C++ 背包九讲：从入门到精通的动态规划专题

1. 引言

背包问题是动态规划领域最经典、最基础的一类问题，也是算法竞赛和面试中高频出现的考点。所谓「背包九讲」，是指围绕背包问题展开的九种经典变体与解法思路，从最简单的 01 背包，到完全背包、多重背包，再到分组背包、依赖背包等进阶模型。掌握这些模型，不仅能解决背包本身，更能帮助你建立动态规划的状态设计思维。

本文以 C++ 为语言载体，逐讲拆解九种背包问题的定义、状态转移方程、核心代码与优化技巧，并给出可直接运行的示例。

2. 第一讲：01 背包

01 背包是最基础的背包模型：有 N 件物品和一个容量为 V 的背包，每件物品只能选择放入一次（0 或 1 次），第 i 件物品的体积为 c $i$ ，价值为 w $i$ ，求在不超过背包容量的前提下能获得的最大总价值。

状态定义：dp $j$ 表示容量为 j 的背包能装下的最大价值。核心转移方程为：

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = V; j >= c[i]; j--) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i]);
    }
}

这里内层循环必须从大到小遍历，目的是保证每件物品只被使用一次，避免重复选取。

3. 第二讲：完全背包

完全背包与 01 背包的唯一区别在于：每件物品可以无限次选取。因此内层循环改为从小到大遍历，即可实现同一物品的多次累加。

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = c[i]; j <= V; j++) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i]);
    }
}

两种背包代码只差一个循环方向，但语义完全不同，务必理解其背后的递推逻辑。

4. 第三讲：多重背包

多重背包中，第 i 件物品最多可选 k $i$ 次。朴素做法是在 01 背包基础上再枚举选取数量，时间复杂度为 O(N·V·k)。更高效的做法是二进制拆分：把 k $i$ 件物品拆成若干组，每组数量为 1、2、4、......、剩余部分，从而转化为 01 背包求解。

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    int num = k[i];
    for (int p = 1; p <= num; p <<= 1) {
        int cnt = min(p, num);
        for (int j = V; j >= cnt * c[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - cnt * c[i]] + cnt * w[i]);
        }
        num -= cnt;
    }
}

5. 第四讲：混合背包

混合背包是指同一问题中同时存在 01 背包、完全背包和多重背包的物品。处理方式很直接：遍历每件物品时，根据其类型选择对应的循环方向与拆分策略即可。

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    if (type[i] == 0) { // 01 背包
        for (int j = V; j >= c[i]; j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i]);
    } else if (type[i] == 1) { // 完全背包
        for (int j = c[i]; j <= V; j++)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i]);
    } else { // 多重背包，二进制拆分后按 01 处理
        // 省略拆分细节
    }
}

6. 第五讲：二维费用背包

二维费用背包是指每件物品同时占用两种资源（如体积和重量），背包也有两个容量上限。此时状态扩展为二维：dp $j$ $k$ 表示体积不超过 j、重量不超过 k 时的最大价值。

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = V; j >= c[i]; j--) {
        for (int k = M; k >= d[i]; k--) {
            dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - c[i]][k - d[i]] + w[i]);
        }
    }
}

7. 第六讲：分组背包

分组背包中，物品被划分为若干组，每组内最多只能选择一件。处理时先枚举组，再枚举容量，最后枚举组内物品，保证每组至多取一个。

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for (int g = 1; g <= G; g++) {
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
        for (int k = 0; k < group[g].size(); k++) {
            int c = group[g][k].c, w = group[g][k].w;
            if (j >= c) dp[j] = max(dp[j], dp[j - c] + w);
        }
    }
}

8. 第七讲：有依赖的背包

有依赖的背包是指某些物品必须在其「主件」被选取后才能选取，典型场景是树形结构。一般思路是：对每个主件，先对其附件做一次 01 背包，得到该主件在不同容量下的最优价值，再与主件合并，最后对所有主件做一次分组背包。

9. 第八讲：泛化物品与背包问题扩展

泛化物品是指价值随分配容量变化的物品，即 w = f(c)。这类问题可以统一用「泛化物品」的视角看待：每种背包模型本质上都是在容量与价值之间做最优分配。理解这一点，有助于把新问题抽象为已知模型。

10. 第九讲：背包问题方案总数与最优方案

除了求最大价值，背包问题还常要求统计方案总数或输出具体方案。方案总数只需把 max 改为求和：

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dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = V; j >= c[i]; j--) {
        dp[j] += dp[j - c[i]];
    }
}

输出具体方案则需要在转移时记录选择路径，通常用二维数组 path $i$ $j$ 标记第 i 件物品在容量 j 下是否被选取，最后逆序回溯。

11. 总结与练习建议

背包九讲的核心在于理解「状态定义」与「循环顺序」背后的递推语义。建议按以下顺序练习：先吃透 01 背包与完全背包的代码差异，再掌握多重背包的二进制拆分，最后挑战分组与依赖背包。每道题都亲手写出状态转移方程，再对照代码验证，才能真正内化动态规划思想。

12. 10 道练习题（洛谷题号）

下面给出 10 道覆盖背包九讲各知识点的洛谷练习题，建议按难度循序渐进地完成：

P1048 采药：01 背包入门题，适合用来熟悉状态转移方程与逆序循环。
P1616 疯狂的采药：完全背包基础题，体会正序循环与 01 背包的差异。
P1060 开心的金明：01 背包 + 价值加权，练习把题目条件转化为背包模型。
P1049 装箱问题：01 背包变形，求剩余空间最小，训练逆向思维。
P1164 小A点菜：方案总数类背包，对应第九讲内容，练习把 max 改为求和。
P1776 宝物筛选：多重背包经典题，必须使用二进制拆分优化才能通过。
P1833 樱花：混合背包综合题，同时包含 01、完全与多重背包，对应第四讲。
P1855 榨取kkksc03：二维费用背包，对应第五讲，同时限制时间和金钱两种资源。
P1757 通天之分组背包：分组背包模板题，对应第六讲，注意枚举顺序。
P1064 金明的预算方案：有依赖的背包经典题，对应第七讲，主件与附件需合并处理。