数据结构 06｜图：度怎么数、拓扑序列怎么列、Dijkstra 与关键路径怎么手算

2013 年第 7 题，我对着一个 4×4 的邻接矩阵数了半天，选了 A。

题目给的矩阵长这样：

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     0  0  0  1
A =  1  0  1  0
     0  1  0  0
     1  1  0  0

问各顶点的度依次是多少。我想的是"度 = 这一行里非零元素的个数"，数出来 1, 2, 1, 2，选 A，很干脆。

答案是 C：3, 4, 2, 3。

问题出在我没先看矩阵对不对称 。这个矩阵第 1 行第 4 列是 1，第 4 行第 1 列也是 1，但第 1 行第 2 列是 0、第 2 行第 1 列却是 1------不对称 ，说明它是有向图 。有向图里"度 = 入度 + 出度"，得把行和列加起来数，只数行就漏了一半。

从那以后我做邻接矩阵的题，第一件事就是看它是不是对称的。这一步花两秒，能救一整道题。

〇、先花两分钟：图、度、连通是什么

图（Graph）：一堆顶点（vertex，也叫结点）和一堆连接它们的边（edge）。边没有方向叫无向图 ，边有方向（写成 <v₁, v₂>，只能从 v₁ 走到 v₂）叫有向图 ，也叫弧。

度：连在这个顶点上的边有几条。

无向图：度 = 挨着它的边数
有向图：入度（箭头指向它的）+ 出度（从它指出去的）

连通（无向图）：从任意一个顶点都能走到任意另一个顶点。强连通 （有向图）：从 u 到 v、从 v 到 u 双向都能走。

生成树 ：连通图的一棵"骨架"------包含全部顶点 ，但只保留 n−1 条边且不成环。带权图里权值总和最小的那棵叫最小生成树。

度的两种数法、四种存储结构、BFS/DFS 对比、拓扑与关键路径手算

一、度的计算与图的基本概念

1.1 无向图 vs 有向图，度怎么数

图类型	度的算法
无向图	邻接矩阵中该顶点对应一行的非零元素个数
有向图	该顶点行的非零数（出度）+ 列的非零数（入度）

2013(7) 完整验算一遍：

顶点	行（出度）	列（入度）	度
1	`0 0 0 1` → 1	`0,1,0,1` → 2	3
2	`1 0 1 0` → 2	`0,0,1,1` → 2	4
3	`0 1 0 0` → 1	`0,1,0,0` → 1	2
4	`1 1 0 0` → 2	`1,0,0,0` → 1	3

2013(7) 答案：C（3, 4, 2, 3）。

1.2 握手定理：度之和 = 2 × 边数

每条边在它的两个端点上各被数一次，所以：

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无向图：Σ 各顶点度 = 2|E|
有向图：Σ 入度 = Σ 出度 = |E|

2009(7) 考的是无向连通图的性质：

I. 所有顶点的度之和为偶数 → 对（等于 2|E|）
II. 边数大于顶点数减 1 → 错，树就是 |E| = |V| − 1
III. 至少有一个顶点的度为 1 → 错，n ≥ 3 的完全图每个顶点度都是 n−1 ≥ 2

2009(7) 答案：A（只有 I）。

2017(7) 是握手定理的代数应用：16 条边，度为 4 的顶点 3 个、度为 3 的 4 个、其余顶点度都小于 3（即最大为 2），求顶点数至少多少。

设其余顶点数为 x，且都取最大度 2（这样用的顶点最少）：

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4×3 + 3×4 + 2x = 16×2
24 + 2x = 32
x = 4

顶点数 = 3 + 4 + 4 = 11。

2017(7) 答案：B（11）。

（思路：要让顶点数最少，就让剩余的度尽量"摊"到少数顶点上，所以其余顶点的度都取允许的最大值 2。）

1.3 连通性：保证连通需要多少条边

2010(7) ：7 个顶点，在任何情况下都连通，最少需要多少条边？

关键词是"在任何情况下"------不仅现在连通，随便你怎么挪动边都不能把它拆开。做法是：让任意 6 个顶点构成完全图，再把第 7 个顶点接上去。

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C(6,2) = 6×5/2 = 15 条（6 个点两两相连）
再 + 1 条（把第 7 个点连进来）
= 16 条

