三维空间的线性变换仍是由基向量的去向完全决定。
x方向的单位向量 i^\hat{i}i^
y方向的单位向量 j^\hat{j}j^
z方向的单位向量 k^\hat{k}k^
i^=[100],j^=[010],k^=[001] \hat{i} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\quad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\quad \hat{k} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} i^= 100 ,j^= 010 ,k^= 001
现在有某种线性变换作用在整个空间上，我们记录基向量分别落在：
i^=[x1y1z1],j^=[x2y2z2],k^=[x3y3z3] \hat{i} = \begin{bmatrix} x1\\ y1\\ z1 \end{bmatrix},\quad \hat{j} = \begin{bmatrix} x2\\ y2\\ z2 \end{bmatrix},\quad \hat{k} = \begin{bmatrix} x3\\ y3\\ z3 \end{bmatrix} i^= x1y1z1 ,j^= x2y2z2 ,k^= x3y3z3
把这三个新的基向量并排放在一起，就得到了描述这个变换的矩阵：
x1x2x3y1y2y3z1z2z3\] \\begin{bmatrix} x1 \& x2 \& x3 \\\\ y1 \& y2 \& y3 \\\\ z1 \& z2 \& z3\\end{bmatrix} x1y1z1x2y2z2x3y3z3 同二维一样，要想知道一个向量经过变换后的位置，可以这么计算： \[x1x2x3y1y2y3z1z2z3\]\[abc\]=a\[x1y1z1\]+b\[x2y2z2\]+c\[x3y3z3\]=\[ax1+bx2+cx3ay1+by2+cy3az1+bz2+cy3\] \\begin{bmatrix} x1 \& x2 \& x3 \\\\ y1 \& y2 \& y3 \\\\ z1 \& z2 \& z3\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a\\\\ b\\\\ c\\end{bmatrix} = a \\begin{bmatrix} x1 \\\\ y1 \\\\ z1 \\end{bmatrix} + b \\begin{bmatrix} x2 \\\\ y2 \\\\ z2 \\end{bmatrix} + c \\begin{bmatrix} x3 \\\\ y3 \\\\ z3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} ax1 + bx2 + cx3 \\\\ ay1 + by2 + cy3 \\\\ az1 + bz2 + cy3 \\end{bmatrix} x1y1z1x2y2z2x3y3z3 abc =a x1y1z1 +b x2y2z2 +c x3y3z3 = ax1+bx2+cx3ay1+by2+cy3az1+bz2+cy3