【2023-01 OM】利用深度学习算法融合异质观测实现海洋场降尺度

利用深度学习算法融合异质观测实现海洋场降尺度

项目	内容
题目	Downscaling of ocean fields by fusion of heterogeneous observations using Deep Learning algorithms
中文题目	利用深度学习算法融合异质观测实现海洋场降尺度
作者	Sylvie Thiria、Charles Sorror、Theo Archambault、Anastase Charantonis、Dominique Bereziat、Carlos Mejia、Jean-Marc Molines、Michel Crépon
单位	a. IPSL-LOCEAN, SU/IRD/CNRS/MNHN，巴黎，法国；b. UVSQ，凡尔赛，法国；c. 格勒诺布尔-阿尔卑斯大学 CNRS/IRD/Grenoble INP/IGE，格勒诺布尔，法国；d. 索邦大学 CNRS/LIP6，巴黎，法国；e. ENSIIE，埃夫里，法国
期刊	Ocean Modelling 182 (2023) 102174
DOI	10.1016/j.ocemod.2023.102174
收稿/修回/接受	2021-06-30 收稿；2023-01-11 修回；2023-01-25 接受；2023-01-31 在线发表
关键词	降尺度（Downscaling）；机器学习（Machine Learning）；高度计（Altimeter）；海表面温度（SST）；海流（Ocean currents）
数据与代码	数据集 DOI: 10.14768/c3c33afe-2a37-42e1-bb29-21428387f658；代码 GitLab: gitlab.in2p3.fr/carlos.mejia/resacpubli_ocemod/-/releases/v1.0r

摘要

我们提出一种深度学习方法，通过将低分辨率地球物理场与高分辨率数据相融合来对其进行降尺度。降尺度借助一个卷积神经网络（CNN）集合完成，其预测值取 20 个 CNN 输出的平均值。学术性实验在墨西哥湾流区域由 NATL60 模式输出给出的模拟海洋数据上开展。以低分辨率（120 × 120 km）海表面高度（SSH）数据和中尺度分辨率（12 × 12 km）海表面温度（SST）数据为强迫的 CNN，使我们以良好精度获得了中尺度分辨率的海表面流。敏感性试验表明，即使向 SSH 数据中加入噪声，考虑 SST 仍能显著提高高分辨率速度反演的精度。CNN 捕捉到了模拟 SST 平流的输运方程中所蕴含的速度信息，从而大幅提升了 SSH 所能提供的海流分辨率。在本工作中，我们仅考虑空间降尺度，并假定 SSH 与 SST 均为逐日观测。我们所发展的方法具有通用性，可用于通过与大范围高分辨率场融合来提高各类大尺度场的分辨率。

译注：摘要中原文作 "sea surface high (SSH)"，按上下文及全文用法应为 "sea surface height"，即海表面高度。

关键词：降尺度；机器学习；高度计；海表面温度；海流

1 引言

数十年来，种类繁多的卫星传感器使我们关于地球状态及其潜在演变的知识得到了极大改进。这些传感器以各不相同的时空采样策略观测大量地球物理参数。本研究的目的是展示多个参数的组合如何相互增强，从而获得分辨率更高、精度更好的地球物理观测场。该问题出现在地球物理科学的许多方面，例如大气科学、海洋学、水文学、流体力学、地质学与天体物理学。因此我们决定开展一项学术性研究，使其能惠及广泛的地球物理参数观测。在此背景下，我们选择把精力集中在通过将观测相互结合来实现降尺度的算法层面。

在本文中，我们将研究聚焦于卫星对海流的观测。数十年来，大量装备各类传感器的卫星一直在观测海洋，提供了海洋环流等动力参数的全球覆盖：海表面地形（下文记作 SSH）来自 Topex、Poseidon 以及后来的 Jason 高度计；海表面温度（下文记作 SST）来自搭载于气象卫星上的高分辨率 AVHRR 辐射计；海洋生物生产力来自多光谱水色传感器（SeaWiFS、MERIS、MODIS、VIIRS）；海洋盐度来自 SMOS 与 Aquarius。这些卫星传感器有助于更好地理解海洋及其对全球变暖的响应变化（Cazenave et al., 2018）。

海流在热量的纬向输运中起着重要作用，并在从海盆尺度到亚中尺度的宽广尺度范围内平流并组织盐度、营养盐、浮游植物等海洋属性（Sasaki et al., 2014; McWilliams, 2016; Levy et al., 2012）。

利用卫星观测（数公里尺度）反演高分辨率海流，已被大量研究尝试，这些研究将 SSH 与 SST 观测相结合（Rio et al., 2016; Rio and Santoleri, 2018; Nardelli et al., 2022），或者处理 SST 图像序列（Isern-Fontanet et al., 2006; Bowen et al., 2002; Vigan et al., 2000; Kelly et al., 1999; Emery et al., 1986）。另一些研究则利用海洋表层的固有物理性质，例如位涡守恒（Ubelmann et al., 2015）。最近，George et al. (2021) 与 Manucharyan et al. (2021) 表明，基于准地转湍流的理论考量可以改进 SSH 插值，并给出了基于合理物理论证的线索，用于改善由 SST 数据重建中尺度 SSH。

我们在此提出一种深度学习方法（DL），通过融合低分辨率 SSH 与高分辨率 SST 来获取高分辨率海流。该问题非常复杂，因为 SSH 沿卫星轨迹测量，轨迹间距约一百公里，重复采样周期约 10 天（Ballarotta et al., 2019）；而 SST 以 4 km 分辨率的逐日二维图像形式测得。这两种不同分辨率观测的关联，意味着需要求解一个带时空约束的困难反问题，正如四维变分（4D Var）资料同化所处理的那样。在本文中，我们对观测系统作了过度简化，只关注空间降尺度，并假定 SSH 与 SST 测量均为不同分辨率的逐日网格化观测。

由于缺乏高分辨率海洋参数观测，同时也为了简化不同分辨率下的数据处理，我们使用了模拟数据场。SSH 与 SST 是一个极高分辨率海洋数值模式的输出，因此二者通过海洋模式所考虑、并将为我们的方法所"学习"的已知物理定律相互联系。

我们选择在墨西哥湾流区域（35°N，55°W）开展研究，那里海流及与之相关的中尺度动力特征都很显著。我们使用高分辨率海洋模式 NATL60 的输出，其纬向水平分辨率为 1/60°。这些模拟观测提供了分辨率高达 2 km 的 SSH、SST 与流速，远优于由观测导出的业务化产品，例如 Aviso 提供的产品（https://www.aviso.altimetry.fr/en/data.html）。

考虑到高分辨率数据场与研究区域面积很大，我们决定采用深度学习算法------这类方法适合求解涉及超大数据集的问题。人工智能的近期发展，加上高分辨率气候模拟等所提供的大型数据集的可获得性以及算力的提升，催生了"学习"地球物理现象隐含结构的信息处理能力。过去十年间，统计与机器学习方法极大地促进了这类多维数据集的研究。正如 2018 年以来文献数量增长所显示的，作为多层感知机扩展的卷积神经网络（CNN）（Le Cun et al., 1990, 2015; Simard et al., 2003; Goodfellow et al., 2016）已证明其能力：能够挖掘数据的时空结构、发现模式，并高效融合异质信息源（Reichstein et al., 2019; Rolnick et al., 2019）。此外，用神经网络对复杂地球物理场进行图像分析，在过去十年中已成为一条极富产出的研究路线，并带来了有实际价值的环境应用（Egmont-Petersen et al., 2002; He et al., 2016; Wang et al., 2019; Martinez et al., 2020）。

近来已发展出特定的神经架构，使我们可以获得精确求解偏微分方程的数值格式（Ruthotto and Haber, 2019; Rousseau et al., 2019）。这些神经架构可有效用于表示通常由数值模式所表示的动力学现象。因此，挑战在于把数值和/或统计分析所提供的先验知识引入这些架构，以提升其求解特定环境问题的性能（Ducournau and Fablet, 2018; Fablet et al., 2018; de Bézenac et al., 2019）。新的工具正被提供给科学界，帮助他们实现恰当的架构以开展研究：例如，近期论文提出在深度学习框架中嵌入自动微分工具，从而为资料同化引入端到端的神经网络架构（Pannekoucke and Fablet, 2020）。

