三维空间的线性变换仍是由基向量的去向完全决定。
x方向的单位向量 i^\hat{i}i^
y方向的单位向量 j^\hat{j}j^
z方向的单位向量 k^\hat{k}k^
i^=100,j^=010,k^=001 \hat{i} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\quad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\quad \hat{k} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} i^= 100 ,j^= 010 ,k^= 001
现在有某种线性变换作用在整个空间上，我们记录基向量分别落在：
i^=x1y1z1,j^=x2y2z2,k^=x3y3z3 \hat{i} = \begin{bmatrix} x1\\ y1\\ z1 \end{bmatrix},\quad \hat{j} = \begin{bmatrix} x2\\ y2\\ z2 \end{bmatrix},\quad \hat{k} = \begin{bmatrix} x3\\ y3\\ z3 \end{bmatrix} i^= x1y1z1 ,j^= x2y2z2 ,k^= x3y3z3
把这三个新的基向量并排放在一起，就得到了描述这个变换的矩阵：
x1x2x3y1y2y3z1z2z3 \begin{bmatrix} x1 & x2 & x3 \\ y1 & y2 & y3 \\ z1 & z2 & z3\end{bmatrix} x1y1z1x2y2z2x3y3z3
同二维一样，要想知道一个向量经过变换后的位置，可以这么计算：
x1x2x3y1y2y3z1z2z3abc=ax1y1z1+bx2y2z2+cx3y3z3=ax1+bx2+cx3ay1+by2+cy3az1+bz2+cy3 \begin{bmatrix} x1 & x2 & x3 \\ y1 & y2 & y3 \\ z1 & z2 & z3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} x3 \\ y3 \\ z3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax1 + bx2 + cx3 \\ ay1 + by2 + cy3 \\ az1 + bz2 + cy3 \end{bmatrix} x1y1z1x2y2z2x3y3z3 abc =a x1y1z1 +b x2y2z2 +c x3y3z3 = ax1+bx2+cx3ay1+by2+cy3az1+bz2+cy3