1. 前言
众所周知，高中数学课本把命题定义为
命题是能判断真假的陈述句。
这个定义接纳 1 = 2 1=2 1=2、 9 = 3 \sqrt{9}=3 9 =3 这类不含参的陈述，却把 p ( x ) : x > 2 p(x):x>2 p(x):x>2 这类含参数的陈述排除在外，后者通常称为开语句。把两者分开处理，既不方便，也不优美，因为这并没有揭示它们的共同结构：只要给定参数，开语句就唯一确定一个真值。不含参数的陈述则不需要给定任何参数。换句话说，它们都是"参数到真值"的映射。
这自然得到本文的定义：命题是定义集合 U U U 上、取值于布尔域 { T , F } \{T,F\} {T,F} 的映射。以下"命题"均指这种映射，与课本用法不同。
我们将基于集合论、布尔代数和该定义逐步建立一种将它们统一起来的理解。
前置知识：
- 基础集合论
- 基础布尔代数
2. 命题
2.1. 命题的定义
记布尔域为
B : = { T , F } \mathbb{B}:=\{T,F\} B:={T,F}
命题是定义在集合 U U U 上、陪域为 B \mathbb{B} B 的映射，即
p : U → B x ↦ p ( x ) \begin{aligned} p\colon U&\to\mathbb{B}\\ x&\mapsto p(x) \end{aligned} p:Ux→B↦p(x)
其中 U U U 称为命题的定义域； p ( x ) ∈ B p(x)\in\mathbb{B} p(x)∈B 是命题在参数 x x x 处的真值。
两个命题 p , q p,q p,q 相等，当且仅当它们有相同的定义域 U U U，且对每个 x ∈ U x\in U x∈U 都有 p ( x ) = q ( x ) p(x)=q(x) p(x)=q(x)。
若 p p p 的值域为 { T } \{T\} {T} 则称 p p p 在 U U U 上恒真；若 p p p 的值域为 { F } \{F\} {F} 则称 p p p 在 U U U 上恒假。
把命题建模为映射，只要给定参数，映射就给出唯一真值，正是"能判断真假"的精确刻画。
2.2. 无自变量命题
形如 1 = 2 1=2 1=2 的陈述不含参数，称为无自变量命题。为了把它纳入映射框架，规定它的定义域为单元素集 { ( ) } \{()\} {()}，其中 ( ) () () 是唯一的空元组。于是无自变量命题可以写成
p : { ( ) } → B p\colon\{()\}\to\mathbb{B} p:{()}→B
其唯一取值 p ( ( ) ) p(()) p(()) 就是该命题的真值。
这样规定定义域的理由来自空笛卡尔积的约定。考虑有 n n n 个自变量的映射 f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) f(x_1,x_2,\dots,x_n) f(x1,x2,...,xn)，其中 x i x_i xi 各自在 S i S_i Si 中取值。它的定义域是笛卡尔积 ∏ i = 1 n S i \prod_{i=1}^{n}S_i ∏i=1nSi。当 n = 0 n=0 n=0 时，指标集为空，此时空笛卡尔积约定为单元素集
∏ i ∈ ∅ S i = { ( ) } \prod_{i\in\varnothing}S_i=\{()\} i∈∅∏Si={()}
自然得到上述规定。
因此课本所说的"能判断真假的陈述句"正是无自变量命题。
注：为了书写方便，以下把无自变量命题与其唯一真值等同：直接写 p = T p=T p=T 或 p = F p=F p=F。
2.3. 命题与真值集合的关系
设 Pred ( U ) \operatorname{Pred}(U) Pred(U) 表示 U U U 上全体命题的集合，即
Pred ( U ) : = { p ∣ p : U → B } \operatorname{Pred}(U):=\{p\mid p\colon U\to\mathbb{B}\} Pred(U):={p∣p:U→B}
定义真值集合映射
T U : Pred ( U ) → P ( U ) p ↦ { x ∈ U ∣ p ( x ) = T } \begin{aligned} \mathcal T_U\colon\operatorname{Pred}(U)&\to\mathcal P(U)\\ p&\mapsto\{x\in U\mid p(x)=T\} \end{aligned} TU:Pred(U)p→P(U)↦{x∈U∣p(x)=T}
其中 P ( U ) \mathcal P(U) P(U) 是 U U U 的幂集， T U ( p ) \mathcal T_U(p) TU(p) 称为 p p p 的真值集合，即所有使 p ( x ) = T p(x)=T p(x)=T 的 x x x 组成的集合。
