案例 7：二维 Rosenbrock 函数最小值（香蕉函数）

基于 PSO-master（通用变维粒子群优化库）。

编译执行环境：GCC 13.2.0（Wandbox 在线编译器，真实编译并执行） ；随机种子固定为 srand(12345)。

下方"运行结果"为程序真实编译并执行后的标准输出，未做任何修饰。

1. 背景

Rosenbrock（香蕉函数）的全局极小位于一条狭长、弯曲的山谷底部，梯度信息指向山谷壁而非谷底，对几乎所有优化器都是经典难题。

2. 模型建立

Rosenbrock 函数：

f(x,y)=(1−x)2+100(y−x2)2f(x,y)=(1-x)^2+100(y-x^2)^2f(x,y)=(1−x)2+100(y−x2)2

定义域 x,y∈ $-2,2$ x,y\in $-2,2$ x,y∈ $-2,2$ ，全局极小在 (1,1) ，理论极小值 f=0。

参数	取值
维度 dim	2
粒子数	60
迭代次数	700
wstart → wend	0.9 → 0.4（二次递减）
C1 / C2	1.49445 / 1.49445
dt	1.0
搜索下界	$-2.0, -2.0$
搜索上界	$2.0, 2.0$
优化方向	最小化（fitness=-目标）

3. 完整代码（PSO-master）

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include "PSO.h"
#include <math.h>
#define PI 3.141592653589793

// ===================== 案例7：二维 Rosenbrock 函数最小值（香蕉函数） =====================
// 狭长弯曲山谷，经典难例。
// 适应度：fitness = -( (1.0 - x) * (1.0 - x) + 100.0 * (y - x * x) * (y - x * x) ) - ( 0.0 )
double FitnessFunction(Particle& particle)
{
    double x = particle.position_[0];
    double y = particle.position_[1];
    return -( (1.0 - x) * (1.0 - x) + 100.0 * (y - x * x) * (y - x * x) ) - ( 0.0 );
}

int main()
{
    const int DIM = 2;
    PSOPara psopara(DIM, true);
    psopara.particle_num_ = 60;
    psopara.max_iter_num_ = 700;
    for (int k = 0; k < DIM; k++)
    {
        psopara.dt_[k] = 1.0;
        psopara.wstart_[k] = 0.9;
        psopara.wend_[k] = 0.4;
        psopara.C1_[k] = 1.49445;
        psopara.C2_[k] = 1.49445;
    }
    psopara.lower_bound_[0] = -2.0000;
    psopara.upper_bound_[0] = 2.0000;
    psopara.lower_bound_[1] = -2.0000;
    psopara.upper_bound_[1] = 2.0000;
    PSOOptimizer opt(&psopara, FitnessFunction);
    std::srand(12345);                 // 固定随机种子，保证可复现
    opt.InitialAllParticles();
    for (int i = 0; i < opt.max_iter_num_; i++)
        opt.UpdateAllParticles();

    std::cout << "BEST_POS";
    for (int k = 0; k < DIM; k++)
        std::cout << " " << opt.all_best_position_[k];
    std::cout << "\nBEST_FITNESS " << opt.all_best_fitness_ << std::endl;
    return 0;
}

编译与运行（PSO.h、PSO.cpp 与案例源码同目录）：

bash 复制代码

g++ -O2 -std=c++11 case07.cpp PSO.cpp -o case07.exe
./case07.exe

4. 运行结果（真实执行输出）

text 复制代码

BEST_POS 1 1
BEST_FITNESS -1.96996e-24

4.1 结果与理论解对比

项目	求得值（程序实际输出）	理论解	误差
求得位置	(1.000000, 1.000000)	(1.000000, 1.000000)	欧氏距离 0.000000
目标函数值	0.000000	0.000000	绝对误差 0.000000
最优适应度 fitness	-0.000000	---	---

说明： Rosenbrock 狭长山谷难例，本配置下逼近 (1,1)；更高维/更严格时可能只逼近谷底而非谷端点。

5. 小结与延伸

Rosenbrock 山谷很窄，可尝试把 dt 调到 0.5～0.8 以获得更细的步进；或改用自适应惯性权重。