3.矩阵常用操作

恒友成2023-07-25 15:51

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线性代数的常用操作

1.向量的内积

  • 定义

    向量的内积即点乘，其定义如下：

    向量 a ⃗ = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] \vec{a} = [a_1,a_2,...,a_n] a =[a1,a2,...,an]
    向量 b ⃗ = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] \vec{b} = [b_1,b_2,...,b_n] b =[b1,b2,...,bn]

    a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的内积公式表示为：

    a ⃗ ∙ b ⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ c o s θ \vec{a}\bullet\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta a ∙b =a1b1+a2b2+...+anbn=∣a ∣∣b ∣cosθ

  • 几何意义

    两个向量之间的夹角，向量 a ⃗ \vec{a} a 在向量 b ⃗ \vec{b} b 上的投影。

2.向量的外积

  • 定义

    a ⃗ × b ⃗ = [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ] = [ b 1 c 2 − b 2 c 1 a 2 c 1 − a 1 c 2 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] = [ 0 − c 1 b 1 c 1 0 − a 1 − b 1 a 1 0 ] b ⃗ = a ⃗ ∧ b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1c_2-b_2c_1\\ a_2c_1-a_1c_2\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -c_1 & b_1\\ c_1 & 0 & -a_1\\ -b_1 & a_1 &0 \end{bmatrix}\vec{b}=\vec{a}^\wedge \vec{b} a ×b = i a1a2j b1b2k c1c2 = b1c2−b2c1a2c1−a1c2a1b2−a2b1 = 0c1−b1−c10a1b1−a10 b =a ∧b

    式中 ∧ \wedge ∧符号表示把向量 a ⃗ \vec{a} a 写成一个反对称矩阵。即：

    a ⃗ ∧ = [ 0 − c 1 b 1 c 1 0 − a 1 − b 1 a 1 0 ] \vec{a}^\wedge = \begin{bmatrix} 0 & -c_1 & b_1\\ c_1 & 0 & -a_1\\ -b_1 & a_1 &0 \end{bmatrix} a ∧= 0c1−b1−c10a1b1−a10

  • 几何意义

    外积的结果是一个向量，该向量的模等于向量 a ⃗ \vec{a} a 和向量 b ⃗ \vec{b} b 围成的平行四边形的面积

3.正交向量

向量的内积等于两个向量长度乘上向量之间的夹角，当两个向量之间夹角的余弦值等于0时，在二维空间，我们称之为垂直 ，在高维空间中我们称之为正交。

因此正交向量是内积为零的向量。

a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 a ⋅b =0

4.正交向量组

正交向量组是指一组两两正交且非零的向量。

如果 n n n维的向量组： a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar 两两正交，那么，它们彼此之间一定线性无关。即不存在一组不为0系数 λ \lambda λ满足：

λ 1 a 1 ⃗ + λ 2 a 2 ⃗ + . . . + λ r a r ⃗ = 0 \lambda_1\vec{a_1}+\lambda_2\vec{a_2}+...+\lambda_r\vec{a_r}=0 λ1a1 +λ2a2 +...+λrar =0

证明很简单，只需要左右同时乘以一个 a 1 ⃗ T \vec{a_1}^T a1 T,发现只有 λ 1 = 0 \lambda_1=0 λ1=0时上式才成立。

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5.向量空间的基与维数

向量空间的定义 ，向量空间 R n \bold{R}^n Rn由所有的n维向量 v ⃗ \vec{v} v 组成，向量中的每个元素都是实数。

设 V \bold{V} V为向量空间，如果 r r r个向量 a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ ∈ V \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r}\in\bold{V} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar ∈V，且满足：

  • a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar 线性无关;
  • V \bold{V} V中任一向量都可由 a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar 线性表示，也就是可由它们生成整个空间。

那么，向量组 a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar 就称为向量空间 V \bold{V} V的一组基， r r r称为向量空间 V \bold{V} V的维数。

