字符串存储与 BF、KMP 匹配算法

字符串匹配的目标是在主串 S 中查找模式串 P 的首次出现位置。算法性能的关键在于：主串发生失配后，能否复用已经比较过的信息。

定长顺序字符串

一种教材式字符串结构用第 0 个位置保存长度，用 S[1..len] 保存字符：

text 复制代码

S[0]     = length
S[1..n]  = characters

这种结构不等同于 C 字符串，不能直接套用 strlen 或 \0 终止规则。拼接时必须先检查容量，匹配函数也必须统一返回值约定。

BF 算法

BF 从每个可能起点重新比较模式串：

cpp 复制代码

for (int start = 0; start + m <= n; ++start) {
    int j = 0;
    while (j < m && text[start + j] == pattern[j]) ++j;
    if (j == m) return start;
}
return -1;

主串长度为 n、模式串长度为 m 时，最坏时间复杂度为 O(nm)，额外空间为 O(1)。BF 代码简单，短字符串场景中常数开销较低。

KMP 的核心：前缀函数

若 P[0..j-1] 已经匹配，P[j] 失配，不必让主串指针回退。模式串的某个最长相等前缀和后缀可以继续参与匹配。

定义 next[j] 表示模式串失配时的回退位置。构造时维护当前候选前缀长度：

cpp 复制代码

next[0] = -1;
int i = 0, j = -1;
while (i < m) {
    if (j == -1 || pattern[i] == pattern[j]) {
        ++i;
        ++j;
        next[i] = j;
    } else {
        j = next[j];
    }
}

匹配过程为：

cpp 复制代码

while (i < n && j < m) {
    if (j == -1 || text[i] == pattern[j]) {
        ++i;
        ++j;
    } else {
        j = next[j];
    }
}
return j == m ? i - m : -1;

主串指针只向前移动，模式串指针通过 next 回退。预处理为 O(m)，匹配为 O(n)，总复杂度为 O(n+m)，额外空间为 O(m)。

nextval 优化

若回退后比较的字符与刚才失配字符相同，则该比较必然再次失败，可以继续跳过：

cpp 复制代码

nextval[i] = pattern[i] == pattern[next[i]]
           ? nextval[next[i]]
           : next[i];

nextval 不改变渐进复杂度，但能减少重复字符模式下的无效比较。

工程注意事项

明确字符下标从 0 还是从 1 开始。
明确失败返回 -1、0 还是其他值。
空模式串需要单独定义语义。
Unicode 字符串不能简单按字节等同于字符。
大文本重复匹配时，应复用模式串预处理结果。

KMP 的本质是把模式串的自相似性编码为回退表，使匹配过程不重复扫描已经确认过的主串字符。