此外，若干采用机器学习（下文记作 ML）方法的研究已成功用于海洋表层变量的建模，显示了这些方法的潜在能力。例子包括：用卷积神经网络由卫星观测重建海表面温度（Barth et al., 2020）；用数据驱动方法（Lguensat et al., 2019）和 CNN（Manucharyan et al., 2021; George et al., 2021）插值海平面异常；用于气候建模的海洋 ML 模拟（Sonnewald and Lguensat, 2021）。

本文旨在通过一个学术性算例，展示 ML 对 SSH 及其关联流场进行降尺度的能力。对该问题地球物理性质的分析、ML 学习，以及对重建场物理一致性的评估，均使用一个高分辨率数值模式输出来完成。全文结构如下：第 1 节描述问题；第 2 节介绍数据；第 3 节描述 ML 算法；第 4 节展示方法性能并分析结果；第 5 节讨论结果；第 6 节给出结论。

2 数据

本研究的目的是开发一个用于地球物理场降尺度的通用机器学习原型。为验证此类研究的可行性，我们使用了物理特征与海洋卫星传感器所提供数据相似的学术数据集。用于构建深度学习算法的模拟 SSH 与 SST 数据，使我们能够获得记录完备、无缺测、且可控制不同分辨率的海洋数据集。我们使用 NATL60 模式提供的 SST、SSH 与水平速度场（U, V）。NATL60 是一个覆盖北大西洋 26°N 至 66°N 的极高分辨率模式（图 1），基于 NEMO 3.6 代码。在我们使用的版本中未包含潮汐。水平网格取自 ORCA 系列的全球三极网格（Madec and Imbard, 1996），分辨率为 1/60°（在赤道处）。

水平网格间距从 26°N 处的 1.6 km 变化到 65°N 处的 0.9 km。该网格的设计使模式能显式模拟 SWOT 测高任务将要观测到的运动尺度。实际上，模式的有效分辨率约为 10--15 km 波长。分辨率向极地增大，在湾流所在纬度约为 1 × 1 km。垂直方向使用 300 层（近表层厚度 1 m，最深处达 50 m），以较好地再现垂向速度------它决定了垂向交换以及与海底地形的相互作用。大气强迫采用 DFS5.2（Drakkar Forcing Set 5.2，见 Dussin et al., 2016）。初始条件取自 1/12° MERCATOR 海洋再分析。NATL60 的输出已在 Ajayi et al. (2020) 中分析。在本研究中，我们研究湾流区域（26°N--45°N；40°W--65°W，图 1），这是北大西洋能量最强的区域。该前沿模拟在 14,000 个核上耗费 16 M cpuH，属于 GENCI 2016 大挑战计划。

由于我们聚焦于由 SSH 反演的表层流，为避开 Ekman 表层漂移，我们取 15 m 深度处的水平流。我们处理了 4 个变量（SSH、SST、U、V）的 366 幅逐日图像，覆盖 2012 年 10 月 1 日至 2013 年 10 月 1 日，用于训练（下文记作数据集 NATL-12）；另取 2008 年大气强迫下的四个月，其中一个月用于验证（12 月，记作 NATL-08V），三个月用于检验（3 月、6 月、9 月，记作 NATL-08T）。

每幅图像对每个变量由 1296 × 1377 像素组成，一个像素约为 1.5 × 1.5 km 的方格。我们将该数据集记作 R01。在图 2 中，我们给出了研究时段 366 幅图像上每个像素对应的平均局地动能与平均局地拟能（其定义见附录 A）。可以看到该区域可划分为两部分：35°N 以北包含湾流的区域能量很强（占总能量的 86%）；35°N 以南能量较弱（占总动能的 15%），对应一个布满小涡旋的再循环区。两个区域的特征统计量见表 1。注意北部区域的平均流具有相当大的东向分量（3.8 cm s⁻¹），对应湾流，而其他流速分量则小得多。拟能同样是北部区域远强于南部（35°N 以南）。这促使我们分别评估方法在两个区域内的性能。

图 1. 研究区域（红框）与背景所示的 2012 年 10 月 1 日 NATL60 海表面高度。

业务化卫星高度计（如 Topex、Poseidon、Jason）沿轨迹测量 SSH，赤道处轨迹间距约 315 km（Ballarotta et al., 2019; Dufau et al., 2016），周期为 10 天。随后由 SSH 梯度按地转关系反演海流。由于大多数高度计观测是不同高度计测量的组合，且研究区域位于中纬度（35°N），高度计数据在 10 天周期上的有效分辨率约为一百公里量级（Ballarotta et al., 2019, 图 2 与图 7）。此外，借助 NOAA 极轨卫星上的 AVHRR 仪器，可获得 1.1 km 与 4.4 km 分辨率、逐日频次的海表面温度。

SSH 与 SST 的融合涉及两类约束：空间约束与时间约束，二者都具有内在的建模挑战。本文只研究空间降尺度，假定 SSH 与 SST 测量均为逐日频次。因此，我们从 NATL60 模式输出出发，模拟了不同空间分辨率的卫星观测。我们为四个变量按 3 × 3 的倍数定义了五个不同分辨率级别，构成 5 个各含 366 幅逐日图像的数据集（R01、R03、R09、R27、R81）。每一级都由上一级分辨率计算而来，从最高分辨率 R01 开始，到最低分辨率 R81 结束。每一步中，图像通过在 3 × 3 窗口内对像素取平均而退化。表 2 给出各分辨率下每幅图像的像素数与相应像素尺寸。

表 1. NATL-12 数据集中各变量在北部与南部区域的特征统计值。

变量	最小值	最大值	均值	标准差	单位
SSH 北部	−0.67	1.36	0.36	0.30	m
SSH 南部	0.34	0.70	0.51	0.06	m
SST 北部	−2.26	28.92	20.80	4.36	°C
SST 南部	21.11	29.03	24.84	1.98	°C
U 北部	−2.23	2.60	0.04	0.30	m s⁻¹
U 南部	−0.47	0.68	−0.01	0.08	m s⁻¹
V 北部	−2.50	2.34	−0.01	0.27	m s⁻¹
V 南部	−0.34	0.44	−0.00	0.05	m s⁻¹

表 2. 各分辨率尺度的特征（网格中心约在 35°N，53°W）。

数据集	像素数	分辨率的百分之一度	网格中心处分辨率（km）
R01	1296 × 1377	1.3 × 1.7	1.5 × 1.5
R03	432 × 459	4 × 5	4.5 × 4.5
R09	144 × 153	12 × 15	13 × 14
R27	48 × 51	36 × 45	40 × 41
R81	16 × 17	108 × 135	120 × 122

基于上述考虑，我们将 120 × 122 km 分辨率（下文记作 R81）的模拟网格化 SSH 观测，与 13 × 14 km 分辨率（下文记作 R09）的 SST 测量相结合，并在 R09 分辨率上估计海流------该分辨率下地转近似仍然成立。在本工作中，我们着手用专门的机器学习算法，统计地学习海流与 SST 之间已有的关系，以改进由 SSH 反演的海流。

图 3 给出了 NATL60 模式在 5 个不同分辨率下模拟的 2012 年 10 月 1 日的 SST 与 SSH。该图清楚显示，随着分辨率降低，地球物理信息的退化越来越明显。SSH 可视为海流的流函数，对大尺度运动有良好近似（即海流沿流函数的等值线流动）。我们还注意到 SSH 与 SST 的型态具有相似性，这意味着SST 场中包含海流信息。下文我们将每个变量以其符号（SSH、SST、U、V）后接分辨率（R81、R27、R09、R03、R01）来标记，两个符号之间用下划线分隔；例如 SSH_R81 表示 R81 分辨率下的 SSH 图像。

