 m/s：因为转向与 C-W 自然解一致，

持续推力只需把 2:1 椭圆压成等距圆，量级仅 n²R。

靠拢段径向偏置推力合计 0.69 m/s，与解析式

∫2n|ẏ|dt = 2n × 170 m = 0.385 m/s 加上沿迹加减速项一致。

8. 参考文献

Clohessy, W. H., Wiltshire, R. S. Terminal Guidance System for Satellite
Rendezvous. Journal of the Aerospace Sciences, 27(9), 653--658, 1960.
------ C-W 方程的原始文献。
Fehse, W. Automated Rendezvous and Docking of Spacecraft. Cambridge
Aerospace Series, Cambridge University Press, 2003.
------ 相对运动制导、V-bar/R-bar 接近走廊、绕飞机动与对接机构动力学的
标准参考书；本报告的绕飞与靠拢剖面、缓冲阻尼模型取自该书体系。
Woffinden, D. C., Geller, D. K. Navigating the Road to Autonomous Orbital
Rendezvous. Journal of Spacecraft and Rockets, 44(4), 898--909, 2007.
Goodman, J. L. History of Space Shuttle Rendezvous and Proximity
Operations. Journal of Spacecraft and Rockets, 43(5), 944--959, 2006.
Kaplan, M. H. Modern Spacecraft Dynamics and Control. Wiley, 1976.
International Docking System Standard (IDSS) Interface Definition Document,
NASA/ESA/Roscosmos/JAXA/CSA, 最新版。
------ 接触速度、缓冲行程与锁紧力的设计约束来源。
中国载人航天工程办公室公开发布的神舟---天宫交会对接 任务剖面：
V-bar 后方接近，5 km / 400 m / 140 m / 19 m 停泊点，最终以
0.1--0.2 m/s 相对速度靠拢。本仿真的分级减速剖面与该体系一致。