第十三夜 · 幻方，武侠世界里的数学迷宫
大一春天的那一夜，我迷上了幻方。
现在，我想给那个天真的我写一封回信。这封信得从一个暑假讲起，一个被我整个泡进武侠里的暑假。
初三毕业后的那个暑假，中考完的我在家闲着没事儿，赶上了网上的暑假档，59集的《射雕英雄传》。追完正剧不过瘾，东邪、西毒那些外传又是一部不落地接着追。追得太狠，家里宽带的流量用超了。被人说了，花了230块钱。
那是我第一次知道，一个暑假可以疯成这样。
也是在那阵子，屏幕里的故事走到了黑泽。黄蓉挨了裘千仞一记铁掌，全靠一件软猬甲挡去了一半掌力才保住性命。郭靖背着她就往大理赶，去求一灯大师出手，黑泽里却先撞见了一位隐居的算学高手，瑛姑。
她考黄蓉的，是一道数阵。你的算法自然精我百倍，可是我问你，将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法。
黄蓉当它不算什么题。九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。三句话，九个数各归其位，横行、竖列、斜角，每三个相加都是十五。
瑛姑呆住了。这位在黑泽里苦算了十几年的高手，只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。
我盯着屏幕，却记住了另一件事。就是从那一集开始，我遇见了一只大乌龟。传说大禹治水的时候，有神龟浮出洛水，背上驮着一幅点阵图，数至于九。后人管它叫洛书，把它当作世间最早的幻方。
这是我第一次见到幻方的样子，但是当时还不知道它叫幻方。
四年之后，大一春天，谭浩强的《C 程序设计》把这道题原封不动摆在了数组一章的课后。我把标准答案照着抄了三天，抄出来 289 行，全部写在一个 main 函数里，连收尾都是一句 system("pause")。有一处数组声明，我抄的是 int t10000-1，一万减一，明明可以写 9999，当年的我却老老实实写了个算式，仿佛那道题连减法都要留给读者自己算。
敲完了还是没看懂，就觉得很刺激。
我不死心，特地查了一下这道题叫什么。书上叫它幻方，七百年前的杨辉叫它纵横图。那为什么叫幻方呢？我当时有一个很天真的想法，变幻莫测的方块。很搞笑吧，这就是年少的我。
今天写这一夜，我把当年抄的代码翻了出来。这段是里面对换的机关，收进过文本的只有这一段，其余 289 行的原貌，留在我的硬盘里。
c
k=n*n/2-1;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
if((j%4==i%4)||(i%4+j%4==3))
{
a[i][j]=t[k];
k--;
}先说名字，这是给天真的我的第一句解答。
这只乌龟驮着的图，在中国最早叫洛书，画进方格之后叫九宫，南宋杨辉写《续古摘奇算法》，给它起名纵横图。而幻方这两个字，是近代从西文的 magic square 翻译过来的，幻，就是 magic。我当年猜变幻莫测的方块，居然歪打正着，猜中了它一半的灵魂。瑛姑说早有歌诀传世，传世的歌诀比她的苦算老了几百岁，比这只乌龟又小了几千岁。
然后是填法。黄蓉答的那道三阶题，其实有一个万能章法，杨辉把它写得清清楚楚，一共三条。把 1 放在第一行的正中间，对 2 到9 八个数的每一个数，走向右上一格；出了边界，就绕回另一头；格子里已经有数了，就退到原位的正下方。
三条规则，逐格执行，九个数各就各位。我的 Java 版照着章法走了一遍，跑出来的是 8 1 6、3 5 7、4 9 2，和谭浩强书页上的那一副一模一样。顺手续到五阶，二十五个数，每行每列每条对角线的和都是 65。这是奇数阶的通解，五阶、七阶、九阶，一路通用。
java
public class Night13Siamese {
public static void main(String[] args) {
fill(3);
System.out.println();
fill(5);
}
static void fill(int n) {
int[][] a = new int[n + 1][n + 1]; // 下标 1..n，0 行 0 列弃用
int i = 1, j = n / 2 + 1; // 1 放在第一行的正中间
a[i][j] = 1;
for (int k = 2; k <= n * n; k++) {
i--; j++; // 尝试右上
if (i < 1 && j > n) { i += 2; j--; } // 右上同时出界：原位正下方
else {
if (i < 1) i = n; // 出上边界：绕到最后一行
if (j > n) j = 1; // 出右边界：绕回第一列
}
if (a[i][j] != 0) { i += 2; j--; } // 该格已被占：退回原位正下方
a[i][j] = k;
}
int m = n * (n * n + 1) / 2; // 幻方常数
for (int r = 1; r <= n; r++) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int c = 1; c <= n; c++) sb.append(String.format("%4d", a[r][c]));
System.out.println(sb.toString());
}
System.out.println("n=" + n + " constant=" + m + " rowsOk=" + check(a, n, m));