图 2. NATL-12 数据集在研究时段（2012-11-01 至 2013-11-01）内的逐日平均能量与拟能。

图 4 给出四个变量在 3 套数据集中的分布。除验证集（中间一行）的 SST 之外，各变量在每套数据中的分布相似。该图使我们能够估计这些变量的变率范围，这是评估我们 DL 降尺度算法性能的重要信息。

下面介绍我们为从低分辨率 SSH 与高分辨率 SST 场获取高分辨率 SSH 与流场（U, V）而开发的神经方法 RESAC（REsolution by Stages of Altimetry and Currents，即"按阶段的高度计与海流分辨率提升"）。我们用逐日图像训练 RESAC，以获得丰富多样的海洋状态，并检验它们如何被估计。

图 3. 2012 年 10 月 1 日四个变量（SSH、SST、U、V 按列）的图像。各行对应 5 个分辨率，从高分辨率（上）到低分辨率（下）。括号内给出以 km 计的像素分辨率。

图 4. 四个变量（SSH、SST、U、V 按列）在 3 套数据集（训练、验证、检验，分别在第 1、2、3 行）中的分布。

3 RESAC 方法

3.1 方法原理

从物理角度看，RESAC 方法沿用了 Rio et al. (2016) 的思路：他们通过反演热量守恒方程从模拟数据中反演速度场，证明了从 SST 图像中提取流信息是可行的。该方法已由 Rio and Santoleri (2018) 成功应用于真实卫星观测，以改进高度计地转速度。在本研究中，我们的目标是利用高分辨率卫星 SST 改进由低分辨率卫星高度计观测（SSH）给出的海流场的分辨率，并且不施加地转近似。

事实上，NEMO-NATL60 方程以很好的近似模拟了 SST 与 SSH 等海洋表层参数，并考虑了二者之间明确定义的关系。海洋由原始方程描述，它们是 Navier--Stokes 方程的近似。表层由接近浅水方程的方程组建模，其动量方程形式为：

D/Dt U − f × U = −g∇SSH + D_U + F_U　　　　(1)

以及 SST 平流方程：

∂SST/∂t + ∇(SST · U) = D_SST + F_SST　　　　(2)

其中 U 为速度矢量，f 为指向上方的科氏参数矢量，D_U 与 D_SST 分别为动量方程与温度方程中小尺度物理的参数化，F_U 与 F_SST 为海洋表层的表面与深层强迫项。

当两个变量（SSH 与 SST）具有相同分辨率时，它们之间的相互作用易于建立。但当分辨率不同时（如实际卫星观测中的低分辨率 SSH、高分辨率 SST），联系二者的关系要复杂得多，并且可能出现偏差，原因是在傅里叶空间中，相互作用优先发生在彼此接近的傅里叶分量之间（Merilees and Warn, 1975; Maltrud and Vallis, 1993）。其核心思想是 Kolmogorov 在描述不可压缩流体湍流时提出的相互作用的局地性：只有量级相近的涡旋之间才发生强烈相互作用（Zakharov et al., 2012）。此外，在低分辨率下，式 (1) 由地转关系近似（第 2、3 项），而在高分辨率下必须加入第 1 项中不依赖时间的部分（解释见附录 D）。基于这些考虑，我们训练了一个由若干相连模块构成的 CNN 架构，使每个模块把 SSH 场降尺度到接近 SST 场的分辨率。最终我们获得了与高分辨率 SST 场同分辨率的 SSH 场及关联速度场。这一模块化 CNN 构成了 RESAC 模型的框架，用于从低分辨率 SSH 与高分辨率 SST 反演高分辨率海流。

这一过程旨在学习观测（此处为 NATL60 输出）中所蕴含的物理定律。本研究可归入"物理约束场（physics-informed field）"一类，尽管我们的方法有许多不同之处。我们寻求对用于确定流矢量 U 的分量 U 与 V 的各微分方程（式 (1)、(2)）的精确近似。ML 算法对嵌入 NATL60 的 SSH、SST、U、V 图像中的方程组合进行建模。这些图像考虑了多种现象，例如动量与 SST 平流、与下层的相互作用（见附录 D），其关系由图 5 所示的不同分辨率之间已有的一致性来引导。在近期的"物理约束"研究中，专门的模拟数值格式被用神经方法近似（Huang et al., 2021; Sonnewald and Lguensat, 2021）。

3.2 RESAC 架构

由于 NATL60 海洋模式在每个分辨率上都以良好精度表示了 SSH 与 SST 之间的联系，我们在 NATL-12 数据集上训练 RESAC 的 CNN。在训练阶段，RESAC 的策略是逐阶段地开展降尺度，以避免上文提到的 SSH 与 SST 场中相距较远的傅里叶分量之间的寄生相互作用。因此 RESAC 由 3 个阶段组成，每个阶段由一个特定的 CNN 构成，给出 SSH、U、V 的中间或最终估计。RESAC 训练的流程图见图 5。跨阶段推进需要估计中间分辨率，直至获得最终降尺度输出。这通过两个中间代价函数（图 5 中的 J1 与 J2）完成，它们控制中间的 SSH 分辨率（SSH_R27 与 SSH_R09）。最终代价函数（图 5 中的 J3u 与 J3v）控制 U、V 的最终输出（U_R09 与 V_R09，见图 5）。最小化目标取四个中间代价函数之和 J = J1 + J2 + J3u + J3v，每个都最小化 CNN 估计值（y_i^Est）与 NATL60 真值（y_i^Natl）之间均方误差（MSE）之和，求和遍及所有图像的全部有效像素 i。我们将实现由 SSH_R81 到 SSH_R27（借助 SST_R27）降尺度建模的架构记作 CNN_R81toR27，相应地由 SSH_R27 到 SSH_R09（借助 SST_R09）的记作 CNN_R27toR09；将由 SSH_R09 与 SST_R09 建模得到 U_R09 与 V_R09 的 CNN 架构记作 CNN_UV_R09（图 5）。前两个阶段模拟预报变量所提供的信息流，第三阶段模拟 NATL60 海洋模式中把 SSH、SST 与速度联系起来的物理过程。

每个 CNN 都考虑了 SSH 某一给定分辨率与下一级（SSH、SST）分辨率之间（阶段 1 与阶段 2）、以及同一分辨率下 SSH 与速度之间的已有相关。

学习过程按以下方式进行。一旦确定 CNN 架构，RESAC 的学习阶段便从零开始，通过随机初始化 CNN 权重来进行。这些 CNN 的权重通过同时最小化控制相邻阶段过渡的 J 一次性估计得到。CNN 的具体规格，诸如每个阶段的卷积层数、特征图数量或滤波器尺寸，见附录 B。它们在各阶段经启发式优化，CNN 规格是分别用各自的输入、输出、代价函数与学习集确定的。在图 5 中，UP3x3 表示上采样过程，它把图像尺寸扩大 3 × 3 倍，以到达下一阶段对应的更高分辨率。在 RESAC 中，我们采用了双线性上采样，上采样比为 3 × 3。

需要注意的是，CNN_R81toR27 架构（图 5 第一阶段）所包含的权重数多于另外两个（分别对应第二阶段与第三阶段的 CNN_R27toR09 与 CNN_UV_R09，见图 5）。这可以这样解释：NATL60 的 SSH 与 SST 场相关性较弱；当这两个场通过 CNN_R81toR27 发生相互作用之后（图 5），这种相关性在中间分辨率上增强，因此第一阶段必须完成比另两个 CNN 更困难的任务，自然需要更多的权重。

完整的学习过程（学习、验证、代价函数、学习步长、超参数评估等）在附录 B 中详述。训练集、验证集与检验集完全去相关（见第 2 节）。卷积层数、滤波器尺寸与数量、激活函数与损失函数均依据前期实验选择；学习率调度与训练轮数在验证集上凭经验调节（见附录 B）。

