线性代数 [ 线性组合·张成的空间与基 ]

线性代数

从两个坐标，重新理解一个向量

看到一个向量的坐标 ，大家现在应该能够想到：从原点出发，向右移动 个单位，再向下移动 个单位。那么，这两个数字还能怎样理解？

这一篇，我们把坐标看成缩放两个基础向量的系数 。沿着这个想法继续往下，就能把线性组合、张成的空间、线性相关与无关，以及基联系起来。

前面在《向量究竟是什么》中，我们已经讲解了向量加法和数乘。接下来用到的操作，仍然是这两种，只是我们开始关心：改变数乘的系数之后，到底能够得到哪些向量？

文中的具体计算、Python 示例与配图为配套补充；本篇的向量分量和组合系数都取实数。

坐标，也是在告诉我们怎样缩放基向量

先看最熟悉的两个方向

我们先回到二维直角坐标系。这里有两个特别方便的向量：一个向右，长度为 ；另一个向上，长度也为 。

把它们分别记为：

它们合起来构成二维空间的标准基 。课程中也会使用 、​ 来表示这两个方向的单位向量。

现在，我们重新看向量 。数字 可以看成一个标量，把 伸长到原来的三倍；数字 则把 ​ 反向，并伸长到原来的两倍。

最后，把这两段位移相加：

这时候，坐标就不只是"横着走多少、竖着走多少"，还可以理解成：第一个数缩放第一个基向量，第二个数缩放第二个基向量，然后把结果相加。

我们先把这个过程写成代码。新建 span_basis_demo.py，如果还没有安装依赖，先执行：

python3 -m pip install numpy

导入 NumPy，再创建标准基向量：

import numpy as np

e1 = np.array([1.0, 0.0])
e2 = np.array([0.0, 1.0])
p = 3 * e1 - 2 * e2

print("水平方向的位移：", 3 * e1)
print("竖直方向的位移：", -2 * e2)
print("相加得到的向量：", p)

运行代码，输出结果如下：

水平方向的位移： [3. 0.]
竖直方向的位移： [-0. -2.]
相加得到的向量： [ 3. -2.]

这里的 -0. 是浮点数运算中可能出现的负零，数值上仍然等于零，不表示额外的位移。

到这里，前面学习的坐标表示、向量数乘和向量加法，就组合成了同一个过程。

换一组基向量，坐标还一样吗？

接下来，我们不再只使用水平和竖直的两个单位向量，而是选择：

这两个向量同样可以作为二维空间的一组基。为什么它们符合要求，后面讲完张成和线性无关之后，我们再回来解释。

现在先观察，同一个 也可以写成：

图中左右两边使用相同的画图尺度，蓝色箭头的终点都在 。变化的是我们用来组合它的两个基础向量，以及相应的系数。

按照顺序，把新基记为 ，那么：

这里的 ​ 表示"向量 在基 下的坐标"。两个坐标列不同，但它们在各自的基下，描述的是同一个几何向量。

坐标依赖于选用的基，也依赖于基向量的排列顺序。 如果交换 ​ 和 ​，对应系数的顺序也需要交换。

我们继续在前面的程序中添加：

b1 = np.array([1.0, 1.0])
b2 = np.array([1.0, -1.0])
a, b = 0.5, 2.5
combined = a * b1 + b * b2

print("第一项：", a * b1)
print("第二项：", b * b2)
print("组合结果：", combined)
print("是否等于原向量：", np.allclose(combined, p))

输出结果：

第一项： [0.5 0.5]
第二项： [ 2.5 -2.5]
组合结果： [ 3. -2.]
是否等于原向量： True

这里 b1、b2 仍然存储它们在标准坐标系中的分量。代码先分别完成数乘，再把两个数组对应位置相加，所以 combined 得到的也是标准坐标。

np.allclose() 用来检查两个数值数组是否在给定容差内接近。当前系数恰好能够精确表示，后面遇到更一般的浮点数计算时，也适合用这种方式核对重建结果。

线性组合：分别缩放，然后相加

先把前面的操作写成一般形式

前面我们已经做了两次相同类型的事情：选择几个标量，分别缩放给定向量，再把结果相加。这个过程，就叫作这些向量的线性组合。

对于两个向量，写成：

这里 和 称为组合系数。它们可以是正数、负数，也可以是零，并不要求加起来等于 。

如果有更多向量，写法也一样：

大家先注意这个顺序：给定向量保持不变，改变的是它们前面的系数。 每选定一组系数，就得到一个具体的线性组合结果。

固定一个系数，会看到什么？

我们暂时固定 ，只改变 。这时候得到：

随着 在所有实数中变化，终点沿着一条与 ​ 平行的直线移动。在这个例子中，这条直线满足 。

图中只标出了几个终点作为示例，真实的系数可以连续变化，并不局限于整数。我们也可以运行下面的代码，先观察几个结果：

for coefficient in [-1, 0, 1, 2]:
    endpoint = coefficient * b1 + b2
    print(f"a = {coefficient:2d}，终点：", endpoint)

输出结果：

a = -1，终点： [ 0. -2.]
a =  0，终点： [ 1. -1.]
a =  1，终点： [2. 0.]
a =  2，终点： [3. 1.]