不难证明 T U \mathcal T_U TU 是双射，因此 T U \mathcal T_U TU 有逆映射。
我们首先对任意 A ⊆ U A\subseteq U A⊆U 定义特征命题
χ A : U → B , χ A ( x ) = { T x ∈ A F x ∉ A \chi_A\colon U\to\mathbb{B},\quad \chi_A(x)= \begin{cases} T & x\in A\\ F & x\notin A \end{cases} χA:U→B,χA(x)={TFx∈Ax∈/A
则 T U ( χ A ) = A \mathcal T_U(\chi_A)=A TU(χA)=A。因此 T U \mathcal T_U TU 的逆映射为
T U − 1 : P ( U ) → Pred ( U ) A ↦ χ A \begin{aligned} \mathcal T_U^{-1}\colon\mathcal P(U)&\to\operatorname{Pred}(U)\\ A&\mapsto\chi_A \end{aligned} TU−1:P(U)A→Pred(U)↦χA
这说明命题与真值集合是同一对象的两种表示。同时 T U \mathcal T_U TU 把命题语言翻译成集合语言。由于 T U \mathcal T_U TU 是双射，两种语言可以自由互换。
3. 命题的逻辑运算
3.1. 命题逻辑运算的定义
设 p , q ∈ Pred ( U ) p,q\in\operatorname{Pred}(U) p,q∈Pred(U)。对每个 x ∈ U x\in U x∈U，逐点定义
( p ∧ q ) ( x ) : = p ( x ) ∧ q ( x ) ( p ∨ q ) ( x ) : = p ( x ) ∨ q ( x ) ( ¬ p ) ( x ) : = ¬ p ( x ) ( p → q ) ( x ) : = p ( x ) → q ( x ) \begin{aligned} (p\land q)(x)&:=p(x)\land q(x)\\ (p\lor q)(x)&:=p(x)\lor q(x)\\ (\neg p)(x)&:=\neg p(x)\\ (p\to q)(x)&:=p(x)\to q(x) \end{aligned} (p∧q)(x)(p∨q)(x)(¬p)(x)(p→q)(x):=p(x)∧q(x):=p(x)∨q(x):=¬p(x):=p(x)→q(x)
其中右侧的 ∧ , ∨ , ¬ , → \land,\lor,\neg,\to ∧,∨,¬,→ 是 B \mathbb{B} B 上的逻辑运算，左侧则为命题的逻辑运算。
于是 p ∧ q p\land q p∧q、 p ∨ q p\lor q p∨q、 ¬ p \neg p ¬p、 p → q p\to q p→q 仍是 U U U 上的命题。
注意 p → q p\to q p→q 是 U U U 上的命题，它逐点取值，没有单一真值。
3.2. 命题逻辑运算和真值集合的对应
由命题的逻辑运算的定义可以得到
T U ( p ∧ q ) = T U ( p ) ∩ T U ( q ) T U ( p ∨ q ) = T U ( p ) ∪ T U ( q ) T U ( ¬ p ) = ∁ U ( T U ( p ) ) T U ( p → q ) = ∁ U ( T U ( p ) ) ∪ T U ( q ) \begin{aligned} \mathcal T_U(p\land q)&=\mathcal T_U(p)\cap\mathcal T_U(q)\\ \mathcal T_U(p\lor q)&=\mathcal T_U(p)\cup\mathcal T_U(q)\\ \mathcal T_U(\neg p)&=\complement_U\bigl(\mathcal T_U(p)\bigr)\\ \mathcal T_U(p\to q)&=\complement_U\bigl(\mathcal T_U(p)\bigr)\cup\mathcal T_U(q) \end{aligned} TU(p∧q)TU(p∨q)TU(¬p)TU(p→q)=TU(p)∩TU(q)=TU(p)∪TU(q)=∁U(TU(p))=∁U(TU(p))∪TU(q)
命题的恒等式与集合的恒等式一一对应。例如，命题层面和集合层面的德摩根律相互对应。
4. 量词命题
4.1. 量词命题的定义
设 p ∈ Pred ( U ) p\in\operatorname{Pred}(U) p∈Pred(U)， S ⊆ U S\subseteq U S⊆U。
全称量词命题
∀ x ∈ S , p ( x ) \forall x\in S,p(x) ∀x∈S,p(x)