图 5. RESAC 训练阶段的流程图：RESAC 模型的输入为绿色，用于控制 RESAC 权重的观测为蓝色，双箭头表示四个代价函数 J1、J2、J3u、J3v。UP3x3 表示把输入尺寸扩大 3 × 3 倍的上采样过程，以到达下一幅图像的更高分辨率。在学习阶段，Ĥ 分别为 R27 与 R09 分辨率下估计的 SSH，Û 与 V̂ 为估计的海洋速度值。所有 CNN 的权重通过同时最小化四个代价函数一次性估计得到。在业务化阶段，RESAC 以 SSH_R81、SST_R27 与 SST_R09（绿色框）为强迫。

训练结束时，当 RESAC 的全部权重确定后，即可用于反演高分辨率海流。在反演阶段，只有图 5 中绿色框内的变量（SSH_R81、SST_R27、SST_R09）被输入 RESAC，以估计海流（U_R09 与 V_R09）。RESAC 允许把 SSH_R81 逐步降尺度为 SSH_R09、U_R09 与 V_R09，该过程由中间与高分辨率 SST 数据（SST_R27 与 SST_R09）控制。

图 6 给出业务化阶段 RESAC 模型的输入与最终输出。

图 6. 反演阶段：RESAC 的输入与输出。输入：SSH_R81 为低分辨率（120 × 122 km）的 NATL-08T SSH 场；SST_R27 与 SST_R09 为对 NATL-08T 的 SST_R01（1.5 km）观测取平均得到的中尺度分辨率 SST 场（见第 2 节）。输出：SSH_R09 与 (U, V)_R09。

在第 4 节中，我们研究了输入与架构不同的若干 RESAC 模型。对每个 RESAC 模型，我们用不同的初始化权重训练 20 个网络，并采用自适应的学习率计划（见附录 B）。最终预测值取这 20 个网络预测的平均值。这一做法提高了最终 CNN 的性能。

我们还尝试训练一个更简单的架构，直接把输入（SSH_R81、SST_R27、SST_R09）与 SSH_R09 联系起来，但未能正确完成训练阶段：最小化始终卡在一个平坦的局部极小值中。这证明了必须通过在不同分辨率上引入（SSH, SST）关系来逐步完成降尺度。

4 RESAC 的性能

4.1 不同模型的定性比较

为展示 RESAC 方法的有效性以及 SST 的贡献，我们训练了两个独立的 RESAC 模型，分别称为 RESAC-ssh-sst 与 RESAC-ssh，二者都输出降尺度后的海洋参数。RESAC-ssh-sst 的输入是 R81 分辨率的 SSH 以及 R27、R09 分辨率的 SST 观测（见图 5）；而 RESAC-ssh 的输入仅为 SSH_R81（附录 B，图 B.2）。两个 RESAC 模型的架构非常相似，但由于去掉了 SST，RESAC-ssh 略有不同。由于未使用 SST 输入（图 5 中绿色部分），RESAC-ssh 的权重更少（400,301），而 RESAC-ssh-sst 为 402,797 个权重。

此外，我们把结果与一种更简单的方法作了比较，即一个著名的无监督图像处理算法（https://opg.optica.org/oe/fulltext.cfm?uri=oe-19-27-26161\&id=225713）。该算法（下文记作 Bi-Cubic+geostro）用二维双三次函数对 SSH 作插值。我们用双三次算法把 SSH_R81 数据插值到 R09 分辨率，然后用地转近似估计 R09 的流速分量（U, V）。该方法不使用 SST。

两个 RESAC 模型的训练与检验以相同方式、在相同数据与条件下进行。如第 2 节所述，训练在 NATL-12 数据集的 366 天上完成，验证在 NATL-08V 数据集（2008 年 12 月）上完成，检验在 NATL-08T 数据集（2008 年 3 月、6 月、9 月）上完成。下文所有统计量均在 NATL-08T 上计算。

首先，我们给出 RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 对 2008 年 3 月 15 日 SSH 与流速的降尺度结果（图 7 第二行），并把它们的 SSH 与 NATL-08T 的 SSH 值相减作比较（第三行）。第四行给出三个模型得到的能量。

初看之下，RESAC-ssh-sst 比其他两个模型更好地再现了 NATL-08T 的数值。我们注意到 35°N 以北的区域------由于布满大量高能中尺度涡旋而比南部能量强得多------被再现得比南部更好。显然 RESAC-ssh-sst 优于 RESAC-ssh，而最差的结果由 Bi-cubic+geostro 给出，这证明了在降尺度过程中使用 SST 这类物理信息的价值。我们注意到 RESAC-ssh-sst 正确反演了主要海洋结构的地理位置以及流速的振幅和方向。

图 7. 2008 年 3 月 15 日三个模型（两个 RESAC 与 Bi-cubic+geostro）输出的比较。第一行，NATL-08T 真值：左图为 R81 SSH（强迫）；中图为 R09 SSH 与流速；右图为 R09 动能。第 2、3、4 行分别为 RESAC-ssh-sst（左）、RESAC-ssh（中）与 Bi-cubic+geostro（右）给出的 SSH 与流速（第 2 行）、反演与观测 SSH 之差（第 3 行）以及动能（第 4 行）。同一变量各图共用一条色标，与分辨率无关。

4.2 不同模型的定量比较

我们用若干统计估计量把 RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 的输出与 NATL-08T 数据集作了比较。首先，我们按式 (3) 对每个变量、每幅检验图像计算逐日 RMSE，以估计变量重建的一致性：

RMSE(Test) = √[ (1/N) ∑ᵢ₌₁ᴺ (y_i^NATL − y_i^est)² ]　　　　(3)

其中 N 为一幅 R09 图像的像素数（N = 144 × 153），y_i^est 为 RESAC 在像素 i 处的估计值，y_i^Natl 为 NATL60 在像素 i 处的值。

我们对检验图像的逐日 RMSE 取平均，得到平均 RMSE（下文记作 MRMSE）。表 3 给出 NATL-08T 变量与 RESAC-ssh-sst（表 3 第一行）、RESAC-ssh（第二行）、Bi-cubic+geostro（第三行）输出在 R09 分辨率下 SSH、U、V 的 MRMSE。很明显 RESAC-ssh-sst 的表现优于 RESAC-ssh。NATL-08T 与 RESAC-ssh-sst 的 SSH 之间的 MRMSE 远小于 NATL-08T 的 SSH 分布尺度（其最常见取值约为 0.50 m，图 4），这表明 RESAC-ssh-sst 在 SSH 及关联海流的降尺度上是有效的。

表 3. NATL-08T 上的性能。RESAC-ssh-sst（第一行）、RESAC-ssh（第二行）与 Bi-cubic+geostrophy 近似（第三行）对三个降尺度变量 SSH、U、V 在 R09 分辨率下的平均逐日 RMSE（MRMSE）。

模型	SSH (m)	U (m s⁻¹)	V (m s⁻¹)
`RESAC-ssh-sst`	0.0418	0.1107	0.1088
RESAC-ssh	0.0611	0.1612	0.1642
Bi-cubic+geostro	0.0693	0.1851	0.1797

RESAC 训练中使用阶段 3 意味着需要知道高分辨率海流场，而这只能由数值模式提供。我们还对两个 RESAC 模型给出的 SSH R09 施加地转关系来计算海流，输出分别记作 RESAC-ssh-sst+geostro 与 RESAC-ssh+geostro。

图 8 给出 RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-Cubic+geostro 对 SSH 的逐日 RMSE 时间序列（上图），以及这些统计模型对（U, V）的逐日 RMSE（中、下图）。U、V 的最佳结果由 RESAC-ssh-sst 给出，其后依次为 RESAC-ssh-sst+geostro、RESAC-ssh、RESAC-ssh+geostro，最差的是 Bi-cubic+geostro。嵌入 SST 平流方程（式 (2)）中的信息改善了仅由 SSH 给出的 R09 海流。对这些 RMSE 的分析使我们能看到 SST 对海流反演的影响。