这里还有一个区别需要提前说明：固定了一个系数得到的这条直线，不一定经过原点。 它只是全部线性组合中的一部分；后面所说的张成空间，需要让所有组合系数都自由变化。

张成的空间：所有可能结果组成的集合

从一个结果，变成一整组结果

如果每次只选择一组系数，我们得到的是一个向量。现在把所有可能的系数组合都考虑进去，就得到一个向量集合，也就是给定向量张成的空间 ，英文叫作 span。

对于前面的两个向量，定义为：

公式中的竖线可以读作"其中"。整句话就是：所有能够写成 ​，且系数 都是实数的向量，组成的集合。

更一般地，张成空间包含给定向量的所有线性组合。这个定义也可以对照教材 Interactive Linear Algebra：Vector Equations and Spans 阅读。

所以，当我们问两个向量张成什么空间，其实是在问：只使用这两个向量，允许反复数乘和相加，最终能够到达哪些位置？

二维平面里，有三种情况

先看前面的 ​ 和 。它们不共线，改变两个系数，就能够得到平面中的任意向量。

这件事可以直接计算。假设我们想得到任意一个 ，那么需要：

只要选择：

就一定能够到达目标。因此，它们张成整个 。这里 表示所有实数二维向量组成的空间。

接下来，如果我们把第二个向量换成 ​，会怎么样？

无论怎样选择 ，结果都只是 ​ 的倍数。两个向量的箭头共线，最终只能到达一条过原点的直线，无法离开这条线。

最后，如果给定的两个向量都是零向量，数乘和相加的结果也只能是零向量。

图中使用终点来代表从原点出发的向量，省去了大量重叠的箭头。左图的点只是有限采样，真实的张成空间包含点与点之间的所有位置，并向画面外无限延伸。

大家可以把这三种情况放在一起看：

给定的两个二维向量	张成的空间	空间的维数
不共线	整个二维平面	2
共线，且至少一个非零	一条过原点的直线	1
都是零向量	只有零向量	0

这里的维数，可以先理解为独立方向的个数，后面会用基给出正式解释。向量有几个分量、给定了几个向量、张成空间是几维，是三个不同的问题。

还可以检查一个始终成立的特点：把全部系数取为零，一定得到零向量。因此，张成空间一定包含原点。前面固定 得到的 ，就不能直接当成这两个向量的张成空间。

三维空间里，增加一个向量能走得更远吗？

两个不共线的向量，先确定一个平面

我们把前面的想法放到三维空间中。选择两个三维向量：

它们的任意线性组合可以写成：

从结果可以看到，第三个分量始终等于前两个分量之和。也就是说，所有结果都落在平面 上。

反过来，这个平面中的任意一点，都能通过取 、 得到。因此， 和 张成的空间，就是这个过原点的平面。

它们都是三维向量，但它们张成的空间只有二维。 三个坐标分量是在描述向量所处的环境，并不意味着这两个向量已经提供了三个独立方向。

第三个向量在平面内，空间不变

现在增加一个向量：

它已经能够由前两个向量组合出来。于是，加入它之后，任意线性组合都可以重新整理成：

右边依然只是 和 的线性组合，结果仍然在原来的平面中。

所以，增加了第三个向量，并没有增加新的可达位置。它对于张成这个平面来说，是可以去掉的。

第三个向量在平面外，才能补上新的方向

我们换成另一个向量：

​​

它不满足 ，所以不在前面的平面内。加入这个向量后：

现在，对于任意目标 ，只要取 、、，就能够得到它。

这一次，三个向量确实张成了整个 。

图中平面的边缘只是绘图范围，实际平面会无限延伸。右图中的几层平面，表示固定不同的 时，原平面沿 方向平移后的位置；让 连续取遍实数，才会扫过整个空间。

大家要注意，这里说的"新方向"，是指不在已有向量张成的空间中 。只看箭头的朝向是否不同，还不够。前面的 ,, 两两都不是倍数关系，但第三个仍然没有扩大张成空间。

线性相关与线性无关：有没有可以去掉的向量？

线性相关，表示组合中存在冗余

前面的 可以写成 ，去掉它也不影响张成空间。我们就说，这一组向量线性相关。

对于有限个向量，线性相关意味着：至少有一个向量能够由其余向量线性组合出来。换句话说，至少可以移除一个向量，而不缩小它们张成的空间。

这里说的是"至少一个"，不是任意一个都能去掉。比如 ​ 线性相关，但如果去掉 ，原本的整个平面就会缩小为一条直线。

我们再用二维例子看一个更直接的影响。令：

那么，同一个向量 ，可以有两种写法：

