考研高数综合题｜二重积分（平移极坐标）
题目
计算二重积分 ∬D(x−y)dxdy\iint_D (x-y)dxdy∬D(x−y)dxdy，其中 D={(x,y)∣(x−1)2+(y−1)2≤2, y≥x}D=\{(x,y)\big|(x-1)^2+(y-1)^2\le 2,\ y\ge x\}D={(x,y) (x−1)2+(y−1)2≤2, y≥x}
核心思路
结论1：积分区域是圆心不在原点的圆 ：圆心(1,1)(1,1)(1,1)，半径r=2r=\sqrt{2}r=2 ，用平移极坐标 ，令
x=1+rcosθ,y=1+rsinθx=1+r\cos\theta,\quad y=1+r\sin\thetax=1+rcosθ,y=1+rsinθ
面积元素：dxdy=r drdθdxdy = r\,dr d\thetadxdy=rdrdθ。
结论2：条件 y≥xy\ge xy≥x，代入极坐标，确定角度范围：π4≤θ≤5π4\boldsymbol{\dfrac{\pi}{4}\le \theta \le \dfrac{5\pi}{4}}4π≤θ≤45π；半径范围 0≤r≤20\le r\le \sqrt{2}0≤r≤2 。
结论3：被积函数拆分代入，化简后积分可以分离变量，拆成两个定积分相乘，大幅简化计算。
步骤1：平移极坐标替换
x−y=(1+rcosθ)−(1+rsinθ)=r(cosθ−sinθ) \begin{align*} x-y &= (1+r\cos\theta)-(1+r\sin\theta) \\ &= r(\cos\theta-\sin\theta) \end{align*} x−y=(1+rcosθ)−(1+rsinθ)=r(cosθ−sinθ)
dxdy=r drdθdxdy = r\,dr d\thetadxdy=rdrdθ
所以被积表达式：
(x−y)dxdy=r(cosθ−sinθ)⋅rdrdθ=(cosθ−sinθ)⋅r2drdθ(x-y)dxdy = r(\cos\theta-\sin\theta)\cdot r drd\theta = (\cos\theta-\sin\theta)\cdot r^2 drd\theta(x−y)dxdy=r(cosθ−sinθ)⋅rdrdθ=(cosθ−sinθ)⋅r2drdθ
步骤2：写出累次积分
∬D(x−y)dxdy=∫π45π4dθ∫02(cosθ−sinθ)⋅r2dr \iint_D (x-y)dxdy =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} (\cos\theta-\sin\theta)\cdot r^2 dr ∬D(x−y)dxdy=∫4π45πdθ∫02 (cosθ−sinθ)⋅r2dr
因为被积函数可以拆成只含θ\thetaθ和只含rrr两部分，积分可以分离：
=∫π45π4(cosθ−sinθ) dθ⋅∫02r2dr =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta \quad \cdot \quad \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 dr =∫4π45π(cosθ−sinθ)dθ⋅∫02 r2dr
步骤3：分别计算两个定积分
① 角度积分
∫π45π4(cosθ−sinθ)dθ=sinθ+cosθπ45π4=(sin5π4+cos5π4)−(sinπ4+cosπ4)=(−22−22)−(22+22)=−2−2=−22 \begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\cos\theta-\sin\theta)d\theta &=\big\\sin\\theta+\\cos\\theta\\big_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \\ &=\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)-\left(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\right) \\ &=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= -\sqrt{2}-\sqrt{2} = -2\sqrt{2} \end{align*} ∫4π45π(cosθ−sinθ)dθ=sinθ+cosθ4π45π=(sin45π+cos45π)−(sin4π+cos4π)=(−22 −22 )−(22 +22 )=−2 −2 =−22
② 径向积分
∫02r2dr=13r302=13⋅(2)3=223 \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 dr =\left\\frac13 r\^3\\right_0^{\sqrt{2}} =\frac13\cdot (\sqrt{2})^3=\frac{2\sqrt{2}}{3} ∫02 r2dr=31r302 =31⋅(2 )3=322
步骤4：相乘得到结果
(−22)×223=−4×23=−83 (-2\sqrt{2})\times \frac{2\sqrt{2}}{3} =\frac{-4\times 2}{3}=-\frac{8}{3} (−22 )×322 =3−4×2=−38
易错点总结
- 平移极坐标：圆心(a,b)(a,b)(a,b)，公式是x=a+rcosθ, y=b+rsinθx=a+r\cos\theta,\ y=b+r\sin\thetax=a+rcosθ, y=b+rsinθ，不是原点极坐标，不要漏掉常数1。
- y≥xy\ge xy≥x对应的角度：直线y=xy=xy=x倾斜角π4\frac{\pi}{4}4π，在圆内满足y≥xy\ge xy≥x是从π4\frac{\pi}{4}4π逆时针转到5π4\frac{5\pi}{4}45π。
- 面积元素永远带rrr，平移极坐标的dxdy=rdrdθdxdy=r drd\thetadxdy=rdrdθ不变，很多人容易丢这个rrr。
- 分离积分前提：被积函数能拆成f(θ)⋅g(r)f(\theta)\cdot g(r)f(θ)⋅g(r)，同时积分上下限全是常数，才可以拆成两个积分相乘。