RESAC-ssh 与 RESAC-ssh+geostro 的海流 RMSE 几乎相同，这意味着 RESAC-ssh 中的 CNN_UV_R09（图 B.2）是一个接近地转关系的函数，若不使用额外参数则难以改进。而 RESAC-ssh-sst 中的 CNN_UV_R09（图 5）通过把 SST 作为附加变量引入，在海流反演上优于地转关系，从而弥补了后者的不足。

图 8. 估计场与 NATL-08T 数值之间 R09 逐日 RMSE 的 SSH、U、V 时间序列（2008 年 3 月、6 月、9 月）。上图为 RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 估计的 SSH RMSE，中、下图为 U、V 的 RMSE。我们还加入了另外两个模型的逐日 RMSE------RESAC-ssh-sst+geostro 与 RESAC-ssh+geostro，它们由前两个 RESAC 模型提供的 SSH 按地转关系计算海流。

下面我们尝试理解 SST 在 RESAC-ssh-sst 中如何作用，从而获得图 8 所示的最佳 SSH 与海流。概括而言，性能提升有两个主要来源。第一，SST 有助于反演更好的 SSH，从而带来更好的地转近似------对比 RESAC-ssh+geostro 与 RESAC-ssh-sst+geostro 的海流 RMSE 即可看到（MRMSE 改善约 0.02 m s⁻¹，表 3）。第二，SST 帮助 RESAC-ssh-sst 中的 CNN_UV_R09（图 5）反演出相对于地转关系具有额外性能的海流。

下文我们聚焦于两个 DL 模型（即 RESAC-ssh-sst 与 RESAC-ssh）相对于 Bi-Cubic+geostro 的性能分析。

我们计算了 RESAC 与 Bi-cubic+geostro 给出的流速之间，以及它们与 NATL-08T 流速之间的复相关（定义见附录 C），并在北部与南部区域分别进行（表 4）。可以看到 RESAC-ssh-sst 给出的相关高于 RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro，差值分别为 0.11 与 0.21；考虑到这些相关具有很高的自由度（144 × 153 = 22,032，即每幅图像的像素数），这些差值高度显著。两个矢量之间（NATL-08T 与算法估计）的角度不存在系统性偏差，两个矢量场的平均夹角接近于零（附录 C）。再次表明 RESAC-ssh-sst 在流速反演上优于 RESAC-ssh 与 Bi-cubic。我们还注意到这些相关的标准差很小，说明反演算法运行良好。

表 4. NATL-08T 上的性能：RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 对 R09 分辨率 NATL-08T 速度场的平均逐日复相关（CC）与平均夹角。

模型	区域	CC 均值	CC 标准差	夹角均值	夹角标准差
`RESAC-ssh-sst`	全区	0.92	0.01	0.40°	0.28°
`RESAC-ssh-sst`	北部	0.93	0.01	0.46°	0.30°
`RESAC-ssh-sst`	南部	0.82	0.02	0.98°	0.79°
RESAC-ssh	全区	0.81	0.03	0.53°	0.39°
RESAC-ssh	北部	0.82	0.04	0.66°	0.42°
RESAC-ssh	南部	0.73	0.03	1.39°	1.21°
Bi-cubic+geostro	全区	0.77	0.03	0.88°	0.61°
Bi-cubic+geostro	北部	0.78	0.03	1.05°	0.74°
Bi-cubic+geostro	南部	0.71	0.03	1.52°	1.27°

4.3 含噪声 SSH 数据的情形

高度计测得的 SSH 往往具有很高的噪声/信号比，这源于仪器噪声以及高度计观测的插值。这种插值会引入噪声，因为高度计观测是在卫星轨迹下进行的，并需按卫星重复周期（TOPEX-POSEIDON 为 10 天，Ballarotta et al., 2019; Dufau et al., 2016）在相当长的时间间隔内组合多条轨迹进行网格化。下文我们通过在 NATL-08T 的 SSH_R81 上叠加高斯噪声来模拟这类噪声。

对每个检验日的每个像素，我们向 SSH_R81 图像加入高斯随机噪声 N(0, σ²)。此时 SSH 信号为 SSHn_R81 = SSH_R81 + N(0, σ²)。我们检验了两种噪声：第一种标准差为 σ1 = 0.05 m，第二种为 σ2 = 0.10 m。相对于 NATL-12 的 SSH 分布（最常见取值约 0.50 m，图 4 第一行），这两个值都相当大。图 9 给出 2013 年 1 月 9 日 R81 分辨率下无噪声与两种噪声水平下的 SSH。可以看到在最高噪声水平下 SSH_R81 的型态被强烈改变。

两个 RESAC 模型与 Bi-cubic+geostro 的 SSH、U、V 相对于 NATL-08T 数值的平均逐日 RMSE（MRMSE）在表 5 中给出（全区）。

表 5. NATL-08T 上的性能。RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostrophy 近似对三个降尺度变量 SSH（单位 m）、U 与 V（单位 m s⁻¹）在 R09 分辨率、无噪声与两种噪声水平（0.05 与 0.10 m）下的平均逐日 RMSE（MRMSE）。

变量	RESAC-ssh-sst σ=0.0	σ=0.05	σ=0.10	RESAC-ssh σ=0.0	σ=0.05	σ=0.10	Bi-cubic σ=0.0	σ=0.05	σ=0.10
`SSH` (m)	0.042	0.062	0.099	0.061	0.084	0.126	0.069	0.084	0.111
`U` (m s⁻¹)	0.111	0.132	0.180	0.161	0.187	0.241	0.185	0.187	0.227
`V` (m s⁻¹)	0.109	0.128	0.172	0.164	0.190	0.243	0.180	0.190	0.229

MRMSE 随噪声水平升高而增大，且在考虑 SST 时更小，说明 SST 在速度反演中起重要作用。正如预期，噪声越大，MRMSE 越大。

两个 RESAC 模型与 Bi-cubic+geostro 的流速相对于 NATL-08T 流速的复相关（CC）在表 6 中给出，分别对应全区、北部与南部区域。RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 的表现远不如 RESAC-ssh-sst。

SST 的贡献是本质性的，从速度相关可以看出：RESAC-ssh-sst 始终更好，比其他模型高 0.15--0.20。我们注意到降尺度过程以良好精度保持了流速方向。

我们再次发现北部区域的性能优于南部区域。这是因为在北部区域海流更强，并与湾流对应的大型稳定海洋结构相联系；而南部区域更具湍流性，海流更小，与小的海洋结构相联系。

图 9. 2013 年 1 月 9 日的 SSH_R81：(a) 无噪声；(b) σ1 = 0.05 m；© σ2 = 0.10 m。

表 6. NATL-08T 上的性能。RESAC-ssh-sst、RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 近似对 R09 分辨率 NATL-08T 上 U 与 V 在无噪声与两种噪声水平（0.05 与 0.10）下的平均逐日复相关 CC 与夹角。夹角单位为度。

指标	RESAC-ssh-sst σ=0.0	σ=0.05	σ=0.10	RESAC-ssh σ=0.0	σ=0.05	σ=0.10	Bi-cubic σ=0.0	σ=0.05	σ=0.10
`CC 全区`	0.92	0.88	0.80	0.81	0.73	0.60	0.77	0.71	0.59
夹角全区	0.40°	0.41°	0.47°	0.53°	0.57°	0.70°	0.88°	0.88°	1.00°
`CC 北部`	0.93	0.91	0.87	0.82	0.77	0.68	0.77	0.75	0.68
夹角北部	0.46°	0.48°	0.56°	0.66°	0.71°	0.87°	1.05°	1.06°	1.18°
`CC 南部`	0.82	0.68	0.49	0.73	0.53	0.34	0.71	0.53	0.35
夹角南部	0.98°	1.06°	1.47°	1.39°	1.67°	2.38°	1.52°	1.68°	2.82°

5 讨论

RESAC-ssh-sst 的性能非常令人满意，优于 RESAC-ssh 与 Bicubic+geostro，这一点已由第 4 节的若干统计量（表 3 与表 4）表明。图 8 中的逐日 RMSE 使我们能够分析不同模型的性能。RESAC-ssh-sst 相对于 RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 的良好得分，源于 SST 以两种不同方式作用于算法结构。