为什么这样最省？反过想：如果边数 ≤ 15，就可能存在一个"孤立"的划分方式把图拆成两半。

2010(7) 答案：C（16）。

对照 2022(6) ：问 |V| 和 |E| 满足什么条件时图一定不连通。答案是 D（|V| > |E| + 1）。理由：n 个顶点要连通至少需要 n−1 条边，所以 |E| < |V| − 1 时必定不连通，移项就是 |V| > |E| + 1。

2025(6) 是概念判断题，答案 C ：各顶点度都 ≥ 2 的无向图必有回路。其余三项：A 错（有向环里每个顶点入度都是 1，没有入度为 0 的）；B 错（拓扑序列可以多个）；D 错（带权图最短路用 Dijkstra，BFS 只能处理边权都为 1 的情况）。

2011(8) ：答案 C（仅 III）。I 错（回路首尾相接，顶点重复了，不是简单路径）；II 错（稀疏图用邻接表省空间，邻接矩阵是 O(n²)）；III 对（有回路就没有拓扑序列）。

二、存储结构：邻接矩阵、邻接表、邻接多重表

存储	空间	适合场景	求度
邻接矩阵	O(n²)	稠密图	无向看行，有向行+列
邻接表	O(n + e)	稀疏图	有向图出度好求、入度要扫全表
邻接多重表	---	无向图（每条边只存一次）	数该顶点在边链表中出现几次
十字链表	---	有向图	入度出度都好求

2012(5) ：n 个顶点 e 条边、邻接表存储的有向图 ，BFS 的时间复杂度 → O(n + e)。答案 C。记忆法：每个顶点入队一次是 O(n)，每条出边被扫一次是 O(e)。

2016(7) ：拓扑排序用邻接表存储，时间复杂度 → O(n + e)。答案 B。同一个结论。

2024(4) 考的是邻接多重表求度：题目给了无向图的邻接多重表，问顶点 b、d 的度。答案是 B（2, 4）。

方法：邻接多重表里一条边只对应一个边结点 ，这个结点会同时挂在这条边两个端点 的链表上。所以求某个顶点的度，就是数它在所有边链表中出现了几次。

⚠️ 说明一下：这道题的原图在题库里是缺失的，上面给的是官方答案和通用做法，没有还原具体边表。遇到同类题按"数出现次数"的方法做即可。

三、图的遍历：BFS 与 DFS

BFS（广度优先） ：用队列。从一个顶点出发，先访问它所有未访问过的邻接点，再依次从这些邻接点往外扩一层。像水波一圈圈扩散。

DFS（深度优先） ：用栈（或递归）。一条路走到黑，走不动了就回退一步换条路。

3.1 判定一个序列是不是 BFS/DFS 序列

这类题年年考，做法只有一个：拿选项去模拟。

2013(8) 问哪个不是 BFS 序列。判据是 BFS 的一条硬性质：

若 v 在序列中排在 u 前面，且 u、v 之间有边，那么 u 的所有未访问邻接点 必须在 v 的所有未访问邻接点之前或同层 被访问------换句话说，BFS 序列里不会"跳层回退"。

题库里给的答案是 D 。题目原图同样是缺失的，但这类题的通用判据可以用：DFS 序列经常出现"沿一条链一路走到底"的形态，BFS 序列则是一层一层铺开 。选项 D 的 a, b, c, d, h, e, f, g 是典型的一路深入，所以判定它不是 BFS。

2016(6) 同理，问哪个不是 DFS 序列，答案 D 。判据反过来：DFS 走到某个顶点后，下一个必须是它尚未访问的邻接点之一；如果选项里出现了"当前顶点的邻接点还没访问完就跳到别处"，那就不可能是 DFS。

