完全背包理论基础
与01 背包不同的点就在遍历顺序 上，01背包详见
思路
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方 就是，每种物品有无限件 。
同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是基于完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题。
例子：
背包最大重量为4(暂且命名为bagSize)。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个！问背包能背的物品最大价值是多少？
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，其他逻辑一样，所以就不用动规五部曲一步一步分析，直接针对遍历顺序进行分析！
遍历顺序
首先再回顾一下01背包的核心代码
java
for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for(int j = bagSize; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量 - 倒序遍历
// 递推公式
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，递推依赖的是上一层左边的值 ，因此一维数组需要从后往前遍历，目的是为了保证每个物品仅被添加一次 。
而完全背包的物品是可以添加多次 的，递推依赖的是同层左边的值，因此一维数组遍历就需要从前往后遍历，即：
java
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}dp状态图如下：
for循环顺序
其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
在01背包中二维dp数组 的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，而一维dp数组 的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
因为根据递推公式，dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的，也就是当层左边的值 。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：（顺序一行一行遍历 ）
遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：（顺序为一列一列遍历 ）
看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
先遍历背包在遍历物品，代码如下：
java
// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量 - j从0
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
// j够大才考虑装
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}完整的代码如下：
java
// 先遍历物品，在遍历背包
public void testCompletePack() {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagSize + 1];
for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
java
//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
if (i - weight[j] >= 0){
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
}
}
}
for (int maxValue : dp){
System.out.println(maxValue + " ");
}
}最后，估计又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现 ，然后再用一维dp数组实现 ，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？ 这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
518 零钱兑换Ⅱ
不夸张的说，遍历顺序 - 排序与组合想了我一个下午...
思路
这是一道典型的背包问题，钱币数量不限，就知道这是一个完全背包 。
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列 了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 这其实在回溯中也遇到过两个之间的区分
✍手写分析
动规五部曲（❗❗❗特别注意遍历顺序）
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
与 494 目标和 同理
- dp数组如何初始化
dp[0] = 1; 可以理解成啥都不装就是一种装法。
- 确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
排列只能外层物品内层背包！
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序 。
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：
cpp
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
cpp
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
（这里建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！实践出真知 ）
根据上图就很清晰，左边为外层物品内层背包 （从左到右 从上到下 ）：
可以看出在第一次遍历时候，dp[2 3 4]都没有加完，就被后面的数相加了。最终得到组合的个数，而这没有相加的数就是排列的数。
再看右边为外层背包内层物品 （从上到下 从左到右 ）：
每一个物品先加完之后，后面的值才加，最终得到排列的个数。
因此可得结论，左边（外层物品内层背包 ）更像"雨露均沾"，沾上nums.length次得到组合的个数
而右边（外层背包内层物品 ）更像搞完一单再搞下一单，后面的值是在前面所有的组合基础上加，得到的是排列的个数
- 举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
最后红色框dp[amount]为最终结果。
以上分析完毕，代码如下：
java
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount + 1];
dp[0] = 1;
// 外层物品内层背包 - 组合
for (int i = 0; i <= coins.length - 1; i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
return dp[amount];
}- 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
- 空间复杂度: O(m)
总结
本题与 494 目标和 同理，而难点在于遍历顺序！
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包 。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
377 组合总和 Ⅳ
思路
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
弄清什么是组合，什么是排列很重要。
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
在刷回溯算法专题的时候，39 组合总和 和 40 组合总和II 会感觉这两题和本题很像！
但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数 ，并不是把所有的排列都列出来 。
注意如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。
动规五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
- 确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。
因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。
这种问题递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题也一样。
- dp数组如何初始化
dp[0] = 1; 凑成0，不装就是一种方法
- 确定遍历顺序
外循环背包，内循环物品 。
上一题的难点与重点，仔细分析过排序和组合的情况。结论如下：
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包 。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品 。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
- 举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下：
如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样。
以上分析完毕，代码如下：
java
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j <= target;j++){
for (int i = 0;i < nums.length;i++){
if (j >= nums[i]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}- 时间复杂度: O(target * n)，其中 n 为 nums 的长度
- 空间复杂度: O(target)
总结
求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！
今天的难点与重点也在排序和组合的遍历顺序问题 ！
本题与 518 零钱兑换 与 377 组合总和Ⅳ 就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。
如果对遍历顺序没有深度理解的话，做这种完全背包的题目会很懵逼，因此强烈建议如题解中用手模拟两个不同循环过程，实验出真知！
学习资料：