第一，SST 输入进入 CNN R81→R27 与 CNN R27→R09（图 5 流程图的第 1、2 步），改善了 R09 分辨率下的 SSH 反演------对比三个降尺度模型的逐日 SSH RMSE 即可看到（图 8 上图）。

第二，SST 输入进入 CNN_UV_R09（图 5 第 3 步）提供了平流信息，改善了 R09 海流的反演------这从 U、V 流速分量的逐日 RMSE 可以看出（图 8 中、下图与表 4）。

此外，当 SSH 含噪声时 RESAC 仍给出令人满意的性能。为此我们做了两组不同 SSH 噪声水平的实验，一组标准差为 5 cm，另一组为 10 cm。相对于按图 4 得到的 SSH 概率密度函数（pdf）主值 50 cm，这些值都是高的。在所有情形下（无噪声与含噪声），表 5 与表 6 报告的 RESAC 流矢量与 NATL-08T 流矢量之间的复相关都表明，RESAC-ssh-sst 是 R09 分辨率下海流的最佳估计器。

所有这些分析都表明，SST 在海流反演精度中起关键作用，尤其是在 SSH 测量含噪声时。RESAC-ssh 与 Bi-cubic+geostro 未考虑的 SST，在 RESAC-ssh-sst 中为海流补充了重要信息，使反演的 SSH 场及其关联速度的分辨率都得以提高。SST 中所含的速度信息与 NATL60 模拟中使用的 SST 平流方程的结构相联系（式 (2)）------该方程把 SST 与速度关联起来。其理由是：被海流平流的 SST，对于缓慢变化的海洋运动（周期大于数天）而言是一个流函数，因而意味着流体速度几乎垂直于 SST 梯度（见附录 D）。在本研究中，式 (2) 被 RESAC 隐式建模，从而使第 2、3、4 项得到统计上的考虑。从理论角度看，我们可以说 RESAC-ssh-sst 近似了构成 NATL60 模式的偏微分方程组所代表的、数据场中包含的物理定律（见附录 D）。

RESAC-ssh-sst 在北部区域性能令人满意，但在南部区域变差，原因是后者信噪比低（NATL-08T 检验集见表 3 与表 4；含噪声观测见表 5 与表 6）。

此外，RESAC-ssh-sst 与 RESAC-ssh-sst+geostro 对（U, V）反演的比较（图 8）表明，仅由 SSH 计算的地转关系是相当弱的海流估计器，它可借助额外信息（本文中为 SST）改进，而不能靠算法改进------RESAC-ssh 与 Bicubic+geostro 给出的 U、V RMSE 相近即是证据（图 8 第二、三行）。

RESAC 的一个要点是把训练阶段分解为图 5 所示的三个阶段，以促进与 SSH 和 SST 相关的流体物理属性的交换------由于湍流中相互作用的局地性，这种交换优先在谱空间中波数接近处发生（Merilees and Warn, 1975; Maltrud and Vallis, 1993; Zakharov et al., 2012）。训练阶段使用 SST 观测的一个中间分辨率（SST_R27，本文中仅由 SST_R09 滤波得到）以及 SSH 观测的两个中间分辨率（SSH_R27 与 SSH_R09），从而可借助特定代价函数控制 RESAC 的中间估计（流程图见图 5）。在业务化阶段，RESAC-ssh-sst 的输入是低分辨率 SSH 观测（SSH_R81）与中间（SST_R27）及中尺度（SST_R09）分辨率的 SST 观测；输出是中尺度分辨率的海流（U_R09, V_R09）以及同分辨率的 SSH（SSH_R09）。这种分阶段分解是 RESAC 方法的核心要素。不含阶段分解的算法性能要低得多（未展示）。

RESAC 的训练是在极高分辨率海洋模式输出上进行的，由此可获得原位测量无法观测的高分辨率速度。在未来的研究中，我们计划训练一个专门处理卫星观测的 RESAC-SAT，其训练数据为 SSH 高度计轨迹，以及由业务化海洋模式（如 Mercator 模式，https://www.mercator-ocean.eu/en/）模拟的 SST 场。由于这些模式同化了多种不同观测变量，它们接近真实海洋。因此可以预期，把卫星观测与海洋模式数据关联起来的"观测算子"（按资料同化术语）将接近单位算子，正如在散射计风场反演等类似研究中发现的那样（Richaume et al., 2000）。这些作者用 ERA-interim 风场校准了一个 ERS1 风场反演神经网络。在构建 RESAC-SAT 时，需要考虑沿 SSH 观测轨迹、与卫星重复周期相关的复杂时空采样。近期研究提出了改进 SSH 采样考虑的新有效方案，它们基于 4D Var（Febvre et al., 2022）或 CNN（Nardelli et al., 2022）。RESAC 的架构将依据卫星 SSH 传感器的采样特征（空间与时间）以及所选方案加以调整。

改进此类业务化算法效率的另一条补充途径，是考虑 SSH 与 SST 之间联系的物理性质。我们可以为 RESAC 增加新的输入，例如海气热交换（式 (2) 中的第 4 项）------如已有工作（Rio and Santoleri, 2018; Nardelli et al., 2022）所示，它能改善 SST 对 SSH 的影响，适用于与大气结构同量级（数百公里）的大尺度海洋运动，因此应当能改善 R81 分辨率的 SSH。小尺度（约 10 公里）海洋运动更难考虑，因为它们主要与深层海洋内部的热交换相联系，涉及混合层动力学与水平涡通量。研究这些过程对 SSH 及关联海流分辨率的影响，值得开展专门研究。

此外，随着 SWOT（Surface Water and Ocean Topography）任务的发射------这是 NASA/CNES/CSA/ASC/UK 航天机构的联合计划------SSH 在时间和空间上的分辨率都将显著改善，这将有利于纳入 SSH 数据。

6 结论

我们构建了一个高效的机器学习算法，即基于 CNN 的 RESAC 方法，通过把低分辨率 SSH（120 × 122 km，SSH_R81）与高分辨率 SST 相结合，将其提供的海流分辨率提高到中尺度（13 × 14 km，SSH_R09）。我们考虑的是一个过度简化的情形，即 SSH 与 SST 测量均为网格化逐日观测。RESAC 的精髓在于：通过在训练与反演阶段引入中间 SST 分辨率，把粗糙的 SSH 观测与高分辨率 SST 结合起来。为提高 RESAC 的精度，我们构建了一个 CNN 集合，其预测值取 20 个架构相同、在同一数据集上训练但初始值不同的 CNN 输出的平均值。更一般地，RESAC 可用于融合并降尺度所有同步观测的数据场。

RESAC 架构已经显示了把学习阶段分解为若干阶段以促进数据融合的价值。使用更大的数据集（数年而非一年）进行训练，应能进一步提高 RESAC 的精度。此外还可以开展若干补充研究，例如训练两个不同的 RESAC 模型，一个针对北部区域、一个针对南部区域，预期 RESAC 的性能将会改善------尤其是在海流较弱且多为湍流的南部区域。再者，按其设计，RESAC 应该能够（至少在理论上）在地转关系不适用的赤道区域运行。

本工作可视为一项可行性研究，导向未来设计一个专门用于 SSH 场降尺度的业务化 DL 方法。在现实世界中，问题要复杂得多：必须考虑 SSH 沿卫星轨迹采样的效应，以及重复周期内高度计数据的连续多次插值。最终卫星产品中的误差并非来自简单的平滑，而是来自复杂的时空插值（Ballarotta et al., 2019）。这一具有挑战性的问题意味着还需进一步发展才能获得高效的业务化 DL 算法，这超出了本文范围。

