这道题源自23版李林880的矩阵章节，题目如下：
设矩阵 A = 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 A=\left \\begin{matrix} 1 \& -1 \& -1 \& -1 \\\\ -1 \& 1 \& -1 \& -1 \\\\ -1 \& -1 \& 1 \& -1 \\\\ -1 \& -1 \& -1 \& 1 \\end{matrix} \\right A= 1−1−1−1−11−1−1−1−11−1−1−1−11 ，则 A n ( n ≥ 1 ) = ? A^n(n \geq 1)=? An(n≥1)=?
个人解法如下：
先将矩阵 A A A 拆分成一个秩为 1 的矩阵和数量矩阵之和，即：
A = − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 2 1 1 1 1 = B + 2 E A = \left \\begin{matrix} -1 \& -1 \& -1 \& -1 \\\\ -1 \& -1 \& -1 \& -1 \\\\ -1 \& -1 \& -1 \& -1 \\\\ -1 \& -1 \& -1 \& -1 \\end{matrix} \\right + 2 \left \\begin{matrix} 1 \& \& \& \\\\ \& 1 \& \& \\\\ \& \& 1 \& \\\\ \& \& \& 1 \\end{matrix} \\right = B + 2E A= −1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1 +2 1111 =B+2E
秩为 1 的矩阵 B B B 有性质： B k = t r ( B ) k − 1 B = ( − 4 ) k − 1 B B^k = tr(B)^{k-1} B = (-4)^{k-1} B Bk=tr(B)k−1B=(−4)k−1B，需要特别注意 k ≥ 1 k \geq 1 k≥1
因此有：
A n = ( B + 2 E ) n = ∑ k = 0 n C n k ( 2 E ) n − k B k （将 k = 0 的项提出去） = C n 0 ( 2 E ) n B 0 + ∑ k = 1 n C n k ( 2 E ) n − k B k （运用秩一矩阵的性质） = 2 n E + ∑ k = 1 n C n k 2 n − k ( − 4 ) k − 1 B = 2 n E − 1 4 B ∑ k = 1 n C n k 2 n − k ( − 4 ) k （凑二项式展开公式） = 2 n E − 1 4 B ∑ k = 0 n C n k 2 n − k ( − 4 ) k − C n 0 2 n ( − 4 ) 0 （逆用二项式展开公式） = 2 n E − 1 4 B ( 2 − 4 ) n − 2 n = 2 n E − 1 4 B ( − 2 ) n − 2 n = 2 n E + 2 n − ( − 2 ) n 4 B \begin{aligned} A^n &= (B+2E)^n \\ &= \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} (2E)^{n-k} B^{k} \\ （将k=0的项提出去）&= C_{n}^{0} (2E)^{n} B^{0} + \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} (2E)^{n-k} B^{k} \\ （运用秩一矩阵的性质）&= 2^{n}E + \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k-1} B \\ &= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left \\sum_{k=1}\^{n} C_{n}\^{k} 2\^{n-k} (-4)\^{k} \\right \\ （凑二项式展开公式）&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left \\sum_{k=0}\^{n} C_{n}\^{k} 2\^{n-k} (-4)\^{k} - C_{n}\^{0} 2\^{n} (-4)\^{0} \\right \\ （逆用二项式展开公式）&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left (2-4)\^{n} - 2\^{n} \\right \\ &= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left (-2)\^{n} - 2\^{n} \\right \\ &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\ \end{aligned} An（将k=0的项提出去）（运用秩一矩阵的性质）（凑二项式展开公式）（逆用二项式展开公式）=(B+2E)n=k=0∑nCnk(2E)n−kBk=Cn0(2E)nB0+k=1∑nCnk(2E)n−kBk=2nE+k=1∑nCnk2n−k(−4)k−1B=2nE−41Bk=1∑nCnk2n−k(−4)k=2nE−41Bk=0∑nCnk2n−k(−4)k−Cn02n(−4)0=2nE−41B(2−4)n−2n=2nE−41B(−2)n−2n=2nE+42n−(−2)nB
李林880给出的解法是找规律，参考答案为：
A n = { 4 k − 1 A , n = 2 k − 1 4 k E , n = 2 k ( k = 1 , 2 , . . . ) A^n= \begin{cases} 4^{k-1} A, & n=2k-1 \\ 4^{k} E, & n=2k \\ \end{cases} (k=1,2,...) An={4k−1A,4kE,n=2k−1n=2k(k=1,2,...)
可以证明，个人答案与参考答案是一致的。
（1）当 n n n 是奇数，则：
A n = 2 n E + 2 n − ( − 2 ) n 4 B = 2 n E + 2 n + 2 n 4 B = 2 n E + 2 n − 1 B = 2 n − 1 ( 2 E + B ) = 2 n − 1 A （令 n = 2 k − 1 ） = 2 2 ( k − 1 ) A = 4 k − 1 A \begin{aligned} A^n &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E + \frac{2^{n} + 2^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E + 2^{n-1} B \\ &= 2^{n-1} (2E+B) \\ &= 2^{n-1} A \\ （令n=2k-1）&= 2^{2(k-1)} A \\ &= 4^{k-1} A \\ \end{aligned} An（令n=2k−1）=2nE+42n−(−2)nB=2nE+42n+2nB=2nE+2n−1B=2n−1(2E+B)=2n−1A=22(k−1)A=4k−1A
（2）当 n n n 是偶数，则：
A n = 2 n E + 2 n − ( − 2 ) n 4 B = 2 n E + 2 n − 2 n 4 B = 2 n E （令 n = 2 k ） = 2 2 k E = 4 k E \begin{aligned} A^n &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - 2^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E \\ （令n=2k）&= 2^{2k} E \\ &= 4^{k} E \\ \end{aligned} An（令n=2k）=2nE+42n−(−2)nB=2nE+42n−2nB=2nE=22kE=4kE