对于给定向量空间，虽然会有很多组基，但空间中的任一组基都有相同的向量的数量。

基向量可能不同，但基向量的个数一定相同。

把正交向量组的概念和基的概念融合，设向量组 a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar 是向量空间 V \bold{V} V的一个基，若它们之间彼此正交，那么就称它们是一组规范正交基。

对于一个向量 a ⃗ \vec{a} a ，可以很方便地求出它在规范正交基 a i ⃗ \vec{a_i} ai 下各个维度的坐标 λ i \lambda_i λi：

λ i = a i ⃗ T a ⃗ \lambda_i=\vec{a_i}^T\vec{a} λi=ai Ta

即对于向量 a ⃗ \vec{a} a ，在规范正交基下某一个维度的坐标，等于它和整个维度的正交基向量的内积。

若已知向量空间 V \bold{V} V中的一组基 a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , . . . , a r ⃗ \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_r} a1 ,a2 ,a3 ,...,ar ，如何求 V \bold{V} V的规范正交基呢？

可以使用施密特算法对基进行规范正交化，该算法公式可写成：

b 1 = a 1 b 2 = a 2 − [ b 1 , a 2 ] [ b 1 , b 1 ] b 1 . . . b r = a r − [ b 1 , a 2 ] [ b 1 , b 1 ] b 1 − [ b 2 , a 2 ] [ b 2 , b 2 ] b 2 − . . . − [ b r − 1 , a r − 1 ] [ b r − 1 , b r − 1 ] b r − 1 \begin{align}b_1 &= a_1 \\ b_2 &= a_2 - \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\ ...\\ b_r&=a_r - \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1 - \frac{[b_2,a_2]}{[b_2,b_2]}b_2- ...-\frac{[b_{r-1},a_{r-1}]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1} \end{align} b1b2...br=a1=a2−[b1,b1][b1,a2]b1=ar−[b1,b1][b1,a2]b1−[b2,b2][b2,a2]b2−...−[br−1,br−1][br−1,ar−1]br−1

上式中 [ b 1 , a 2 ] [b_1,a_2] [b1,a2]表示两个向量的内积。

将 b ⃗ \vec{b} b 单位归一化后即可求得规范正交基。

6.正交矩阵

正交矩阵矩阵是转置等于逆的方阵，即满足

A T A = E A^TA = E ATA=E

三个性质，

  • A − 1 = A T A^{-1}=A^T A−1=AT,且都是正交矩阵， d e t ( A ) = ± 1 det(A)=\pm 1 det(A)=±1
  • A和B都是正交矩阵，并且它们阶数一样，那么AB也是正交矩阵
  • A是正交矩阵，向量y经过A变换之后行列式保持不变

7.反对称矩阵

反对称矩阵是一个方阵，其转置矩阵和自身的加法逆元相等，即 A T = − A A^T=-A AT=−A

( A + B ) ∨ = A ∨ + B ∨ (A+B)^{\vee}=A^{\vee}+B^{\vee} (A+B)∨=A∨+B∨

8.齐次坐标与齐次变换矩阵

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标。最后新增的一维值为1或0(无穷远处的点)。

齐次(homogeneous)从字面上解释是"次数相等"的意思。使用齐次坐标的方便之处在于，对笛卡尔点齐次坐标的任何标量的乘积仍然表示同一个笛卡尔点。齐次坐标有规模不变性。因此被称为齐次坐标。如齐次坐标 ( 1 , 2 , 1 ) / ( 2 , 4 , 2 ) / ( 3 , 6 , 3 ) (1,2,1)/(2,4,2)/(3,6,3) (1,2,1)/(2,4,2)/(3,6,3)都表示同一个笛卡尔点 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)。对齐次坐标进行变换的矩阵称为齐次变换矩阵。

9.相似矩阵

A和B都是n×n的方阵，若存在可逆矩阵M，使得 B = M − 1 A M B=M^{-1}AM B=M−1AM，则称A和B互为相似矩阵，记作A~B。相似矩阵具有同样的特征值。