这说明，把 都留下来，虽然仍然能张成平面，但表示同一个向量时，系数不再唯一。它们适合用来举例说明冗余，不能直接作为二维空间的一组基。

我们继续运行下面的代码：

r = b1 + b2
first = 1 * b1 + 1 * b2 + 0 * r
second = 0 * b1 + 0 * b2 + 1 * r

print("系数为 (1, 1, 0)：", first)
print("系数为 (0, 0, 1)：", second)
print("两种写法是否相同：", np.allclose(first, second))

输出结果：

系数为 (1, 1, 0)： [2. 0.]
系数为 (0, 0, 1)： [2. 0.]
两种写法是否相同： True

线性无关，表示每个向量都不可缺少

如果没有任何一个向量可以由其余向量线性组合出来，这组向量就称为线性无关。去掉其中任意一个，张成空间都会缩小。

把这个几何理解写成正式条件，就是考察：

如果只有 才能成立，这组向量线性无关。如果存在不全为零的系数，使结果等于零向量，就线性相关。

比如 ，系数为 ，这就给出了前面那组向量线性相关的明确证据。

这里"不全为零"的意思是至少一个系数非零，不要求每个系数都非零。任何包含零向量的向量组，也一定线性相关：给零向量一个非零系数，其余系数取零，就满足了条件。

几何上的"存在冗余"，与公式中的"存在非零系数关系"，描述的是同一件事。正式定义和等价条件可以参考 Interactive Linear Algebra：Linear Independence。

使用代码，核对张成空间的维数

前面我们通过公式，已经说明了各组向量能张成什么空间。接下来，再用程序核对这些结果。

这里先借用一个后面会展开的概念：矩阵的秩。把给定向量分别放到矩阵的各列中，矩阵的秩就等于这些列向量张成空间的维数。

u = np.array([1.0, 0.0, 1.0])
v = np.array([0.0, 1.0, 1.0])
w = u + v
q = np.array([0.0, 0.0, 1.0])

groups = {
    "二维：不共线": np.column_stack((b1, b2)),
    "二维：共线": np.column_stack((b1, 2 * b1)),
    "二维：全为零": np.zeros((2, 2)),
    "三维：只有 u、v": np.column_stack((u, v)),
    "三维：加入平面内的 w": np.column_stack((u, v, w)),
    "三维：加入平面外的 q": np.column_stack((u, v, q)),
}

for name, matrix in groups.items():
    print(f"{name}，张成空间的维数：{np.linalg.matrix_rank(matrix)}")

输出结果：

二维：不共线，张成空间的维数：2
二维：共线，张成空间的维数：1
二维：全为零，张成空间的维数：0
三维：只有 u、v，张成空间的维数：2
三维：加入平面内的 w，张成空间的维数：2
三维：加入平面外的 q，张成空间的维数：3

np.column_stack() 把这些一维数组按列拼在一起。比如三个三维向量会得到一个形状为 (3, 3) 的矩阵；两个三维向量则得到 (3, 2)。

从结果可以看到，加入 后，向量个数变成了三个，秩仍然是 ；换成平面外的 ，秩才增加到 。

如果秩等于列数，说明这些列向量线性无关；如果小于列数，就存在冗余。秩与环境空间维数相等时，这些列向量才能张成整个环境空间。比如两个三维向量可以线性无关，但仍然无法张成整个三维空间。

对于浮点数组，matrix_rank() 通过奇异值与容差判断数值秩。接近线性相关的实际测量数据，结果可能受误差和容差影响，具体说明见 NumPy 官方文档。当前例子的关系已经在前面用公式明确给出，代码用来核对这些关系，不需要现在就掌握奇异值分解。

基：既能覆盖整个空间，又没有冗余

现在回到基的定义

前面我们先使用了"基"这个词，现在可以把正式定义补齐了：一个向量空间的一组基，是这个空间中一组线性无关、并且能够张成该空间的向量。 教材中的定义可以对照 Basis and Dimension 阅读。

