题库链接：https://leetcode.cn/problem-list/e8X3pBZi/

题目	解决方案
[剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	双指针（异向） ⭐
[剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	排序 + 双指针（异向） ⭐
[剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	双指针：滑动窗口（同向）⭐
[剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	双指针：滑动窗口（同向）⭐
[剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	前缀和：哈希表优化 ⭐
[剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	前缀和：哈希表优化 ⭐
[剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	前缀和：后缀和的互补 ⭐
[剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和](#题目解决方案剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数排序 + 双指针（异向） ⭐ 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组双指针：滑动窗口（同向）⭐ 剑指 Offer II 010. 和为 k 的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 011. 0 和 1 个数相同的子数组前缀和：哈希表优化 ⭐ 剑指 Offer II 012. 左右两边子数组的和相等前缀和：后缀和的互补 ⭐ 剑指 Offer II 013. 二维子矩阵的和二维前缀和 ⭐)	二维前缀和 ⭐

使用双指针解决子数组之和的面试题有一个前提条件------数组中的所有数字都是正数 。如果数组中的数字含有正数、负数和零，那么双指针的思路并不适用，这是因为当数组有负数时，在子数组中添加数字并不一定能增加子数组的和，删除数字也不一定减少。此时，我们就需要使用通解前缀和来求解子数组之和，。

1. 剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和 -- P15

从一个升序数组中，找出两个数满足相加之和等于目标数 target 的下标；

1.2 双指针：首尾指针 -- O(n)（⭐）

时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

java 复制代码

class Solution {
    // 1. 双指针
    public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {
        int l = 0, r = numbers.length -1;
        while (l < r){
            int sum = numbers[l] + numbers[r];
            if (sum > target) r--;
            else {
                if (numbers[l] + numbers[r] == target) return new int[]{l,r};
                l++;
            } 
        }
        return new int[2];
    }
}

PS：补充知识1 -【双指针模板】

① 双指针 -- O(n)

java 复制代码

// i 是 自然遍历到 n的
// 在每个 i 中都会求一下 j, j 代表的是符合当前条件下的位置（j 往左最远能到上什么地方 ）
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
    // 每道问题的具体逻辑
}
// 常见问题分类：
//   (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
//   (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

② 模板题

2. 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数 -- P17

给你一个整数数组 nums ，判断是否存在三元组满足 nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0，且不重复，返回所有和为 0 且不重复的三元组。

2.1 排序 + 双指针 -- O(n²)（⭐）

时间复杂度 O ( n l o g n ) + O ( n 2 ) O(nlogn) + O(n^2) O(nlogn)+O(n2)，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

java 复制代码

class Solution {
    // 1. 排序 + 双指针
    public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

        if (n >= 3) {
            Arrays.sort(nums);  // 对数组排序

            for (int i = 0; i < n-2; ){
                twoSum(nums, i, res);

                while (i < n-1 && nums[i] == nums[++i]);  // 去重：由于是排序数组，所以可以直接判断 nums[i]和nums[i+1]是不是相等的
            }
        }
        return res;
    }

    // 固定一个数，移动两个数，求三数之和是否满足 target
    public void twoSum(int[] nums, int i, List<List<Integer>> res) {
        int j = i + 1, k = nums.length-1;

        while (j < k) {
            int sum = nums[i] + nums[j] + nums[k];
            if (sum == 0) {
                res.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k]));
                
                while (j < k && nums[j] == nums[++j]);  // 去重
            }
            else if (sum > 0) k--;
            else j++;
        }
    }
}

PS：补充知识1 - 【快排 & 归并模板】

① 快速排序 -- O(nlogn)

java 复制代码

// Java Template
public static void quickSort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q, i, j);
    }
    quickSort(q, l, j);
    quickSort(q, j + 1, r);
}

public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

② 归并排序 -- O(nlogn)

java 复制代码

// Java Template
public static void mergeSort(int[] q, int[] tmp, int l, int r) {
    if(l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    mergeSort(q, tmp, l, mid);
    mergeSort(q, tmp, mid+1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid+1;
    
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] < q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else tmp[k++] = q[j++];
    }
    
    while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    
    for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j];
}

③ 模板题（4道）

3. 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组 -- P18

给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 target，找出该数组中满足其和 ≥ target 的长度最小的连续子数组，并返回其长度。

