题解 | #1002.Random Nim Game# 2023杭电暑期多校7

1002.Random Nim Game

诈骗博弈题

题目大意

Nim是一种双人数学策略游戏，玩家轮流从不同的堆中移除棋子。在每一轮游戏中，玩家必须至少取出一个棋子，并且可以取出任意数量的棋子，条件是这些棋子都来自同一个棋子堆。走最后一步棋（即取出最后一块棋子）的人获胜。

现在更改游戏规则，在每个回合中，棋手必须选择一个棋子堆。假设他选择的堆包含 x x x 个棋子，将从 [ 1 , x ] [1,x] [1,x] 中随机一个整数 y y y ，并从堆中移除 y y y 个棋子

求先手获胜的概率，答案取模

解题思路

看起来很吓人的一道题（谁被吓退了我不说）//

考虑只有一个堆的情况

若只有 1 1 1 个棋子，先手必胜

如果有 2 2 2 个棋子，有 1 2 \dfrac{1}{2} 21 的概率拿完获胜，有 1 2 \dfrac{1}{2} 21 的概率余 1 1 1 失败，综合胜率 1 2 \dfrac{1}{2} 21
⋮ \vdots ⋮

如果有 x ( x > 1 ) x\ (x>1) x (x>1) 个棋子，有 n − 2 n \dfrac{n-2}{n} nn−2 的概率转移到 剩余个数 > 1 >1 >1 的状态，有 1 n \dfrac{1}{n} n1 的概率拿完获胜，有 1 n \dfrac{1}{n} n1 的概率余 1 1 1 失败。递归得到 x > 1 x>1 x>1 的状态下的综合胜率为 1 2 \dfrac{1}{2} 21

再考虑多堆的情况

如果所有堆的棋子数量均为 1 1 1 ，则当堆数 n n n 为奇数时先手必胜

如果有某堆的数量多于 1 1 1 个，那么必胜态将以 1 2 \dfrac{1}{2} 21 的概率流转

综上所述，如果所有堆的棋子数量均为 1 1 1 ，则当堆数 n n n 为奇数时先手必胜， n n n 为偶数时先手必败，其余情况综合胜率 1 2 \dfrac{1}{2} 21

参考代码

参考代码为已AC代码主干，其中部分功能需读者自行实现

void solve()
{
    ll n;cin >> n;ll mx=0,t;
    FORLL(i,1,n){
        cin >> t;
        mx=max(mx,t);
    }if(mx>1) cout << inv(2) << endl;
    else if(n%2) cout << 1 << endl;
    else cout << 0 << endl;
}