⚠️ 再次提醒：这两道题的原图在题库里都没有，上面给的是官方答案与判定原则，不是逐图推演。

3.2 DFS 序列能有多少个

2015(5) ：有向图 V = {v₀, v₁, v₂, v₃}，边集 <v₀,v₁>, <v₀,v₂>, <v₀,v₃>, <v₁,v₃>，从 v₀ 开始 DFS，可能的不同遍历序列个数是？

边列出清楚：v₀ → v₁、v₀ → v₂、v₀ → v₃、v₁ → v₃。

从 v₀ 出发，第一步可以走 v₁、v₂、v₃ 中的任意一个，逐个展开：

先走 v₁ → v₁ 只能去 v₃ → 访问 v₃ → 回退，还剩 v₂ → v₀,v₁,v₃,v₂
先走 v₂ → v₂ 没有出边 → 回退，剩下 v₁、v₃ 可选
- v₀,v₂,v₁,v₃
- v₀,v₂,v₃,v₁（走 v₃ 时，v₃ 无出边，再走 v₁）
先走 v₃ → 无出边 → 回退，剩下 v₁、v₂
- v₀,v₃,v₁,v₂
- v₀,v₃,v₂,v₁

共 5 种。2015(5) 答案：D。

3.3 DFS 与拓扑排序的关系

2020(6) 是道很有意思的题：把递归 DFS 里"访问顶点"的语句移到退出递归前（也就是后序打印），输出的结果是什么？

答案 B：逆拓扑有序序列。

道理：DFS 递归时，先访问的顶点先被压进栈底。若存在边 <vᵢ, vⱼ>，那么 vᵢ 一定比 vⱼ 先入栈，也就比 vⱼ 后出栈 、后打印。拓扑序列要求 vᵢ 在 vⱼ 之前，反过来打印自然就是逆拓扑。

（顺带记：DFS 逆序打印 = 逆拓扑排序，这是一个常考的等价关系。）

3.4 BFS 也能求最短路径

2023(6) ：无向连通图各边权都是 1，哪个算法一定能求出单源最短路径？答案是 B（仅 III，BFS）。

因为边权都为 1 时，"路径长度"就等于"经过的边数"，而 BFS 天然按层扩展，第一次到达某顶点的层数就是最短距离。Prim 和 Kruskal 求的是最小生成树，不是最短路径------这两个概念每年都有人混。

四、最小生成树：Prim 与 Kruskal

Prim ：从一个顶点开始，每次挑一条连接"已选集合"和"未选顶点"的权值最小的边，把新顶点拉进来。像滚雪球。

Kruskal ：把所有边按权值从小到大排序，依次尝试加入，只要不成环就留下，直到选够 n−1 条。像挑便宜货。

4.1 概念判断题（2012(8)）

Ⅰ. 最小生成树的代价唯一 → 对。树形可以不同（权值相同的边导致），但总代价一定相同。
Ⅱ. 权值最小的边一定出现在所有最小生成树中 → 错。若权值最小的边有多条且构成环，那么某棵生成树里必然有一条被舍弃。
Ⅲ. Prim 从不同顶点出发得到的生成树一定相同 → 错。N 个点构成权值全相等的环时，从不同点出发会得到不同的树。
Ⅳ. Prim 和 Kruskal 得到的树总不相同 → 错。当最小生成树唯一（各边权互不相同）时，两者结果相同，"总不相同"太绝对。

2012(8) 答案：A（仅 Ⅰ）。

4.2 边的选择（2020(7)）

Kruskal 的做法按权值升序扫边，用并查集判断是否成环。官方答案 A ：(b,f)(b,d)(a,e)(c,e)(b,e)。

⚠️ 这道题的原图在题库里是缺失的，这里只给答案与算法步骤，不逐一还原边的权值。

4.3 Prim 与 Kruskal 选边的差别（2015(6)）

题目问：哪条边可能是 Kruskal 第 2 次选中、但不是 Prim（从 V₄ 开始）第 2 次选中 的边。答案 C：(V₂, V₃)。

思路：

Kruskal 第 1 次一定选全局权值最小 的边，第 2 次选次小的------它是全局视角
Prim 从 V₄ 出发，第 1 次只能选与 V₄ 相连的最便宜边 ，第 2 次只能从"已选集合的邻边"里挑------它是局部视角

