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[二叉树 Binary Tree](#二叉树 Binary Tree)
二叉树 Binary Tree
二叉树是应用的最广泛的一种树形结构
二叉树的定义
- 由n个结点组成的有限集合
- n=0时，为空二叉树
- n>0时，二叉树由根+互不相交的左子树 和右子树组成（左右子树也是二叉树）
二叉树和度为二的树
|------------|-------------|
| 二叉树 | 度为二的树 |
| 所有结点都可以小于2 | 至少有一个节点的度为2 |
| 有序树，严格区分左右 | 无序树，不区分左右 |
二叉树≠度为2的树≠二叉树
二叉树的基本形态
二叉树的基本形态有五个：空二叉树，根、根+左子树、根+右子树、根+左右子树
任何二叉树都可以由以上五种复合而来
特殊的二叉树
满二叉树
满二叉树就是最"丰满"的二叉树
特征：
所有分支节点都有两个子节点
所有叶节点都在最后一层
或者
满二叉树的结点的度仅有0或2两种情况
完全二叉树
除最后一层外其他层数的结点必须是满的 ；且最后一层可以不满，但必须从左到右连续排列
若最后一层满了，那这颗完全二叉树也是一颗满二叉树
二叉树的性质
结点数之间的关系
设
度为0的结点数 为：
度为1的结点数 为：
度为2的结点数 为：
该二叉树的结点数：
根据树的结点数的性质，结点数n=所有结点度数之和+1
联立：
二叉树每层最多结点数
根据前面的"m叉树每层最多结点数"为：
令
，得：
再记二叉树的层数为
同理，我们可以进一步得出二叉树最多有多少个结点
根据前面的，h层的m叉树最多有
令
h层的二叉树最多有
当二叉树为满二叉树时，满二叉树有
完全二叉树的性质
编号性质
首先我们对于一个完全二叉树进行编号。编号的规则是：从上到下，从左到右依次对结点编号为
一、
设对第i个结点，其左孩子的编号为：
二、
最后一个分支节点（并非仅指整棵树的末分支节点）的编号为：整个树的编号（或者叫与它相对应的最后一个结点的编号）除以2，即：
既然是最后一个分支节点，那意思等价为：这个结点之后（不包含自己）的所有结点都是叶节点
即：满足
度为1的性质
一个完全二叉树，度为1的结点有且仅有1个或0个
叶节点只可能出现在最后两层
完全二叉树叶节点只可能出现在最后两层
具有n个结点的完全二叉树的高度
具有n个结点的完全二叉树的高度**
等价：n个结点的二叉树的最小高度
我们设这一完全二叉树的高度为h
情况一：明显，不能存在，这说明要想使树的高度为h，末层就必须至少存在一个结点，那么对于上面
层的结点个数为：
，再加上第h层的这一个，则有：
情况二：明显，不能存在，这说明想使树的高度为h，末层的结点最多填满而不能继续开辟下一层。那么这时这颗完全二叉树就是一颗满二叉树，则总结点数最多为：
综上有： ①
解法一：将①上式变形为：
进一步：
两边取对数得：
即：
向上取整为：
解法二：将①式变形为：
两边取对数得：
即：
向下取整为：
根据取整函数的平移性，得：