位运算完整学习笔记：按位与（&）+ 异或（^）

从核心原理到算法应用全梳理

位运算直接对整数的二进制位执行操作，具备常数级时间、O(1)额外空间的天然优势，是算法优化、底层编程的核心工具。其中按位与（&）和异或（^）是最核心的两个运算符：& 擅长筛选、提取、算进位；^ 擅长抵消、对比、做还原。二者独立可解决基础题，组合可覆盖绝大多数进阶位运算题型。

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一、按位与运算（&）

1. 核心原理

定义

对两个整数的二进制逐位对齐运算，规则：同一位上两个数都是 1，结果位才是 1；只要有一个是 0，结果位就是 0。

真值表

位A	位B	A & B 结果
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

本质

按位与的核心是掩码筛选：构造一个只有目标位为1的「掩码」，和原数做与运算，即可精准保留目标位、清零其余所有位，实现对二进制位的精准控制。

核心性质

• 交换律：a & b = b & a
• 结合律：(a & b) & c = a & (b & c)
• 幂等律：a & a = a（自身与自身运算结果不变）
• 零律：a & 0 = 0（和0运算，所有位全部清零）

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2. 触发信号：什么时候想到用 &

题目出现以下特征时，优先考虑按位与运算：

• 需要判断二进制某一位是 0 还是 1
• 需要保留指定二进制位、清零其他所有位
• 需要计算二进制加法的进位值
• 判断奇偶、校验状态标志位

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3. 经典应用场景

场景1：位状态判断（代表：判断整数奇偶）

为什么能这么做

构造一个「只有目标位是1、其余全是0」的掩码，和原数做按位与：

• 结果 ≠ 0 → 目标位为 1
• 结果 = 0 → 目标位为 0

代码示例

// 判断整数奇偶：最低位为1则是奇数
bool isOdd(int num) {
    return (num & 1) == 1;
}

// 判断第k位是否为1
bool isBitSet(int num, int k) {
    return (num & (1 << k)) != 0;
}

对应题目/场景

• 基础语法：奇偶判断、标志位校验
• 力扣461. 汉明距离：逐位统计1的个数

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场景2：提取指定位，清零其余位（代表：提取最右侧的1）

为什么能这么做

掩码中为1的位置，与运算后保留原值；掩码中为0的位置，与运算后强制清零。 经典技巧 num & (~num + 1) 依托整数补码规则：对原数取反加1后，仅在原数最右侧1的位置为1，其余位全为0；和原数按位与后，最终只保留最右侧的1。

代码示例

// 提取num二进制最右侧的1，其余位清零
int getRightmostOne(int num) {
    return num & (~num + 1);
}

对应题目/场景

• 力扣260. 只出现一次的数字 III：提取分组标记位
• 状态位提取、标志位筛选

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场景3：计算二进制加法的进位

为什么能这么做

二进制加法中，只有 1 + 1 才会向高位产生进位，刚好匹配按位与「同1才1」的规则。进位需要进到高位，因此结果左移1位。

代码示例

// 计算a + b产生的进位总值
int getCarry(int a, int b) {
    return (a & b) << 1;
}

对应题目/场景

• 力扣371. 两整数之和：不用加减号实现加法

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二、异或运算（^）

1. 核心原理

定义

对两个整数的二进制逐位对齐运算，核心规则：相同为0，不同为1。

• 数学符号：⊕
• 编程通用符号：^（C、C++、Java、Python等语言通用）

真值表

输入A	输入B	结果 A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

本质：二进制无进位加法

异或等价于二进制逐位相加、丢弃所有进位，它和普通加法的本位计算结果完全一致，唯一区别是普通加法会向高位传递进位，而异或直接舍弃进位。

拓展：计算机底层的加法器正是由「异或（计算本位和）+ 与运算（计算进位）」组合实现，核心公式： a + b = (a \\oplus b) + ((a \& b) \<\< 1)

核心数学性质

所有算法技巧的底层根基，均可由定义直接推导得出：

1. 交换律 ：a ^ b = b ^ a
2. 结合律 ：(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
3. 自反性 ：a ^ a = 0（任何数与自身异或，结果为0）
4. 恒等性 ：a ^ 0 = a（任何数与0异或，数值保持不变）
5. 还原推论（对合性） ：a ^ b ^ b = a 一个数连续异或同一个数两次，会还原为原始值。这是交换变量、加密解密、分组求解的核心原理。

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2. 触发信号：什么时候想到用 ^

题目出现以下特征时，优先考虑异或运算：

• 元素成对出现、找出现奇数次的数字
• 找缺失的数字、找重复的数字
• 求两个数二进制位的差异数量
• 不使用临时变量交换两个整数
• 简单加密解密、数据还原
• 要求O(1)空间复杂度、线性时间复杂度

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3. 经典应用场景

场景1：无需临时变量交换两个整数

为什么能这么做

依托异或的结合律与自反性，通过连续异或两次还原出对方的原始值，全程不需要第三个临时变量，空间复杂度O(1)。(但是这种方法存在的隐患是：当a,b是数组中的数时，要注意，a、b不能在同一个位置)

代码实现（Java）

// 初始状态：a = 甲, b = 乙
a = a ^ b;  // 第一步：a = 甲^乙，b 仍为 乙
b = a ^ b;  // 第二步：b = (甲^乙)^乙 = 甲，b完成交换
a = a ^ b;  // 第三步：a = (甲^乙)^甲 = 乙，a完成交换

对应题目/场景

• 经典面试题：不使用临时变量交换两个整数

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场景2：查找单个出现奇数次的数字

前置条件

数组中只有1个数字出现奇数次，其余所有数字均出现偶数次。

为什么能这么做

以0为初始值，遍历数组依次异或。出现偶数次的数字会两两异或、相互抵消为0，最终剩余的结果就是唯一出现奇数次的数字。

代码实现（Java）

public static void printOddTimesNum1(int[] arr) {
    int eor = 0;
    for (int cur : arr) {
        eor ^= cur;
    }
    System.out.println(eor);
}