所以差别就出在"全局最小"和"从 V₄ 出发能碰到的最小"未必是同一条。这类题的通用做法：分别模拟两步，把两条边都列出来再比对。

⚠️ 原图同样缺失，这里给的是官方答案与通用做法。

五、拓扑排序

规则：每次选一个入度为 0 的顶点输出，然后删掉它和它所有的出边；重复直到没有顶点。

判据：如果某一步找不到入度为 0 的顶点，说明图里有环，拓扑排序不存在。

5.1 序列计数（2010(8)）

2010(8) 问不同拓扑序列的个数，答案是 B（3） ：abced、abecd、aebcd。

数个数的通用做法：画搜索树------每一步把当前所有入度为 0 的顶点都列出来，分别分支往下走，最后数叶子数。

⚠️ 原图缺失，这里给的是官方答案的三个序列。

5.2 邻接矩阵判拓扑序列（2012(6)）

2012(6) ：邻接矩阵主对角线以下元素全为 0，问拓扑序列如何？

对角线以下全 0 意味着：只有 i < j 时可能有边 i → j，绝不可能有 j → i------所以图中不可能有环 ，拓扑序列一定存在。

但是否唯一？举反例：3 个顶点的邻接矩阵

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0 1 1
0 0 0
0 0 0

顶点 1 指向 2 和 3，而 2、3 之间没有约束，拓扑序列可以是 1,2,3 也可以是 1,3,2，不唯一。

2012(6) 答案：C（存在，可能不唯一）。

5.3 判定某个序列是不是拓扑序列

做法：按序列顺序逐个检查，每个顶点被输出时，它的前驱必须已经全部输出过（或等价地：把它删掉后，下一个顶点的入度必须为 0）。

2014(7) 答案 D（3,1,4,2,6,5） 。解析的关键句是："删掉 4 之后，顶点 2 和 6 的入度都为 0，此时选不同的顶点会得到不同序列"------所以答案落在以 3,1,4 开头的两项里。

2018(7) 问哪个不是拓扑序列，答案 D（5,2,1,6,3,4） 。判定技巧很实用：看序列前两位 ------最初只有顶点 1 和 5 的入度为 0，所以前两位必然是 1,5 或 5,1。D 的第 2 位是 2，直接排除。

2021(7) 问拓扑序列个数，答案 A（1）------只有一种可能，说明每步都只有一个入度为 0 的顶点。

⚠️ 以上三题原图均缺失，给的是官方答案与判定方法。

六、最短路径：Dijkstra

算法步骤（背下来）：

初始化：源点 dist = 0，其余 dist = ∞，集合 S = {}（已确定最短路径的点）
每趟从未确定 的顶点里选 dist 最小的那个，加入 S
用这个新加入的顶点去松弛它的所有出边（若 dist[u] + w(u,v) < dist[v] 就更新）
重复 n−1 趟

关键性质 ：Dijkstra 不能处理负权边。看到"负权"先想到 Bellman-Ford。

6.1 推演（2012(7)）

题目说前两条最短路径的目标顶点依次是 b、c，问后续依次是什么。官方答案是 C（f, d, e）。

⚠️ 这道题题库里的推演表是 OCR 错位的（e 行和 f 行混在一起），我不照抄它。能确定下来的信息是：五个顶点被确定的顺序是

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b(2)  →  c(3)  →  f(4)  →  d(5)  →  e(6)

距离单调递增，符合 Dijkstra"每趟取当前最小"的性质。

提速技巧（解析里给了，很实用） ：这种"问后续顺序"的题不用完整推演，用排除法更快。

A 说下一个是 d（经由 b，长度 5），但存在经由 c 到 f 的长度 4 的路径 ------ 4 < 5，d 不可能排在 f 前面，A 排除
B 同理（把 e 排在第 3 位），排除
剩下 C、D 的差异在第 4、5 位（d、e 谁先）：把 f 加入 S 后再松弛一次就能分辨

