数学知识(二)

一、裴蜀定理

对于任意整数a,b，一定存在非零整数x,y，使得 ax + by = gcd(a,b)

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = exgcd(b,a % b,y,x);
    
    y -= a / b * x;
    
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    while(n --)
    {
        int a,b,x,y;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        
        exgcd (a,b,x,y);
        
        printf("%d%d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

二、高斯消元

步骤:枚举每一列，取列c

• 1、找到绝对值最大的一行
• 2、将该行换到最上面
• 3、将该行第一个数变为1(与该行其它数的比值不改变)
• 4、将下面所有行的第c列消为零

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;

int n;
double a[N][N];

int gauss()
{
    int c,r;
    for(c = 0,r = 0; c < n;c ++)
    {
        //找到绝对值最大的一行
        int t = r;
        for(int i = r; i < n; i ++)
            if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i;

        if(fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        //将该行换到最上方
        for(int i = c;i <= n;i ++) swap(a[t][i],a[r][i]);
        //将该行第一个数变为1
        for(int i = n;i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
        //将下面所有行消为0
        for(int i = r + 1;i < n;i ++)
            if(fabs(a[i][c]) > eps)
               for(int j = n;j >= c;j --)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++;
    }
    if(r < n)
    {
        for(int i = r;i < n;i ++)
            if(fabs(a[i][n]) > eps)
               return 2; //无解

        return 1; //有无穷多组解
    }
    
    for(int i = n - 1;i >= 0;i --)
        for(int j = i + 1;j < n;j ++)
           a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
    
    return 0; //存在唯一的解
}

三、求组合数

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 2010,mod = 1e9 + 7;
int c[N][N];

//初始化
void init()
{
    for(int i = 0;i < N;i ++)
        for(int j = 0;j <= i;j ++){
            if(!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
        }

}
int main()
{
    init();

    int n;
    scanf("%d",&n);

    while(n --)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);

        printf("%d\n",c[a][b]);
    }
    return 0;
}

第二种方法:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 100010,mod = 1e9 + 7;

int fact[N],infact[N];

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = (LL) res *a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for(int i = 1;i < N;i ++)
    {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i,mod - 2,mod) % mod;
    }

    int n;
    scanf("%d",&n);

    while(n --)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",(LL)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod);
    }
    return 0;
}