是无自变量命题，它为真当且仅当
S ⊆ T U ( p ) S\subseteq\mathcal T_U(p) S⊆TU(p)
存在量词命题
∃ x ∈ S , p ( x ) \exists x\in S,p(x) ∃x∈S,p(x)
同样是无自变量命题，它为真当且仅当
S ∩ T U ( p ) ≠ ∅ S\cap\mathcal T_U(p)\neq\varnothing S∩TU(p)=∅
不难证明，量词与否定有如下对偶关系
¬ ( ∀ x ∈ S , p ( x ) ) = ∃ x ∈ S , ¬ p ( x ) ¬ ( ∃ x ∈ S , p ( x ) ) = ∀ x ∈ S , ¬ p ( x ) \begin{aligned} \neg\bigl(\forall x\in S,p(x)\bigr)&=\exists x\in S,\neg p(x) \\10px \neg\bigl(\exists x\in S,p(x)\bigr)&=\forall x\in S,\neg p(x) \end{aligned} ¬(∀x∈S,p(x))¬(∃x∈S,p(x))=∃x∈S,¬p(x)=∀x∈S,¬p(x)
4.2. 空集的量词命题
量词命题在 S = ∅ S=\varnothing S=∅ 情形下的取值值得单独说明。
此时 ∅ ⊆ T U ( p ) \varnothing\subseteq\mathcal T_U(p) ∅⊆TU(p) 恒成立，故全称量词命题 ∀ x ∈ S , p ( x ) \forall x\in S,p(x) ∀x∈S,p(x) 为真。
同理，存在量词命题在 S = ∅ S=\varnothing S=∅ 时为假，因为 ∅ ∩ T U ( p ) = ∅ \varnothing\cap\mathcal T_U(p)=\varnothing ∅∩TU(p)=∅。
5. 蕴含、充分条件与必要条件
设 p , q ∈ Pred ( U ) p,q\in\operatorname{Pred}(U) p,q∈Pred(U)。无自变量命题
p ⟹ q p\Longrightarrow q p⟹q
为真当且仅当
T U ( p ) ⊆ T U ( q ) \mathcal T_U(p)\subseteq\mathcal T_U(q) TU(p)⊆TU(q)
当 p ⟹ q p\Longrightarrow q p⟹q 为真时，称 p p p 是 q q q 的充分条件， q q q 是 p p p 的必要条件。
若 p ⟹ q p\Longrightarrow q p⟹q 与 q ⟹ p q\Longrightarrow p q⟹p 都为真，则称 p p p 与 q q q 等价， p p p 是 q q q 的充分必要条件。"等价"可以写成无自变量命题
p ⟺ q : = ( p ⟹ q ) ∧ ( q ⟹ p ) p\Longleftrightarrow q:=(p\Longrightarrow q)\land(q\Longrightarrow p) p⟺q:=(p⟹q)∧(q⟹p)
p ⟺ q p\Longleftrightarrow q p⟺q 当且仅当 T U ( p ) = T U ( q ) \mathcal T_U(p)=\mathcal T_U(q) TU(p)=TU(q)。命题的等价就是真值集合相同。
6. 逆命题、否命题、逆否命题
设 p , q ∈ Pred ( U ) p,q\in\operatorname{Pred}(U) p,q∈Pred(U)，考虑无自变量命题 p ⟹ q p\Longrightarrow q p⟹q。定义
- q ⟹ p q\Longrightarrow p q⟹p 为其逆命题
- ¬ p ⟹ ¬ q \neg p\Longrightarrow \neg q ¬p⟹¬q 为其否命题
- ¬ q ⟹ ¬ p \neg q\Longrightarrow \neg p ¬q⟹¬p 为其逆否命题
不难证明原命题 和其逆否命题 等价，逆命题 和否命题等价。
注意：否命题不是命题的否定。原命题的否定是 ¬ ( p ⟹ q ) \neg (p\Longrightarrow q) ¬(p⟹q)。
7. 集族与命题族的运算
7.1. 集族的交、并
集族的交和并用全称和存在量词定义。
对于任意指标集 I I I，定义
⋂ i ∈ I A i : = { x ∈ U ∣ ∀ i ∈ I , x ∈ A i } ⋃ i ∈ I A i : = { x ∈ U ∣ ∃ i ∈ I , x ∈ A i } \begin{aligned} \bigcap_{i\in I}A_i&:=\{x\in U\mid\forall i\in I,x\in A_i\} \\10px \bigcup_{i\in I}A_i&:=\{x\in U\mid\exists i\in I,x\in A_i\} \end{aligned} i∈I⋂Aii∈I⋃Ai:={x∈U∣∀i∈I,x∈Ai}:={x∈U∣∃i∈I,x∈Ai}
