二叉树的性质和完全二叉树的性质

二叉树的性质：

1. 在二叉树的第i层至多有 2 i + 1 ( i > = 1 ) 2^{i+1}(i>=1) 2i+1(i>=1)

2. 深度为k的二叉树最多有 2 k − 1 2^k-1 2k−1个结点

3. 对于任意一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n 0 n_0 n0，度为2的结点数为 n 2 n_2 n2,则 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1

   证明：

   除了根结点，其他所有结点的脑袋上都有一根线，所以 l = n − 1 l = n -1 l=n−1

   而二叉树中结点有度为1的结点（叶子结点），度为1的结点，度为2的结点，度代表屁股下面有几条线，所以就有 l = 0 ∗ n 0 + 1 ∗ n 1 + 2 ∗ n 2 l = 0*n_0+1*n_1+2*n_2 l=0∗n0+1∗n1+2∗n2， n = n 0 + n 1 + n 2 n = n_0+n_1+n_2 n=n0+n1+n2

   三条方程解得： n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1

完全二叉树的性质：

1. 具有 n n n个结点的完全二叉树的深度为 l o g 2 n + 1 ( x 表示不大于 x 的最大整数 ) log_2n+1(x表示不大于x的最大整数) log2n+1(x表示不大于x的最大整数)

2. 对于任意一个结点 （ 1 < = i < = n ） （1<=i<=n） （1<=i<=n）：

   • 如果i==1，则结点i即为二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲结点为 i / 2 i/2 i/2
   • 如果 2 i > n 2i>n 2i>n，则结点 i i i无左孩子（结点 i i i为叶子结点）；否则其左孩子结点为 2 i 2i 2i
   • 如果 2 i + 1 > n 2i+1>n 2i+1>n，则结点 i i i无右孩子，否则其右孩子为 2 i + 1 2i+1 2i+1