视图矩阵推导

线性代数知识背景

1.基本概念

若 α 1，α 2，...，α n 是 n 维空间 R n 中的线性无关 的向量组，则任一向量 β ∈R n 均可由 α 1，α 2，...，α n 线性表示，即 β = k1*α 1 + k2*α 2 + ... + kn*α n,，称有序向量组 α 1，α 2，...，α n是 R n 的一个基 ，基向量的个数 n 称为向量空间的维数 ，而 [k1，k2，...，kn] 称为向量 β 在基α 1，α 2，...，α n下的坐标 ，或称为 β 的坐标行（列）向量。

2.基变换、坐标变化

定理1： 若 α 1，α 2，...，α n 和 β 1，β 2，...，β n 是R n中的两个基，且有关系 [α 1，α 2，...，α n] = [β 1，β 2，...，β n] * C ，则称此式为由基β 1，β 2，...，β n 到基 α 1，α 2，...，α n 的基变换公式 ，矩阵C 称为由基 β 1，β 2，...，β n 到基 α 1，α 2，...，α n 的过渡矩阵 ， C 的第 i 列是α i 在基 β 1，β 2，...，β n 下的坐标列向量，且过渡矩阵 C 是可逆矩阵。

定理2 ： 设 γ 在基 α 1，α 2，...，α n 和 β 1，β 2，...，β n 下的坐标分别是y =[y1,y2,...,yn]，x =[x1,x2,...xn]，即 γ = [α 1，α 2，...，α n]*y = [β 1，β 2，...，β n]*x ； 若基 β 1，β 2，...，β3 到基α 1，α 2，...，α n 过渡矩阵为 C ，即 [α 1，α 2，...，α n] = [β 1，β 2，...，β n] * C ，则γ = [α 1，α 2，...，α n]*y = [β 1，β 2，...，β n]*x = [β 1，β 2，...，β n]*C *y ，得x = C *y ，此式称为坐标变换公式 。(过渡矩阵C可通过基所构成的逆矩阵求得)

空间中对边向量相等的四边形是平行四边形

视图矩阵推导

已知α 1，α 2，α 3为世界坐标系的基，β 1，β 2，β 3作为相机坐标系的基，且基α 1，α 2，...，α n 到基 β 1，β 2，...，β n 的过渡矩阵为M ；在世界坐标系中有点P(x，y，z)、向量α(x，y，z)，求P点在相机坐标系中的坐标。

世界坐标系中，可将α 看作过起点o1 (0，0，0)和终点P 的向量，由定理2可得，在相机坐标系中向量α 可表示 β= α*M ；相机坐标系中将β 看作过起点o2 (0，0，0)和终点P1 (坐标同 β 坐标) 的向量；α、β表示三维空间中的同一向量，故四边形 o1，o2，P1，P为平行四边形，则向量(o1，o2)与向量(P，P1)为三维空间中的同一向量；在相机空间中，点o1，o2，P1坐标已知，所以点P在相机空间的坐标易得。

个人理解，不当之处，请各位大佬指出~~~