其中 ( A i ) i ∈ I (A_i)_{i\in I} (Ai)i∈I 是 U U U 的一族子集，每个 A i ⊆ U A_i\subseteq U Ai⊆U。
当 I = ∅ I=\varnothing I=∅ 时，有 ⋂ i ∈ ∅ A i = U \bigcap_{i\in\varnothing}A_i=U ⋂i∈∅Ai=U， ⋃ i ∈ ∅ A i = ∅ \bigcup_{i\in\varnothing}A_i=\varnothing ⋃i∈∅Ai=∅。这是相对全集 U U U 而言的。
进一步，由全称量词命题和存在量词命题的对偶关系，得
∁ U ⋂ i ∈ I A i = ∁ U { x ∈ U ∣ ∀ i ∈ I , x ∈ A i } = { x ∈ U ∣ ¬ ( ∀ i ∈ I , x ∈ A i ) } = { x ∈ U ∣ ∃ i ∈ I , x ∈ ∁ U A i } = ⋃ i ∈ I ( ∁ U A i ) \begin{aligned} \complement_U \bigcap_{i\in I}A_i&=\complement_U \{x\in U\mid\forall i\in I,x\in A_i\} \\ &=\{x\in U\mid\neg\left(\forall i\in I,x\in A_i\right)\} \\ &=\{x\in U\mid\exists i\in I,x\in \complement_U A_i\} \\ &=\bigcup_{i\in I}\left(\complement_U A_i\right) \end{aligned} ∁Ui∈I⋂Ai=∁U{x∈U∣∀i∈I,x∈Ai}={x∈U∣¬(∀i∈I,x∈Ai)}={x∈U∣∃i∈I,x∈∁UAi}=i∈I⋃(∁UAi)
类似地，有
∁ U ⋃ i ∈ I A i = ⋂ i ∈ I ( ∁ U A i ) \complement_U \bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}\left(\complement_U A_i\right) ∁Ui∈I⋃Ai=i∈I⋂(∁UAi)
这是德摩根律在集族上的推广。
7.2. 命题族的与、或
命题族的与、或同样用量词定义。设 ( p i ) i ∈ I (p_i)_{i\in I} (pi)i∈I 是一族命题，每个 p i ∈ Pred ( U ) p_i\in \operatorname{Pred}(U) pi∈Pred(U)。那么
( ⋀ i ∈ I p i ) ( x ) : = ( ∀ i ∈ I , p i ( x ) ) ( ⋁ i ∈ I p i ) ( x ) : = ( ∃ i ∈ I , p i ( x ) ) \begin{aligned} \left(\bigwedge_{i\in I}p_i\right)(x)&:=\left(\forall i\in I,p_i(x)\right) \\10px \left(\bigvee_{i\in I}p_i\right)(x)&:=\left(\exists i\in I,p_i(x)\right) \end{aligned} (i∈I⋀pi)(x)(i∈I⋁pi)(x):=(∀i∈I,pi(x)):=(∃i∈I,pi(x))
当 I = ∅ I=\varnothing I=∅ 时，有 ⋀ i ∈ ∅ p i = χ U \bigwedge_{i\in\varnothing}p_i=\chi_U ⋀i∈∅pi=χU（恒真命题）， ⋁ i ∈ ∅ p i = χ ∅ \bigvee_{i\in\varnothing}p_i=\chi_{\varnothing} ⋁i∈∅pi=χ∅（恒假命题）。这与空集上的全称/存在量词约定一致
7.3. 命题与真值集合运算的对应
特征集族的交、并对应命题族的与、或
⋂ i ∈ I A i = T U ( ⋀ i ∈ I χ A i ) ⋃ i ∈ I A i = T U ( ⋁ i ∈ I χ A i ) \begin{aligned} \bigcap_{i\in I}A_i&=\mathcal T_U\left(\bigwedge_{i\in I}\chi_{A_i}\right) \\10px \bigcup_{i\in I}A_i&=\mathcal T_U\left(\bigvee_{i\in I}\chi_{A_i}\right) \end{aligned} i∈I⋂Aii∈I⋃Ai=TU(i∈I⋀χAi)=TU(i∈I⋁χAi)
这样，集族的交、并与命题族的合取、析取通过真值集合完全对应。