第十七夜 · 长街点灯
上一封信的末尾，我们说起大厂的面试，说起考官、铡刀，还有那扇看不见的门。信寄出去没几天，我自己倒先想起另一场面试。那一场比大厂早得多，也黑得多。
那年我坐在一间漆黑的屋子里面试，屋子里什么也看不见，面试官就在黑暗里开了口。后来我跟人讲起那一场，都是这么讲的。
「当时面试官问我在一个漆黑的房间里开灯。有好多人在排队，开啊关、关啊开，人来人往的。几千个人。几千盏灯怎么样才能找到配对的方法？证明灯是谁关的？全部玩过之后，又有哪些灯被亮？把罪魁祸首找出来。」
黑屋子里什么也看不见，他偏出了一道用眼睛做不了的题。这道题搬到你认得的那条长街上正合适。比特王国，第十四夜我们看过那里的灯，一盏灯就是一位；第十六夜海关的死亡名单，也是一排灯。今天灯多了，街尾新修的一段路上，立起一百盏路灯，门牌从 1 编到 100，天黑下来，全街是灭的。守灯人是个一板一眼的角色，规则只有一条。第 1 晚，把一百盏灯全部点亮；第 2 晚，把门牌是 2 的倍数的按一下；第 3 晚按 3 的倍数；一路往下，第 100 晚按完。问你，天亮以后，街上还亮着几盏？
面试原题是几千个人几千盏灯。别急，先把一百盏街上的数算清楚，再回黑屋去。
最老实的办法，是照规则真按。一百个开关装得下，你早学过这条街的存法，一个 int 有 32 位，一格记一盏灯，4 个 int 就把整条街扛在肩上。按一下怎么写？亮变灭，灭变亮，翻一次面。异或，第九夜山洞里翻牌的老工具。程序埋头按了一百个晚上，天亮清点，街上亮着十盏。
黑格只有十个，散在格盘上，门牌是 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。从小到大念，相邻两个的间隔是 3，5，7，9，11，一路上全是奇数。这一排号码有个共同的名字，叫平方数。
答案有了，可我心里过不去。当年在那间黑屋子里，我交出去的卷子不是这张。交卷之前，我在纸上画过一张更乱的图。
「我还记得那时候啊，我想到了配对方法。把每个灯和每个人的编号连起来。但是我依旧没有看出他们之间是什么关系，直到线密密麻麻，直到我有一天玩了连连看。发现一个方块在左边，一个方块在右边，它们左右颠倒没关系。」
这张图这么画。左边一列方块，写晚上的编号；右边一列方块，写灯的门牌。第 d 晚按了第 n 号灯，d 和 n 之间就连一条线。拿 12 号灯看，它身上连着六条线，从 1、2、3、4、6、12 六个方块来。1 牵 12，2 牵 6，3 牵 4，三对，每一对两头的乘积都是 12。乘法不管谁站左边谁站右边，3 排 4，4 排 3，排出来都是同一盏 12 号。这就是左右颠倒没关系。每一对线其实是同一件事说了两遍，按了两下，一亮一灭，等于没按。
16 号灯身上连着五条线。1 牵 16，2 牵 8，都成双。剩下一条，4 牵 4，两头是同一个方块，笔直立在正中，自己连自己。全图只有这一条线不跟别人交叉。它只按了一下，没有配对的第二下来抵消它。灯就这么亮了。
线密密麻麻的时候看不出关系，线一多，结构自己浮出来。成双的线抵消，自连的线点亮。黑屋里看不见灯，也看不见线，那就不看。把问法倒过来，不去猜哪盏灯亮，挨个去问每一盏灯，你被按了几下。12 号答六下，16 号答五下。答奇数下的站出来，就是亮着的。问题问对了，答案自己会站出来。
还剩最后一层窗户纸。那条自己连自己的线，为什么只在平方数的门前出现？把门牌拆开看。12 拆成两个 2 和一个 3，12=2\^2\\times 3，它的因子个数是 (2+1)(1+1)=6，偶数。16 拆成四个 2，16=2\^4，因子个数是 4+1=5，奇数。规律在这里。因子个数，等于每个素因子的指数各加一，再连乘。要这个连乘出奇数，每一项都得是奇数，每个指数都得是偶数。指数全偶，号码就是一个平方数。素数是数字的原子，平方数是原子两两成双盖起来的楼。原子自己的故事，下一夜讲。
现在回黑屋去交卷。几千个人，几千盏灯，题目一分不减。一千盏的街，天亮后亮三十一盏，从 1 到 961，31 的平方是最后一个站在街口的，32 的平方出了街。灯是谁关的？每一盏灯的最后一手都是它自己的号码，第 n 晚，第 n 号灯被第 n 个人按最后一下，点灯的是它，关灯的也是它。可让它亮着不放的，是那个没有搭档的平方根。罪魁祸首捉拿归案，全场几千人，只有他，一个方块在左，一个方块在右，两边都是自己。
祖母说过，把落单的留给对手。长街替她补了下半句，落单的那一位，自己点亮了自己。
java
public class Night17Lamps {
public static void main(String[] args) {
// 守灯人的一百晚：真去按。一百盏灯装进 4 个 int，按一下翻一次面