}
static boolean check(int[][] a, int n, int m) {
for (int r = 1; r <= n; r++) {
int s = 0;
for (int c = 1; c <= n; c++) s += a[r][c];
if (s != m) return false;
}
for (int c = 1; c <= n; c++) {
int s = 0;
for (int r = 1; r <= n; r++) s += a[r][c];
if (s != m) return false;
}
int d1 = 0, d2 = 0;
for (int r = 1; r <= n; r++) { d1 += a[r][r]; d2 += a[r][n + 1 - r]; }
return d1 == m && d2 == m;
}
}瑛姑不服，把数字从九个加到了十六个，四四图。一至十六排成四行四列，纵横斜角之和全要相等。黄蓉还是那副轻描淡写的口气，就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。
看清楚了，先按顺序把 1 到 16 填满，然后只动八个格子，四个角互换，里面的四个角再互换，一道十六个数的题就解决了。我大一抄的那段 t 数组代码，if 条件收出来倒着放回去的，恰好就是这八个格子。黄蓉在黑泽的沙地上画的四步，和标准答案的算法，是同一个动作。
java
public class Night13Corners {
public static void main(String[] args) {
int n = 4;
int[][] a = new int[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
a[i][j] = i * n + j + 1; // 依次作四行排列
swap(a, 0, 0, 3, 3); // 一换十六
swap(a, 0, 3, 3, 0); // 四换十三
swap(a, 1, 1, 2, 2); // 六换十一
swap(a, 1, 2, 2, 1); // 七换十
for (int i = 0; i < n; i++) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int j = 0; j < n; j++) sb.append(String.format("%4d", a[i][j]));
System.out.println(sb.toString());
}
int m = n * (n * n + 1) / 2; // 幻方常数 34
boolean ok = true;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int r = 0, c = 0;
for (int j = 0; j < n; j++) { r += a[i][j]; c += a[j][i]; }
if (r != m || c != m) ok = false;
}
int d1 = 0, d2 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) { d1 += a[i][i]; d2 += a[i][n - 1 - i]; }
System.out.println("constant=" + m + " rowsColsOk=" + ok + " diag=" + d1 + "/" + d2);
}
static void swap(int[][] a, int r1, int c1, int r2, int c2) {
int t = a[r1][c1]; a[r1][c1] = a[r2][c2]; a[r2][c2] = t;
}
}其实瑛姑没有考到第三题。黄蓉说，四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。百子图是十阶幻方的古名，十除以四余二，是三类里最难缠的一类。瑛姑考了奇数阶和双偶阶，剩下的单偶阶，教材的标准答案替她考了。我的手稿三案全解，倒不是当年的我比黄蓉强，是标准答案比瑛姑勤快。
这一夜，我还把笨办法请了出来当裁判。三阶幻方，九个数随便排，一共 9 的阶乘种排法，362880 种。机器一种一种全部试完，用了 8 毫秒。成立的只有 8 个，而且这 8 个全是同一个解的旋转和镜像，本质唯一。
java
public class Night13Brute {
static int count = 0;
public static void main(String[] args) {
int[] p = new int[9];
for (int i = 0; i < 9; i++) p[i] = i + 1;
long t0 = System.currentTimeMillis();
perm(p, 0);
long t1 = System.currentTimeMillis();
System.out.println("tried=362880 magic=" + count + " essential=1 orientations=8 time=" + (t1 - t0) + "ms");