如果A有n个线性无关的特征向量，则A可以对角化为 A = S Λ S − 1 A=SΛS^{-1} A=SΛS−1，相当于 S − 1 A S = Λ S^{-1}AS=Λ S−1AS=Λ，A和其特征值矩阵Λ互为相似矩阵，这里的M=S，是特征向量矩阵。实际上A的相似矩阵有很多，我们可以用任意可逆矩阵M代替S，从而求得其他的相似矩阵，Λ是众多相似矩阵中最简洁的一个。

对于 B = M − 1 A M B=M^{-1}AM B=M−1AM,设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

（1）反身性：A~A

（2）对称性：若A~B，则B~A

（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C

（4）若A~B，则二者的特征值相同、行列式相同、秩相同、迹相同。

（5）若A~B，且A可逆，则B也可逆， A − 1 ∼ B − 1 A^{-1}\sim B^{-1} A−1∼B−1。

10.相似对角化

如果一个方阵 A A A相似于对角矩阵，也就是说存在一个可逆矩阵 P P P使得 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP是对角矩阵，则 A A A就被称为可以相似对角化的。

矩阵
A = [ 1 − 2 − 2 1 ] A=\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 &1 \end{bmatrix} A=[1−2−21]

的相似对角化为
[ − 1 1 − 1 − 1 ] − 1 [ 1 − 2 − 2 1 ] [ − 1 1 − 1 − 1 ] = [ − 1 0 0 3 ] \begin{bmatrix} -1 & 1\\ -1 &-1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 1\\ -1 &-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 &3 \end{bmatrix} [−1−11−1]−1[1−2−21][−1−11−1]=[−1003]

使用numpy计算 A A A的特征值和特征向量可知：

python 复制代码 
from numpy import linalg as LA
import numpy as np
mat = np.array([[1, -2],[-2, 1]])
W, V = LA.eig(mat)
print(W,V)
"""output
[ 3. -1.] 

[[ 0.70710678  0.70710678]
 [-0.70710678  0.70710678]]
"""

对角矩阵中的元素是 A A A的特征值。

相似对角化的好处：

  • 1）相似对角化使得同一个线性变换表达方式变的简单

图片引用自https://zhuanlan.zhihu.com/p/138285148

  • 2）通过相似对角化（实际为坐标轴旋转）可以消去二次型中的交叉项

图片引用自https://zhuanlan.zhihu.com/p/138285148

11.矩阵的特征分解

对于 m × m m\times m m×m的矩阵 A A A的特征值分解为 A = U Λ U − 1 A = U\Lambda U^{-1} A=UΛU−1, U U U的每一列都是特征向量， Λ \Lambda Λ对角线上的元素是从大到小排列的特征值。

当矩阵 A A A是一个对称矩阵时，则存在一个对称对角化分解，即 A = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^T A=QΛQT, Q Q Q的每一列都是相互正交的特征向量，且是单位向量， Λ \Lambda Λ对角线上的元素是从大到小排列的特征值。将矩阵 Q Q Q记作 Q = ( q ⃗ 1 , q ⃗ 2 , . . . , q ⃗ m ) Q=(\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_m) Q=(q 1,q 2,...,q m),则矩阵A可以写为：
A = λ 1 q ⃗ 1 q ⃗ 1 T + λ 2 q ⃗ 2 q ⃗ 2 T + . . . + λ m q ⃗ m q ⃗ m T A = \lambda_1\vec{q}_1\vec{q}_1^T + \lambda_2\vec{q}_2\vec{q}_2^T + ... + \lambda_m\vec{q}_m\vec{q}_m^T A=λ1q 1q 1T+λ2q 2q 2T+...+λmq mq mT

12.奇异值分解SVD

当给定一个大小为 m × n m\times n m×n的矩阵A，虽然矩阵A不一定是方阵，但大小为 m × m m\times m m×m的 A A T AA^T AAT和 n × n n\times n n×n的 A T A A^TA ATA却是对称矩阵，若 A A T = P Λ 1 P T AA^T=P\Lambda_1P^T AAT=PΛ1PT， A T A = Q Λ 2 Q T A^TA=Q\Lambda_2Q^T ATA=QΛ2QT，则矩阵A的奇异值分解为:
A = P Σ Q T A = P\Sigma Q^T A=PΣQT

