矩阵定理复习记录

矩阵复习

矩阵导数定理

若A是一个如下矩阵：
A = a 11 a 12 a 21 a 22 A= \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} A=a11a21a12a22

y是一个向量矩阵：
y ⃗ = y 1 y 2 \vec{y}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix} y =y1y2

则可得 text 定理：
δ A ∗ y ⃗ δ y ⃗ = A T \frac{δA*\vec{y}}{δ\vec{y}} = A^T δy δA∗y =AT
也就是对A*y的矩阵，求偏导y，结果为A的转置矩阵；

还可得另一个定理：
δ y ⃗ T ∗ A y ⃗ δ y ⃗ = A y ⃗ + A T y ⃗ \frac{δ\vec{y}^T*A\vec{y}}{δ\vec{y}} = A\vec{y}+ A^T\vec{y} δy δy T∗Ay =Ay +ATy
若A是一个对称矩阵，也就是 A T = A A^T=A AT=A，则上面的还会等于
2 A y ⃗ 2A\vec{y} 2Ay

δ符号表示求导， y ⃗ 表示一个向量 \vec{y}表示一个向量 y 表示一个向量

这部分的推导过程可参考此篇视频

矩阵平方定理

若矩阵A满足相乘原则，则有定理：
A 2 = A T ∗ A A^2 = A^T*A A2=AT∗A