3.1 双指针：滑动窗口 -- O(n)（⭐）

时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

java 复制代码

// 1. 双指针：同向 （滑动窗口）
// 更习惯上的写法：
// 动画演示可参考：https://leetcode.cn/problems/2VG8Kg/solution/he-da-yu-deng-yu-target-de-zui-duan-zi-s-ixef/
class Solution {
    public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int res = n + 10;  // 一般设置大小，习惯上是真实大小+10
        int sum = 0;  // 记录连续子数组的和
        for (int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
            sum += nums[i];  // 每循环一次加一次
            while (sum >= target) {  // 满足条件基本条件后，开始移动j，来缩小范围            
                res = Math.min(res, i-j+1);
                sum -= nums[j++];
            }
        }
        return res == n+10 ? 0 : res;
    }
}

3.2 前缀和 + 二分 -- O(nlogn)

时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

java 复制代码

class Solution {
    public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] sum = new int[n+10];
        int res = n + 10;

        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1] + nums[i-1];  // 习惯上，从 1 开始构建前缀和

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int d = sum[i] - target;
            int l = 0, r = i;
            while (l < r) {  // 找右端点的二分
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (d >= sum[mid]) l = mid;  // sum[i] - sum[mid] >= target
                else r = mid-1;
            }
            // System.out.println(l==r); true
            if (d >= sum[r]) res = Math.min(res, i - r);
        }
        return res == n+10 ? 0 : res;
    }
}

PS：补充知识1 - 【前缀和 & 差分模板】(一维)

① 一维前缀和 S[n] = a[1] + ... + a[n]

💡 应用：快速求出一段区域的和（通过一次运算，算出任意一段区间所有数的和），例如 [ l , r ] = S [ r ] − S [ l − 1 ] [l, r] = S[r] - S[l-1] [l,r]=S[r]−S[l−1];

构建前缀和： S [ i ] = a [ 1 ] + a [ 2 ] + . . . a [ i ] S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i] S[i]=a[1]+a[2]+...a[i]；
求区分范围： a [ l ] + . . . + a [ r ] = S [ r ] − S [ l − 1 ] a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1] a[l]+...+a[r]=S[r]−S[l−1]；

算法模板：

c 复制代码

const int N=100010;
int a[N];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]+a[i];
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
    }
    return 0;
}

② 一维差分数组 b[i] = a[i] - a[i-1]

💡 应用：快速帮助我们实现 a 数组在 [l, r] 范围上的统一运算（+c）

让 b[l] + c

让 b[r+1] - c

构建差分： b [ i ] = a [ i ] − a [ i − 1 ] b[i] = a[i] - a[i-1] b[i]=a[i]−a[i−1];
范围运算： b [ l ] + = c , b [ r + 1 ] − = c b[l] + = c, b[r+1] - = c b[l]+=c,b[r+1]−=c；
反求前缀和： b [ i ] + = b [ i − 1 ] b[i] += b[i - 1] b[i]+=b[i−1]；

算法模板：

c 复制代码

using namespace std;
int a[100010],s[100010];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];   
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=a[i]-a[i-1];// 读入并计算差分数组
    while(m--){
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        s[l]+=c;
        s[r+1]-=c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i]+=s[i-1];
        cout<<s[i]<<' ';
    }  // 给差分数组计算前缀和，就求出了原数组
    return 0;
}

③ 模板题（2道）

AcWing 795. 前缀和【一维】
AcWing 797. 差分【一维】

PS：补充知识2 - 【滑动窗口】

更多内容可参考：

【LeetCode】剑指 Offer Ⅱ 第2章：数组（8道题） -- Java Version

1. 剑指 Offer II 006. 排序数组中两个数字之和 -- P15

1.2 双指针：首尾指针 -- O(n)（⭐）

PS：补充知识1 -【双指针模板】

① 双指针 -- O(n)

② 模板题

2. 剑指 Offer II 007. 数组中和为 0 的三个数 -- P17

2.1 排序 + 双指针 -- O(n2)（⭐）

PS：补充知识1 - 【快排 & 归并模板】

① 快速排序 -- O(nlogn)

② 归并排序 -- O(nlogn)

③ 模板题（4道）

3. 剑指 Offer II 008. 和大于等于 target 的最短子数组 -- P18

3.1 双指针：滑动窗口 -- O(n)（⭐）

3.2 前缀和 + 二分 -- O(nlogn)

PS：补充知识1 - 【前缀和 & 差分模板】(一维)

① 一维前缀和 S[n] = a[1] + ... + a[n]

② 一维差分数组 b[i] = a[i] - a[i-1]

③ 模板题（2道）

PS：补充知识2 - 【滑动窗口】

2.1 排序 + 双指针 -- O(n²)（⭐）