P的列向量称为矩阵A的左奇异向量 ，Q中的列向量称为矩阵A的右奇异向量 ，矩阵 Λ 1 \Lambda_1 Λ1大小为 m × m m\times m m×m,矩阵 Λ 2 \Lambda_2 Λ2大小为 n × n n\times n n×n,两个矩阵对角线上的非零元素相同，矩阵 Σ \Sigma Σ的大小为 m × n m\times n m×n,位于对角线上的元素称为奇异值 。若矩阵 Λ 1 \Lambda_1 Λ1对角线的非零元素为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ k \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k λ1,λ2,...,λk,这些特征值也都是非负的，且 Λ 2 \Lambda_2 Λ2与 Λ 1 \Lambda_1 Λ1对角线上的非零元素相同，则矩阵 Σ \Sigma Σ对角线上的元素为：

σ 1 = λ 1 , σ 2 = λ 2 , . . . , σ k = λ k , \sigma_1 = \sqrt{\lambda_1},\sigma_2 = \sqrt{\lambda_2},...,\sigma_k = \sqrt{\lambda_k}, σ1=λ1 ,σ2=λ2 ,...,σk=λk ,

在奇异值分解中，较大的奇异值会决定原矩阵的"主要特征"，可以使用奇异值分解的低秩逼近来截取原矩阵中的主要成分。numpy.linalg中提供了 . s v d .svd .svd函数可用来计算矩阵的奇异值分解：

python 复制代码 
from numpy import linalg as LA
import numpy as np
mat = np.array([[4, 4],[-3, 3]])
u,s,v = LA.svd(mat)
print(u)
print(s)
print(v)
"""output
[[-1.00000000e+00  0.00000000e+00]
 [ 3.70074342e-18  1.00000000e+00]]

[5.65685425 4.24264069]

[[-0.70710678 -0.70710678]
 [-0.70710678  0.70710678]]
"""

12.1 SVD求齐次矩阵方程的最小二乘解





13.满秩分解

取自《矩阵论》p179

设A为 m × n m\times n m×n且秩为 r > 0 r\gt0 r>0的复矩阵，记为 A ∈ C r m × n A\in\mathbb{C}_r^{m\times n} A∈Crm×n，如果存在矩阵 B ∈ C r m × r B\in \mathbb{C}^{m\times r}_r B∈Crm×r和 C ∈ r × n r C\in\mathbb{r\times n}_r C∈r×nr，使得 A = B C A=BC A=BC,则称 B , C B,C B,C为矩阵A的最大秩分解，满秩分解。

设 A ∈ C r m × n A\in\mathbb{C}_r^{m\times n} A∈Crm×n，则一定存在 B ∈ C r m × r B\in \mathbb{C}_r^{m\times r} B∈Crm×r和 C ∈ C r r × n C\in \mathbb{C}_r^{r\times n} C∈Crr×n,使得 A = B C A=BC A=BC

例如求矩阵A的满秩分解：

A = [ 1 4 − 1 5 6 2 0 0 4 6 − 1 2 − 4 − 4 − 19 1 − 2 − 1 − 1 − 6 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & 5 & 6\\ 2 & 0 & 0 & 4 & 6\\ -1 & 2 & -4 & -4 & -19\\ 1 & -2 & -1 & -1 & -6 \end{bmatrix} A= 12−11402−2−10−4−154−4−166−19−6

A进行初等行变换化为行标准形为：

A ≃ [ 1 0 0 2 3 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5 0 0 0 0 0 ] A\simeq\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A≃ 10000100001021103250

取A的前三列组成矩阵

B = [ 1 4 − 1 2 0 0 − 1 2 − 4 1 − 2 − 1 ] B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1\\ 2 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -4\\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} B= 12−11402−2−10−4−1