int[] lamps = new int[4];
for (int d = 1; d <= 100; d++) {
for (int n = d; n <= 100; n += d) {
lamps[n / 32] ^= 1 << (n % 32); // 异或：亮变灭，灭变亮
}
}
StringBuilder lit = new StringBuilder();
for (int n = 1; n <= 100; n++) {
if (((lamps[n / 32] >> (n % 32)) & 1) == 1) lit.append(n).append(' ');
}
System.out.println("simulation: " + lit.toString().trim());
// 黑屋里看不见，就挨个问：你被按了几下
StringBuilder asked = new StringBuilder();
for (int n = 1; n <= 100; n++) {
int presses = 0;
for (int d = 1; d * d <= n; d++) {
if (n % d == 0) {
presses += 2; // d 和 n/d 成双，各一下
if (d * d == n) presses--; // 落单的平方根，只一下
}
}
if (presses % 2 == 1) asked.append(n).append(' ');
}
System.out.println("pairing : " + asked.toString().trim());
// 面试原题口径：几千盏灯，先看一千盏
int on = 0;
for (int n = 1; (long) n * n <= 1000; n++) on++;
System.out.println("lamps up to 1000: " + on + " lit (31*31=961, 32*32=1024 leaves the street)");
}
}实跑输出如下。
simulation: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
pairing : 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
lamps up to 1000: 31 lit (31*31=961, 32*32=1024 leaves the street)这一夜的回信就写到这里。下一夜我们去见那些再也拆不开的号码，见一见数字的原子。
① 真伪核对 逐条照实登记。
Ⅰ 题源 一百盏灯按倍数开关为流传已久的经典谜题，通行于趣味数学读物与科技公司的面试题库，常见包装有百盏灯、一百扇门等，未查到权威首出记载（真，已联网核查，标民间流传）。本夜题源打头为秋天的怀念的面试亲历，黑屋原题与配对顿悟两段口述照录入文（真，口述实录）。
Ⅱ 机制 第 n 号灯共被按其因子个数次，因子首尾成对（d 与 n/d），唯有平方数含自配对的平方根，故按奇数次的灯恰为平方号门牌；百盏亮十盏（真，算术，双算法实跑互证一致）。
Ⅲ 千盏口径 一千盏灯天亮后亮三十一盏，31²=961、32²=1024（真，算术，实跑验证）。
Ⅳ 素数拆解 12=2\^2\\times 3，因子个数 (2+1)(1+1)=6；16=2\^4，因子个数 4+1=5；各素因子指数全偶则号码为平方数（真，算术）。
Ⅴ 学名 因子个数通称除数函数（divisor function），记号 \\tau(n)，亦记 d(n)、\\sigma_0(n)（真，已联网核查）。
Ⅵ 连连看 配对顿悟一节为口述实录；连连看系流行的配对消除游戏，玩法为连接成对的方块（常识）。
Ⅶ 演示件 Night17Lamps 位图模拟与因数配对双路互证一致，输出与文中一致（真，JDK 21 实跑验证）。
② 术语对照卡 本夜新增一条，定义不含比喻。
Ⅰ 除数个数，学名除数函数（divisor function），记号 \\tau(n)。n 的全部因子的个数；因子首尾配对后唯有平方数落单一次，故 \\tau(n) 为奇当且仅当 n 为平方数。
③ 今夜习题 三道，评论区见。
Ⅰ 换一条一千盏灯的长街，规则不变，天亮后亮着几盏？最靠街口的那一盏，门牌是多少？
Ⅱ 2024 号灯最后亮着吗？一百盏里被按了恰好六次的灯，最小编号是几号？
Ⅲ 守灯人第七晚和第十一晚偷懒没按，天亮后亮着的门牌相比原规则变了哪几盏？
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