这个定义包含两个条件：

条件	它解决什么问题？
张成整个目标空间	空间中的每个向量，都能够表示出来
线性无关	表示同一个向量时，组合系数唯一

如果只有第一个条件，就可能像前面的 一样，虽然覆盖了平面，却保留了冗余。如果只有第二个条件，也不一定够，例如单独一个非零向量线性无关，但只能张成一条直线。

所以，判断一组向量是不是基，要先明确：我们准备描述的，到底是哪一个空间？

前面的 是平面 的一组基，因为它们能够覆盖这个平面，而且彼此独立。但它们不是整个 的基。它们虽然都有三个分量，描述这个平面中的向量时，却只需要两个组合系数。

一组基 中向量的个数，就称为该空间的维数。同一个有限维空间可以有不同的基，但每组基包含的向量个数相同。因此，平面的基包含两个向量，整个三维空间的基包含三个向量。

为什么坐标能够唯一确定？

我们用前面的二维基说明。假设同一个向量能用两组系数表示：

把两种表示相减，得到：

因为 线性无关，只有两个系数都为零才成立。因此 、，两组系数其实完全相同。

张成保证能表示，线性无关保证只有一种表示。 给基向量固定顺序后，我们才得到一套既完整又明确的坐标系统。

基向量也不要求一定是单位长度，或者一定两两垂直。正交单位基计算起来很方便，但这并不是基的定义要求。例如 ​ 和 并不垂直，仍然可以构成二维空间的一组基。

已知向量，怎样求它在新基下的坐标？

前面我们直接给出了 和 两个系数。现在，我们反过来，让程序求出这组坐标。

按照顺序把两个基向量放在矩阵的列中：

如果新坐标记为 ，那么我们要解决的就是：

这里的矩阵乘法，正是在把矩阵各列按照 缩放后相加。暂时先把它和线性组合联系起来，下一篇再详细讲矩阵与空间变换。

继续在程序中添加：

B = np.column_stack((b1, b2))
coordinates = np.linalg.solve(B, p)
rebuilt = B @ coordinates

print("基向量按列组成的矩阵：")
print(B)
print("在新基下的坐标：", coordinates)
print("重建后的标准坐标：", rebuilt)
print("是否重建成功：", np.allclose(rebuilt, p))

输出结果：

基向量按列组成的矩阵：
[[ 1.  1.]
 [ 1. -1.]]
在新基下的坐标： [0.5 2.5]
重建后的标准坐标： [ 3. -2.]
是否重建成功： True

这里 coordinates 存储的是新基下的组合系数；B @ coordinates 才是把这些系数与基向量组合起来，重新得到标准坐标。两种数组表示的意义不同，需要根据使用的基进行区分。

按照 NumPy 官方 solve 文档，这个接口用于求解方阵系数矩阵的线性方程组，矩阵需要非奇异。当前 的两列构成二维空间的一组基，符合要求。如果两列共线，就不能继续把它当成一组基，也不能指望 solve() 给出唯一坐标。

先检查能否张成，再检查有没有冗余

到这里，我们再遇到一组向量，就可以按这样的顺序去理解：先看它们的所有线性组合能到达哪里，再看有没有向量可以去掉。能够张成目标空间，又没有冗余，才是这个空间的一组基。

大家可以先做三个练习，再运行程序核对：

1. 仍然使用 、。向量 在这组有序基下的坐标是多少？
2. 对于前面的 ，判断 与 ，哪一个在它们张成的空间里？
3. 能否构成二维空间的一组基？去掉哪个向量后，剩下的两个仍然是一组基？

第一题的系数是 和 ，也就是 。第二题可以检查 ：前者在平面内，后者不在。第三题的三个向量线性相关，不能一起作为基；例如去掉 ，保留 即可。

安装 NumPy 后，执行：

python3 examples/span_basis_demo.py

看结果时，试着把每组数字重新读成一句话：它们在缩放哪些向量？所有系数变化之后，能够覆盖哪一个空间？如果换一组基，同一个几何向量的坐标会怎样改变？

下一篇，我们继续学习线性变换与矩阵，看看这些基向量发生变化时，怎样决定整个空间的变化。

参考资料与配套内容

• 上一篇：线性代数 向量究竟是什么 。
• 系列开篇：线性代数 序言 。
• 教材补充：张成空间、线性无关、基与维数。
• 代码接口：NumPy matrix_rank、NumPy solve。