所以考场上这类题的正确打法是：先算前两趟确认自己没理解错，然后用"距离必须单调递增"去砍选项，比完整画表快得多。

6.2 dist 数组（2021(8)）

2021(8) 问"求出第二条最短路径后，dist 中的内容"。答案是 C（21, 3, 14, 6）。

题库给的 dist 变化过程：

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dist[26, 3, ∞, 6]  →  [25, 3, ∞, 6]  →  [21, 3, 14, 6]
                        第 1 条后            第 2 条后

⚠️ 注意这里有个细节容易错：dist 数组里存的是"当前已知的最短距离"，每加入一个新顶点就整体松弛一次，所以第 1 条路径确定后 26 变成 25，第 2 条后 25 变成 21。不是"确定一条才更新一个位置"。

2016(8) 答案 B（5, 2, 3, 6, 4）------从顶点 1 出发依次确定的目标顶点。⚠️ 原图缺失，只给答案。

七、关键路径：AOE 网

AOE 网 （Activity On Edge）：用边表示活动 、顶点表示"事件"（某个活动完成、下个活动可以开始的时刻）的有向无环图。

两个核心量：

ve(i) ：事件 i 的最早发生时间（从源点正向推，取 max）
vl(i) ：事件 i 的最迟发生时间（从汇点反向推，取 min）

活动的两个量：

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活动 a = <i, j>，持续时间为 d

最早开始时间 e(a) = ve(i)
最迟开始时间 l(a) = vl(j) − d
时间余量 = l(a) − e(a)

关键活动 = 时间余量为 0 的活动 ；关键路径 = 全部由关键活动组成的路径 ，也就是从源点到汇点路径长度最长的那条。

7.1 概念（2020(8)）

A. 关键路径是边数最多的路径 → 错，是权值之和最大
B. 关键路径是从原点到汇点路径长度最长的路径 → 对，答案 B
C. 增加任一关键活动时间不会延长工期 → 错，关键路径会变长
D. 缩短任一关键活动时间将会缩短工期 → 错，存在多条关键路径时，只缩短其中一条没用，另一条仍然决定工期

7.2 多关键路径（2013(9)）

2013(9) 的关键结论很实用：题目算出的关键路径有三条------(b,d,c,g)、(b,d,e,h)、(b,f,h)。

要缩短工期，必须让每一条关键路径都变短 。所以正确选项里的活动必须覆盖所有关键路径：

A（c 和 e）→ 覆盖不到 (b,f,h) ✗
B（d 和 e）→ 覆盖不到 (b,f,h) ✗
C（f 和 d）→ d 覆盖前两条，f 覆盖第三条 ✓
D（f 和 h）→ h 只覆盖 (b,d,e,h)、(b,f,h)，漏了 (b,d,c,g) ✗

2013(9) 答案：C。

7.3 时间余量计算（2022(7)）

2022(7) 题库给了完整的 ve / vl 表，这是最值得照着练一遍的题：

结点	1	2	3	4	5	6
ve(i) 最早	0	2	5	8	9	12
vl(i) 最迟	0	4	5	8	11	12

时间余量公式：余量 = vl(终点) − ve(起点) − 活动持续时间

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c: vl(3) − ve(2) − 1 = 5 − 2 − 1 = 2
g: vl(6) − ve(3) − 1 = 12 − 5 − 1 = 6
h: vl(5) − ve(4) − 1 = 11 − 8 − 1 = 2
j: vl(6) − ve(5) − 1 = 12 − 9 − 1 = 2

2022(7) 答案：B（g，余量 6 最大）。

7.4 最早/最迟开始时间（2019(5)）

2019(5) 问活动 d 的最早和最迟开始时间，答案 C（12 和 14）。

题库给的推演：d 必须等 a 和 b 都结束才能开始，所以最早开始 = 12；关键路径总长 27，结点 4 的最迟开始是 27 − 6 = 21，于是 d 的最迟开始 = 21 − 7 = 14。