本研究在把不同分辨率的数据集融合、以将低分辨率数据场降尺度到高分辨率这一方面，起到了概念验证的作用。它明确依赖于 CNN 的能力------概括在每个像素分辨率（从 120 km² 到 13 km²）上联系 SST、SSH 与速度场（U, V）的地球物理知识。此外，一项更具挑战性的研究是在 R01 分辨率（1.5 × 1.5 km）上估计海流。该尺度对应海洋丝状结构，地转近似不再成立，这使高分辨率速度降尺度更为复杂。由于降尺度跨度很大，这将意味着在 RESAC 算法中增加一个新阶段，并相应增大 CNN 的规模与学习阶段的计算开销，需要动用非常强大的 GPU。如果能有更长的时间序列用于训练，这些结果本可得到改进。

RESAC 必须在高分辨率海洋模式输出上学习，因为没有高分辨率海洋观测。RESAC 的输出可能与实际的海洋变量有所差异，但不会相差太多，因为海洋模式如今同化了大量观测而非常有效。这一约束是任何海洋变量高分辨率 DL 降尺度算子所固有的。

正如引言所提到，深度学习（DL）在当今是一个非常富有产出的研究领域。它被用于求解环境科学中导致科学发现的复杂问题，且应用增长迅速。地球物理科学与气候研究必须处理海量多维数据。DL 方法非常适合应对多卫星观测与气候模式输出这一艰巨的科学挑战。高性能计算（HPC）正越来越多地被用于满足 DL 数据处理呈指数增长的需求；多 GPU 与高速互连网络已可用于在 HPC 系统上支撑 DL（Han et al., 2019）。人工智能领域所做的这一切研究，如今已可为环境研究界所用，应当能推动地球物理知识的快速发展。DL 的这一发展应使我们对 RESAC 的应用抱有信心。的确，在模拟数据上学习得到的 RESAC，包含着联系 SSH、SST 与海流的物理学的概括。鉴于其通用性，我们预期 RESAC 方法可适用于各种各样的降尺度问题。

作者贡献（CRediT authorship contribution statement）

Sylvie Thiria：设计研究，撰写稿件。
Charles Sorror：开发 RESAC 模型，执行模拟并验证结果。
Theo Archambault：开发 RESAC 模型，执行模拟并验证结果。
Anastase Charantonis：参与 CNN 开发，稿件撰写。
Dominique Bereziat：参与 CNN 开发，稿件撰写。
Carlos Mejia：数据管理与文档准备。
Jean-Marc Molines：提供 NATL60 输出（SSH、SST 与海洋流速）。
Michel Crépon：讨论结果，撰写并编辑稿件。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

数据与代码可用性

我们使用的数据集（NATL-12 与 NATL-08，均从 NATL60 模式 630 实验在北大西洋湾流区域的输出中提取）已在 IPSL Thredds 目录中公开，地址为：https://doi.org/10.14768/c3c33afe-2a37-42e1-bb29-21428387f658 。RESAC 模型的 Python 代码托管于 GitLab：https://gitlab.in2p3.fr/carlos.mejia/resacpubli_ocemod/-/releases/v1.0r 。

致谢

NATL60 模拟在 CINES Occigen 超级计算机上完成，属于 GENCI 组织的 2014--2015 大挑战计划。我们还感谢 Manucharyan 博士以及匿名审稿人，他们对改进本文作出了贡献。

资助

本研究得到索邦大学（IPSL、SAMA 与 SCAI）的支持。

附录 A　能量与拟能定义

记像素 i 处的动能为 eᵢ：

eᵢ = ½ (Uᵢ² + Vᵢ²)　　　　(A.1)

某日 d 一幅图像的全局动能为：

E_d = ∑ᵢ₌₁ᴺ eᵢ

记像素 i 处的"局地拟能"为 sᵢ：

sᵢ = ½ ( ∂Vᵢ/∂x − ∂Uᵢ/∂y )²　　　　(A.2)

某日 d 一幅图像的全局拟能为：

S_d = ∑ᵢ₌₁ᴺ sᵢ

能量表征速度场的强度，而拟能表征其切变强度。

在无强迫、无耗散的情形下，全局能量与全局拟能是二维流动的守恒量（Maltrud and Vallis, 1993; Merilees and Warn, 1975）。

附录 B　RESACnet 架构

我们使用 Python 3.9、Keras 2.4.0 实现 RESAC 模型。RESAC 在 Linux 系统下、配备 CUDA 11.0 的 Nvidia GPU 上训练。

RESAC 架构由 3 个 CNN 组成（图 5）。

CNN_R81toR27：有 7 个卷积层，每层由 36 个特征图构成，滤波器尺寸 6 × 6，使用 relu 激活函数。每层之后接一个批归一化层。最后一层把 36 个特征图连接到一个 1 × 1 掩膜上，用 sigmoid 激活函数拟合输出图像。
CNN_R27toR09：有 3 层，由 24 个特征图构成，掩膜尺寸 5 × 5，使用 relu 激活函数。每层之后接一个批归一化层。最后一层把 24 个特征图连接到一个 1 × 1 掩膜上，用 sigmoid 激活函数拟合输出图像。
CNN_UV_R09：结构与 CNN_R27toR09 相同，但重复 3 次。第一个接收 SST_R09 与 CNN_R27toR09 的输出，产生一个 UV_R09 输出；第二个和第三个接收该输出，分别用于求取流的 U 与 V 分量。

RESAC_SSH 有 400 301 个权重，RESAC_SSH_SST 有 402 797 个权重。

层与层之间使用 'same' 填充参数保持输入尺寸不变。RESAC 架构的权重用 'the_normal' 方法初始化（Keras 文档）。代价函数 J 是所有代价函数误差的 MSE：

J = (1/N) ∑ᵢ₌₁ᴺ (y_i^NATL − y_i^est)²　　　　(B.1)

学习集、验证集与检验集完全去相关（见第 2 节）。卷积层数、滤波器尺寸与数量、激活函数与损失函数均依据前期实验选取；学习率调度与训练轮数在验证集上凭经验调节。

对每个 RESAC 模型，我们用不同的初始化权重训练 20 个网络，并采用自适应的学习率调度。对 RESAC-ssh-sst，学习率从 2e-3 开始，在前 20 个 epoch 保持恒定，随后在第 20 至 60 个 epoch 之间每个 epoch 乘以 exp(−0.02)，在第 60 至 100 个 epoch 之间乘以 exp(−0.05)。对 RESAC-ssh，学习率从 5e-3 开始，前 20 个 epoch 保持恒定，随后在第 20 至 40 个 epoch 之间每个 epoch 乘以 exp(−0.02)，在第 40 至 100 个 epoch 之间乘以 exp(−0.05)。

最终预测是 20 个网络预测的平均。

图 B.1 给出学习与验证数据集在训练阶段代价函数的演变。x 轴表示时间演化，y 轴表示代价函数值。所用权重为交叉验证确定的权重。

图 B.2 给出 RESAC-ssh 训练的流程图。

图 B.1. RESAC-ssh-sst 的代价函数（对数尺度）随迭代次数（Epochs）的变化。其定义见图 5，数学表达式见式 (B.1)。

图 B.2. RESAC-ssh 训练阶段的流程图：RESAC-ssh 模型的输入为绿色，用于控制 RESAC-ssh 权重的观测为蓝色，双箭头表示四个代价函数 J1、J2、J3u、J3v。UP3x3 表示把输入尺寸扩大 3 × 3 倍的上采样过程，以到达下一幅图像的更高分辨率。在学习阶段，Ĥ 分别为 R27 与 R09 分辨率下估计的 SSH，Û 与 V̂ 为估计的海洋速度值。所有 CNN 的权重通过同时最小化四个代价函数一次性估计得到。在业务化阶段，RESAC 以 SSH_R81、SST_R27 与 SST_R09（绿色框）为强迫。

附录 C　复相关

比较两个矢量场是一项相当复杂的任务。我们可以用经典统计工具（标准差、相关）比较矢量分量，但它们在物理空间中的解释并不容易。困难之一在于要把矢量分量之间已有的关系考虑进来。本文提出一种方法，可为二维矢量场给出直接的几何解释。技巧在于利用二维矢量与复数之间已有的同构关系。设我们想比较两个二维矢量场 (u, v) 与 (u′, v′)，其对应的复数 U 与 U′ 写作：