对应题目

• 力扣136. 只出现一次的数字

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场景3：查找两个出现奇数次的数字

前置条件

数组中有2个不同的数字出现奇数次，其余所有数字均出现偶数次。

核心思路：分组异或

将问题拆解为两个「单个奇数次数字」的子问题：

1. 先全员异或得到两个目标数的差值 eor = a ^ b
2. 用 eor & (~eor + 1) 提取最右侧的1作为分组标记位（两个目标数在该位一定一个为0、一个为1）
3. 按标记位将数组分为两组，每组分别异或，各得到一个目标数

代码实现（Java）

public static void printOddTimesNum2(int[] arr) {
    int eor = 0;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        eor ^= arr[i];
    }
    // 提取二进制最右侧的1，作为分组依据
    int rightOne = eor & (~eor + 1);
    
    int onlyOne = 0;
    for (int cur : arr) {
        // 只异或该位为0的一组数
        if ((cur & rightOne) == 0) {
            onlyOne ^= cur;
        }
    }
    // 输出两个出现奇数次的数字
    System.out.println(onlyOne + " " + (eor ^ onlyOne));
}

位运算技巧说明：eor & (~eor + 1) 依托整数补码规则，对原数取反加1后，原数最右侧的1会被保留，其余位全部变为0；与原数按位与后，最终仅剩下最右侧的1。

对应题目

• 力扣260. 只出现一次的数字 III

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场景4：标记二进制差异位

为什么能这么做

异或的结果天然就是两个数的「差异图」：每一个1都代表两个数在该位不同，每一个0都代表该位相同。可以直接把「找不同位的数量」转化为「统计结果中1的个数」。

代码示例

// 得到两个数的二进制差异标记图
int getDiff(int x, int y) {
    return x ^ y;
}

对应题目

• 力扣461. 汉明距离

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场景5：简易异或加密解密

为什么能这么做

利用异或的还原推论：加密和解密是完全相同的操作。明文异或密钥得到密文，密文再异或一次相同密钥，直接还原明文。

代码示例

// 加密解密为同一个操作
char xorCrypt(char c, int key) {
    return (char)(c ^ key);
}

对应题目/场景

• 基础加密算法题、数据简单混淆

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三、双运算符组合经典算法（进阶）

绝大多数位运算进阶题都是二者配合使用，以下三类是最经典的组合范式，明确每个运算符的分工即可快速解题。

组合1：汉明距离（力扣461）

触发信号

求两个整数二进制对应位不同的位置的数量。

分工原理

• 异或 ^：完成「差异编码」，把所有不同的位标记为1
• 按位与 &：完成「逐位校验」，统计结果中1的总个数

完整代码（C++）

class Solution {
public:
    int hammingDistance(int x, int y) {
        int diff = x ^ y;
        int count = 0;
        while (diff != 0) {
            count += diff & 1;
            diff = diff >> 1;
        }
        return count;
    }
};

对应题目

• 力扣461. 汉明距离
• 力扣2220. 转换数字的最少位翻转次数

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组合2：无加减号实现整数加法（力扣371）

触发信号

禁止使用 +、- 算术运算符，实现两个整数的加法。

分工原理

• 异或 ^：计算无进位的本位和
• 按位与 & + 左移：计算所有位产生的进位总值
• 循环迭代，直到进位为0，此时本位和就是最终结果

完整代码（C++）

class Solution {
public:
    int getSum(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int carry = (unsigned int)(a & b) << 1; // 计算进位
            a = a ^ b; // 计算无进位本位和
            b = carry; // 进位作为新的b继续迭代
        }
        return a;
    }
};

对应题目

• 力扣371. 两整数之和

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组合3：两个出现奇数次的数字（力扣260）

触发信号

数组中恰好有两个数字只出现一次，其余所有数字都出现两次。

分工原理

• 异或 ^：全员异或得到两个目标数的差值 a ^ b
• 按位与 &：提取差值最右侧的1作为分组掩码，同时用于判断每个数的分组
• 按分组分别异或，每组各得到一个目标数

完整代码（C++）

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {
        int eor = 0;
        for (int num : nums) {
            eor ^= num;
        }
        // 提取最右侧的1作为分组依据
        int rightOne = eor & (~eor + 1);
        int onlyOne = 0;
        for (int num : nums) {
            if ((num & rightOne) == 0) {
                onlyOne ^= num;
            }
        }
        return {onlyOne, eor ^ onlyOne};
    }
};

对应题目

• 力扣260. 只出现一次的数字 III

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四、总结与解题方法论

1. 核心逻辑总结

所有异或的编程技巧，本质都是对「自反性 + 还原推论」的复用：

• 单个奇数次数字：全员异或，偶数次数字全部抵消
• 两个奇数次数字：用差异位拆分，退化为两个单次问题
• 交换变量：连续异或两次，还原出对方原值

按位与则始终扮演「精准控制比特位」的角色：判断、提取、算进位，和异或形成互补。

这类位运算方案的统一优势：时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)，无需额外的哈希表、数组等存储结构，是算法优化中的经典手段。

2. 固定解题思考步骤

拿到一道位运算题，按以下四步走即可：

1. 看特征匹配：看题目关键词，匹配「触发信号」，确定用&、^还是组合使用
2. 明确分工：想清楚每个运算分别做什么：谁做抵消、谁做标记、谁做筛选
3. 小样例推演：用小数手动计算一遍二进制，验证逻辑是否正确
4. 编码实现：翻译成代码，注意符号位、边界条件