图像处理拉普拉斯算子

AI对话记录，还没有来得及仔细验证和推导，目前只是记录

当然可以！我们来一步步推导拉普拉斯算子在旋转变换下保持不变的数学过程。这里以二维情况为例，最直观也最常见。

🧮 拉普拉斯算子旋转不变性的推导（二维）

1️⃣ 定义拉普拉斯算子

在二维笛卡尔坐标系中，拉普拉斯算子定义为：

Δf(x,y)=∂2f∂x2+∂2f∂y2 \Delta f(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} Δf(x,y)=∂x2∂2f+∂y2∂2f

我们要证明：如果我们对坐标系进行旋转，拉普拉斯算子的值在对应点处保持不变。

2️⃣ 坐标变换：旋转坐标系

设我们将坐标系旋转一个角度 ( \theta )，得到新的坐标系 ( (x', y') )，其与原坐标系的关系为：

{x=x′cos⁡θ−y′sin⁡θy=x′sin⁡θ+y′cos⁡θ \begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases} {x=x′cosθ−y′sinθy=x′sinθ+y′cosθ

这是一个标准的二维旋转变换。

3️⃣ 链式法则：导数变换

我们要将∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}∂x2∂2f+∂y2∂2f 表达成关于 ( x', y' ) 的导数。

使用链式法则，首先计算一阶导数：

∂f∂x′=∂f∂x∂x∂x′+∂f∂y∂y∂x′=∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ \frac{\partial f}{\partial x'} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x'} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x'} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin\theta ∂x′∂f=∂x∂f∂x′∂x+∂y∂f∂x′∂y=∂x∂fcosθ+∂y∂fsinθ

类似地，

∂f∂y′=−∂f∂xsin⁡θ+∂f∂ycos⁡θ \frac{\partial f}{\partial y'} = -\frac{\partial f}{\partial x} \sin\theta + \frac{\partial f}{\partial y} \cos\theta ∂y′∂f=−∂x∂fsinθ+∂y∂fcosθ

然后计算二阶导数：

其中：

(f(x, y))：连续函数
(\mathcal{G})：光栅化方法（如双线性插值）
(\mathcal{L})：离散拉普拉斯算子
(\Delta_{\text{cont}})：连续拉普拉斯
(\Delta_{\text{disc}})：离散拉普拉斯

可统计：

最大误差（max）
平均误差（mean）
标准差（std）
误差图像（heatmap）
误差随旋转角度变化曲线

🧪 五、实验设计建议

1️⃣ 函数族选择

多项式族：(x^2 + y^2), (x^3 - y^3)
三角函数族：(\sin(x)\cos(y)), (\sin(10x))
非光滑族：(|x| + |y|), 阶跃函数
高斯族：(e^{-(x2 + y^2)})

2️⃣ 光栅化方法对比

最近邻 vs 双线性 vs 双三次
原始 vs 旋转图像
不同分辨率（如 32×32, 128×128）

3️⃣ 算子对比

标准 3×3 拉普拉斯
8邻域拉普拉斯
LoG（Laplacian of Gaussian）
自定义旋转等效核

📌 六、可视化建议

原始函数图像 vs 光栅图像
拉普拉斯响应图 vs 旋转响应图
误差热力图
误差随旋转角度变化曲线

如果你愿意，我可以帮你搭建一个 Python 实验框架，自动生成函数图像、光栅化、旋转、算子响应和误差图。你想先从哪个函数族或光栅化方法开始测试？