⚠️ 原图缺失，这里给的是官方答案与计算口径。

八、用有向无环图表示表达式（2019(6)）

2019(6) ：表达式 (x+y)*((x+y)/x) 用有向无环图描述，最少需要几个顶点？答案 A（5）。

做法：

先把它画成一棵二叉树 ：根是 *，左子树 x+y，右子树 (x+y)/x
数一下不同的东西：*、+、/、x、y → 重头戏是 (x+y) 出现了两次，可以共用同一个子树
同样两个 x 也能共用

去重之后顶点就是：*、+（同时服务左右两边）、/、x、y ------ 共 5 个。

（如果展开成树，那棵二叉树有 9 个顶点；DAG 的价值就在"公共子表达式只存一份"。）

九、时间复杂度汇总

算法	邻接矩阵	邻接表
BFS / DFS 遍历	O(n²)	O(n + e)
拓扑排序	O(n²)	O(n + e)
Prim	O(n²)	O(n log n)（堆优化）
Kruskal	---	O(e log e)（排序占主导）
Dijkstra	O(n²)	O(n log n)（堆优化）

只需记牢两条（2012(5)、2016(7) 都考过）：

邻接表下，BFS / DFS / 拓扑排序都是 O(n + e)
邻接矩阵下是 O(n²)（因为要扫整个矩阵找邻接点）

十、速查表（文末收藏版）

度与边

项目	结论
无向图度	邻接矩阵该行非零个数
有向图度	出度（行）+ 入度（列）
握手定理	Σ度 = 2
n 点保证连通	C(n−1, 2) + 1 条边
一定不连通	\|V\| > \|E\| + 1

遍历与算法

项目	结论
BFS	队列，一层层铺开；边权全为 1 时可求最短路
DFS	栈/递归，一条路走到底
DFS 逆序打印	= 逆拓扑序列
邻接表复杂度	BFS / DFS / 拓扑都是 O(n + e)
Prim	从一点滚雪球，选"已选集合↔未选点"的最便宜边
Kruskal	边按权排序，不成环就加，选够 n−1 条
最小生成树	代价唯一，树形可能不唯一
Dijkstra	每趟选 dist 最小加入 S 再松弛；不能处理负权
拓扑排序	每步选入度 0 并删其出边；卡住 = 有环
关键路径	权值和最大的路径；多条时必须全部缩短才有效
时间余量	vl(终点) − ve(起点) − 活动时长

真题考频（2009---2025，共 31 道）

考点	年份（题号）
度的计算 / 握手定理	2009(7)、2013(7)、2017(7)
连通性与边数	2010(7)、2022(6)、2025(6)、2011(8)
存储结构与复杂度	2012(5)、2016(7)、2024(4)
BFS / DFS 遍历	2013(8)、2015(5)、2016(6)、2020(6)、2023(6)
最小生成树	2012(8)、2015(6)、2020(7)、2023(6)
拓扑排序	2010(8)、2012(6)、2014(7)、2018(7)、2021(7)
最短路径	2012(7)、2016(8)、2021(8)
关键路径 AOE	2013(9)、2019(5)、2020(8)、2022(7)
DAG 表示表达式	2019(6)

六个最容易错的地方

邻接矩阵先看成不对称------不对称就是有向图，度要行 + 列
Prim / Kruskal 求的是最小生成树，不是最短路径
关键路径是"权值和最大"不是"边数最多"
多条关键路径时，只缩短一条不能缩短工期
Dijkstra 每趟确定一个顶点后要整体松弛 dist，不是只改一个位置
BFS 序列不回退、DFS 序列不跳层------判定题就靠这两句话

⚠️ 关于本篇的真题说明

图论题大量依赖原图，而 2010(8)、2013(8)、2014(7)、2015(6)、2016(6)、2016(8)、2018(7)、2019(5)、2020(7)、2021(7)、2021(8)、2022(7)、2024(4) 等题目的原图在题库中缺失或为 OCR 乱码 。这些题本文只提供官方答案与通用判定方法，不做图形还原------考场上请以试卷上的图为准，方法部分可以直接复用。