// 8 个成立解全是同一个解的旋转与镜像，所以本质唯一，只有 1 个。
}
static void perm(int[] p, int d) {
if (d == 9) {
if (magic(p)) count++;
return;
}
for (int i = d; i < 9; i++) {
int t = p[d]; p[d] = p[i]; p[i] = t;
perm(p, d + 1);
t = p[d]; p[d] = p[i]; p[i] = t;
}
}
static boolean magic(int[] p) {
// p 排进 3x3：p[0] p[1] p[2] / p[3] p[4] p[5] / p[6] p[7] p[8]
for (int r = 0; r < 3; r++) {
int s = p[r * 3] + p[r * 3 + 1] + p[r * 3 + 2];
if (s != 15) return false;
}
for (int c = 0; c < 3; c++) {
int s = p[c] + p[c + 3] + p[c + 6];
if (s != 15) return false;
}
return p[0] + p[4] + p[8] == 15 && p[2] + p[4] + p[6] == 15;
}
}瑛姑苦算了十几年没有算出的谜底，是这八个解本来就是同一个解。黄蓉背得出歌诀，也未必数过那 362880 种排法。机器用 8 毫秒替她们两人都数完了。
那么四阶呢？十六的阶乘，超过 20 万亿种。机器还敢试吗？这一次笨办法走到了自己的边界，全枚举这条路，在三阶是 8 毫秒的坦途，在四阶就是一座翻不过去的山。所以黄蓉没有数，她用了章法。三阶可以交给笨办法，四阶必须交给聪明办法，而我的手稿里，两样都有。
笨办法有笨办法的天花板，聪明办法有聪明办法的来历。瑛姑输给黄蓉的那一天，输的从来不是智力，是她的十几年的苦算，没能遇上一句传世的歌诀。而歌诀能传世，是因为千年前有人也这样一格一格地摆过，摆出了那只龟背上的图案。
所以，天真的我，这是给你的回信。
你在黑泽里遇见的那只乌龟，驮的不是一段剧情，是几千年的传承。你抄的 289 行一行都没有白抄，它们只是在等，等到一台肯陪这道题把 362880 种摆法全部数完的机器。你看懂看不懂都要紧，刺激是真的，就够了。
这就是一个在试卷里面得不到数学趣味的孩子，用计算机再一次见证了那个变幻莫测的魔方。
① 真伪核对 逐条照实登记。
Ⅰ 射雕与暑假 1983 版《射雕英雄传》由香港无线电视制作，1983 年首播，分《铁血丹心》《东邪西毒》《华山论剑》三辑；黄蓉一角由全港招募、金庸亲自参与评判选出，翁美玲当选（真）。初三暑假追剧与流量超额 230 元为本人亲历自述，追剧集数为当年记忆口径，含同系外传多部（真，亲历自述）。翁美玲 1985 年离世（真）。
Ⅱ 剧情链 黄蓉伤于裘千仞铁掌，软猬甲挡去部分掌力；郭靖携黄蓉往大理求一灯大师，途经黑泽遇瑛姑，瑛姑以算学相试后指点去向（真，据原著第二十九回《黑沼隐女》；俗称铁砂掌，原著功夫名为铁掌）。
Ⅲ 瑛姑 本名刘瑛，原为大理南帝贵妃，隐居黑泽苦研算学与武功十余年（真）。
Ⅳ 九宫歌诀 「九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央」承自《数术记遗》九宫旧注，金庸原著第二十九回黄蓉原话引此歌诀；三阶幻方即洛书，纵横斜角三数之和皆为十五（真）。
Ⅴ 神龟负书 《汉书·五行志》引刘歆说，天兴禹洛出书，神龟负文而出，列于背，有数至于九，禹遂因而第之；更早源头为《周易·系辞上》河出图、洛出书，未言龟（真）。民间有归于伏羲者，系河图洛书混称，本夜不取。
Ⅵ 杨辉与四四图 杨辉《续古摘奇算法》（1275 年）称幻方为纵横图并载构造法（真）。原著四四图一题，黄蓉以四角对换（一换十六、四换十三）加内四角对换（六换十一、七换十）解之，与本夜代码二为同一算法，对换后各行、列、对角线之和皆为 34（真，实跑验证）。百子图为十阶幻方古名（真）。
Ⅶ 词史 九宫图形化后入术数，杨辉创称纵横图；幻方系近代西文 magic square 之汉译（真）。
Ⅷ 谭浩强习题 《C 程序设计（第五版）》第六章课后习题收幻方，三阶示例 8 1 6、3 5 7、4 9 2（真）。
Ⅸ 手稿照登 本人大一文物，289 行，全部写在一个 main 函数里；本夜仅节选对换机关一段，gcc 实跑 n=3、4、5、6、8、10 全部成立（真，实跑验证，已披露）。
Ⅹ 实跑记录 JDK 21。连续摆法 n=3 输出 8 1 6、3 5 7、4 9 2，n=5 常数 65；四角对换法 n=4 常数 34，对角线 34；全排列枚举 362880 种，成立解 8 个，本质唯一，耗时 8 毫秒（真，实跑验证）。
② 今夜习题 三道，评论区见。
Ⅰ 五五图。用连续摆法把 1 到 25 填成五阶幻方，算一算每行、每列、每条对角线的和，看看是不是都是 65。
Ⅱ 四四图。按黄蓉的四步亲手排一遍，先顺排一至十六，再四角对换、内四角对换。数一数你一共动了几格，再想想，为什么只动八格就够。
Ⅲ 笨办法的天花板。三阶幻方全枚举要试 362880 种，你的机器不到一秒。四阶是十六的阶乘，先估算它有多少种，再估算你的机器全试一遍要跑多久。想完之后你就知道，黄蓉为什么不数数，直接报了口诀。
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