再取A的行标准形的前三个非零行，组成矩阵
C = [ 1 0 0 2 3 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5 ] C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5\\ \end{bmatrix} C= 100010001211325

可以求得 A = B C A=BC A=BC

14.Pseudo-Inverse Matrix

1920年摩尔提出广义逆的概念，1955年以4个方程的形式给出了广义逆矩阵的定义。

定义：设 A ∈ R m × n A\in\mathbb{R}^{m\times n} A∈Rm×n，若存在 n × m n\times m n×m阶矩阵G，同时满足：
A G A = A G A G = G ( A G ) T = A G ( G A ) T = G A AGA=A \\ GAG=G \\ {(AG)}^T=AG \\ {(GA)^T}=GA AGA=AGAG=G(AG)T=AG(GA)T=GA

则称G为A的加号逆，或伪逆，或摩尔彭斯逆(Moore--Penrose pseudoinverse),通常记为 A + A^+ A+

对于任意 A ∈ R m × n A\in \mathbb{R}^{m\times n} A∈Rm×n,其伪逆存在且唯一。

伪逆的求法:

  • (1)如果A为满秩方阵，则 A + = A − 1 A^+=A^{-1} A+=A−1
  • (2)如果 A = d i a g ( d 1 , d 2 , . . . , d n ) A=diag(d_1,d_2,...,d_n) A=diag(d1,d2,...,dn), d i ∈ R ( i = 1 , 2 , . . , n ) d_i\in\mathbb{R}(i=1,2,..,n) di∈R(i=1,2,..,n),则
    A + = d i a g ( d 1 + , d 2 + , . . . d n + ) , 其中 , d i + = { 0 , d i = 0 时 1 d i , d i ≠ 0 时 A^+ = diag(d_1^+,d_2^+,...d_n^+),\\其中,d_i^+=\left\{\begin{matrix} 0,d_i=0时 \\ \frac{1}{d_i},d_i\neq0时 \end{matrix}\right. A+=diag(d1+,d2+,...dn+),其中,di+={0,di=0时di1,di=0时
  • (3)如果A为行满秩矩阵，
    A + = A R − 1 = A T ( A A T ) − 1 A^+=A_R^{-1}=A^T(AA^T)^{-1} A+=AR−1=AT(AAT)−1
  • (4)如果A为列满秩矩阵，
    A + = A L − 1 = ( A T A ) − 1 A T A^+ = A_L^{-1} = (A^TA)^{-1}A^T A+=AL−1=(ATA)−1AT
  • (5)如果A为降秩的 m × n m\times n m×n矩阵，可用满秩分解求 A + A^+ A+,即将A满秩分解为 A = B C A=BC A=BC,其中B列满秩，C行满秩，且
    r a n k ( B ) = r a n k ( C ) = r = r a n k ( A ) < m i n m , n , rank(B) = rank(C) = r = rank(A) \lt min{m,n}, rank(B)=rank(C)=r=rank(A)<minm,n,
    则有：
    A + = C R − 1 B L − 1 = C + B + A^+ = C_R^{-1}B_L^{-1} = C^{+}B^+ A+=CR−1BL−1=C+B+
    这里：
    B L − 1 = ( B T B ) − 1 B T , C R − 1 = C T ( C C T ) − 1 B_L^{-1} = (B^TB)^{-1}B^T,C_R^{-1}=C^T(CC^T)^{-1} BL−1=(BTB)−1BT,CR−1=CT(CCT)−1
python 复制代码 
from numpy import linalg as LA
import numpy as np
A = np.array([[1,1,0,1,0],[0,1,1,1,1],[1,0,1,1,0]])
LA.pinv(A)
"""output
array([[ 0.33333333, -0.33333333,  0.33333333],
       [ 0.5       ,  0.25      , -0.5       ],
       [-0.5       ,  0.25      ,  0.5       ],
       [ 0.16666667,  0.08333333,  0.16666667],
       [-0.16666667,  0.41666667, -0.16666667]])
"""

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