U = u + iv = ρ e^(iα)，　U′ = u′ + iv′ = ρ′ e^(i(α+β))

其中 i 为虚数单位，ρ 与 ρ′ 为正数、表示矢量的模，α 与 α+β 给出矢量与实轴的夹角，β 表示两个矢量之间的夹角。定义 U 与 U′ 之间的复相关 CC：

CC = [ (1/N) ∑ⱼ₌₁ᴺ Uⱼ* U′ⱼ ] / [ √((1/N)∑ⱼ Uⱼ* Uⱼ) · √((1/N)∑ⱼ U′ⱼ* U′ⱼ) ]　　　　(C.1)

其中 U* = u − iv 与 U′* = u′ − iv′ 分别为 U 与 U′ 的复共轭。求和遍及构成该场的 N 个矢量。

CC 也可写作：

CC = [ (1/N) ∑ⱼ₌₁ᴺ ρⱼ ρ′ⱼ e^(−iβⱼ) ] / [ √((1/N)∑ⱼ ρⱼ²) · √((1/N)∑ⱼ ρ′ⱼ²) ] = C e^(−iθ)　　　　(C.2)

这一极坐标表示使我们能对 CC 作几何解释，如下所述。

第一，假设两个矢量场之间存在系统性旋转 β，则 CC 写为：

CC = e^(−iβ) · ∑ⱼ₌₁ᴺ ρⱼρ′ⱼ / ( √(∑ⱼ ρⱼ²) · √(∑ⱼ ρ′ⱼ²) ) = C e^(−iβ)　　　　(C.3)

其中 C 为矢量模之间的相关，β 为两个矢量场之间的系统性夹角。这种情形在海洋学中常见（Ekman 漂流中风与流之间的常值夹角；Ekman 螺旋中流随深度的旋转）。

第二，让我们解释当两个场准共线时复相关的角度，这正是我们比较模拟流与观测流的情形。式 (C.2) 可写作：

CC = ∑ⱼ₌₁ᴺ ρⱼρ′ⱼ (cos βⱼ − i sin βⱼ) / ( √(∑ⱼ ρⱼ²) · √(∑ⱼ ρ′ⱼ²) )　　　　(C.4)

式 (C.4) 有些难以解释。考虑如下简单情形：假设每个矢量场具有常模（ρ 与 ρ′ 为常数），式 (C.4) 变为：

CC = ρρ′ ∑ⱼ₌₁ᴺ (cos βⱼ − i sin βⱼ) / ( √(∑ⱼ ρⱼ²) · √(∑ⱼ ρ′ⱼ²) ) = (1/N) ∑ⱼ₌₁ᴺ (cos βⱼ − i sin βⱼ)　　　　(C.5)

若角度 βⱼ 都很小（β < 10°）且其均值接近于零------这是一个直接的假设------式 (C.5) 写为：

CC = (1/N) ∑ⱼ₌₁ᴺ (cos βⱼ − i sin βⱼ) ≈ 1 − (1/N) ∑ⱼ₌₁ᴺ (i sin βⱼ) ≈ 1 − iε　　　　(C.6)

其中 ε 是一个小数，因为 βⱼ 的均值接近于零。于是 CC 可写作 CC = e^(−iθ)，其中 θ 是小角度。

这个简化例子可以解释为什么本研究中计算的复相关角度 θ 总是很小。CC 的角度给出了两个矢量场之间平均夹角的估计；若夹角分布为高斯分布，该值接近于零。

复相关已被用于气象学与海洋学中涉及二维矢量分析的若干研究（Wang and Moers, 1977; Hardy and Walton, 1978; Legler, 1983; Horel, 1984）。

式 (C.6) 表明，CC 给出的是两个矢量场之间夹角 βⱼ 均值的估计，它接近于零，并不能提供关于两个场结构的有用信息。更有信息量的参数是该夹角的标准差，可通过如下运算获得：Uⱼ* U′ⱼ = ρⱼρ′ⱼ e^(−iβⱼ)，由此可得 βⱼ，进而计算 βⱼ 的标准差。

事实上，二维矢量场之间的相关是一个形如下的矩阵 Cm：

Cm = [ [ C_uu′ , C_uv′ ] , [ C_vu′ , C_vv′ ] ]

其中 C_uv′ 是矢量 U 的 u 分量与矢量 U′ 的 v′ 分量之间的相关，依此类推。

两个矢量场之间相关的矩阵表述比 CC 包含更多信息，但 CC 在物理空间中更易于解释。CC 主要用于比较通过缩放与系统性旋转相联系的两个矢量场。在本研究中，我们选择了表述的简洁性，采用复相关。

附录 D　RESAC 与式 (1) 的近似关系

RESAC 模型并不学习式 (1) 的时间演变。但它通过考虑对第 4 项以及第 1 项空间贡献（形式为 (U·∇)U）的统计建模，比地转关系（第 2 项与第 3 项的平衡）更好地近似了式 (1)。因此 RESAC 可视为如下不含时间依赖的偏微分方程的统计模型：(U·∇)U − f × U = −g∇SSH + D_U，并与缓慢变化的温度方程（式 (2)，形式为 ∇(SST·U) = D_SST）相耦合。算子 D_U 与 D_SST 用于模拟湍流。

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关键数字速查表

项目	数值
训练/验证/检验数据	NATL-12（366 天，2012-10-01--2013-10-01）；NATL-08V（2008-12）；NATL-08T（2008-03、06、09）
模式与分辨率	NATL60（NEMO 3.6），`1/60°`，网格间距 1.6 km（26°N）至 0.9 km（65°N），垂直 300 层
研究区域	湾流区 `26°N--45°N，40°W--65°W`
输入/输出分辨率	SSH 输入 `R81 = 120 × 122 km`；SST 输入 `R27 = 40 × 41 km`、`R09 = 13 × 14 km`；输出 `R09`
图像尺寸	R01 `1296 × 1377`；R09 `144 × 153`；R81 `16 × 17`
区域能量分配	35°N 以北占总动能 `86%`，以南占 `15%`（原文如此）
CNN 集合规模	`20` 个网络取平均
权重数	RESAC-ssh `400 301`；RESAC-ssh-sst `402 797`
SSH MRMSE（无噪声）	`0.0418 m`（RESAC-ssh-sst）vs `0.0611`（RESAC-ssh）vs `0.0693`（Bi-cubic+geostro）
U MRMSE（无噪声）	`0.1107 m s⁻¹` vs `0.1612` vs `0.1851`
V MRMSE（无噪声）	`0.1088 m s⁻¹` vs `0.1642` vs `0.1797`
复相关 CC（全区）	`0.92`（RESAC-ssh-sst）vs `0.81`（RESAC-ssh）vs `0.77`（Bi-cubic+geostro）
平均夹角（全区）	`0.40°` vs `0.53°` vs `0.88°`
噪声试验	`σ1 = 0.05 m`、`σ2 = 0.10 m`（相对 SSH pdf 主值 0.50 m）
σ=0.10 m 时 SSH MRMSE	`0.099 m`（RESAC-ssh-sst）vs `0.126` vs `0.111`
σ=0.10 m 时 U MRMSE	`0.180 m s⁻¹` vs `0.241` vs `0.227`
σ=0.10 m 时 CC（全区）	`0.80` vs `0.60` vs `0.59`
学习率	RESAC-ssh-sst `2e-3`；RESAC-ssh `5e-3`；各 100 epoch
软件环境	Python 3.9、Keras 2.4.0、CUDA 11.0、Nvidia GPU
模式计算量	16 M cpuH，14 000 核（GENCI 2016 大挑战）

一句话总结

Thiria 等（2023）用三阶段级联 CNN（RESAC）把 120 km 的 SSH 与 13 km 的 SST 融合，靠分阶段降尺度隐式学到 SST 平流方程中的流速信息，使中尺度海流的复相关从地转插值的 0.77 提升到 0.92，并在 SSH 含 10 cm 噪声时仍保持 0.80。