第三章，矩阵，09-线性方程组解的判断与求法、矩阵方程
玩转线性代数(21)线性方程组解的判断与求法的笔记，相关证明以及例子见原文
定理
对n元线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b，A为系数矩阵， B = ( A ∣ b ) B=(A|b) B=(A∣b)为增广矩阵，则有
（1） A x = b Ax=b Ax=b无解 ⇔ R ( A ) < R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b) ⇔R(A)<R(A,b);
（2） A x = b Ax=b Ax=b有唯一解 ⇔ R ( A ) = R ( A , b ) = n \Leftrightarrow R(A)=R(A,b)=n ⇔R(A)=R(A,b)=n;
（3） A x = b Ax=b Ax=b有无穷多解 ⇔ R ( A ) = R ( A , b ) < n \Leftrightarrow R(A)= R(A,b)\lt n ⇔R(A)=R(A,b)<n.
推论1
对n元线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b，A为系数矩阵， B = ( A ∣ b ) B=(A|b) B=(A∣b)为增广矩阵，则有
（1） A x = b Ax=b Ax=b无解 ⇔ R ( A ) < R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b) ⇔R(A)<R(A,b);
（2） A x = b Ax=b Ax=b有解 ⇔ R ( A ) = R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)=R(A,b) ⇔R(A)=R(A,b).
推论2
对n元线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b，A为系数矩阵，或A为方阵，则有：
（1） A x = b Ax=b Ax=b有唯一解 ⇔ R ( A ) = n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow R(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq 0 ⇔R(A)=n⇔∣A∣=0，其解为 x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A−1b; ( R ( A ) = R ( B ) = n R(A)=R(B)=n R(A)=R(B)=n);
（2） ∣ A ∣ = 0 ⇔ |A|=0\Leftrightarrow ∣A∣=0⇔有无穷多解或无解.
推论3
对n元线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0，A为系数矩阵，方程必有零解，故不存在无解的情况，另外增广矩阵的最后一列为零，故其秩与系数矩阵A相同。
（1） A x = 0 Ax=0 Ax=0只有零解 ⇔ R ( A ) = n \Leftrightarrow R(A)=n ⇔R(A)=n;
（2） A x = 0 Ax=0 Ax=0有非零解 ⇔ R ( A ) < n \Leftrightarrow R(A)\lt n ⇔R(A)<n.
如果推论3中的A为方阵，则又有如下结论：
推论4
对n元线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0，A为系数矩阵且为方阵，则有
（1） A x = 0 Ax=0 Ax=0只有零解 ⇔ R ( A ) = n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow R(A)=n \Leftrightarrow |A| \neq 0 ⇔R(A)=n⇔∣A∣=0;
（2） A x = 0 Ax=0 Ax=0有非零解 ⇔ R ( A ) < n ⇔ ∣ A ∣ = 0 \Leftrightarrow R(A) \lt n \Leftrightarrow |A| = 0 ⇔R(A)<n⇔∣A∣=0.
矩阵方程AX=B
解法
若A是方阵，先确定A是否可逆，若A可逆，则有唯一解 X = A − 1 B X=A^{-1}B X=A−1B
若A不是方阵或不可逆，这时需要用待定元素法来求解。设未知矩阵X的元素为 x i j x_{ij} xij，即 X = ( x i j ) X=(x_{ij}) X=(xij)，然后根据所给的矩阵方程列出 x i j x_{ij} xij所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素 x i j x_{ij} xij,从而得到X.
解的存在性
设A为m * n矩阵，X为n * l矩阵，则B为m * l矩阵，把X和B按列分块，记为
X = ( x 1 , x 2 , . . . , x l ) , B = ( b 1 , b 2 , . . . b l ) X=(x_1,x_2,...,x_l), B=(b_1,b_2,...b_l) X=(x1,x2,...,xl),B=(b1,b2,...bl)，
则矩阵方程 A X = B AX=B AX=B等价于l个向量方程
A x i = b i , ( i = 1 , 2 , . . . l ) Ax_i=b_i, (i=1,2,...l) Axi=bi,(i=1,2,...l)，
又设 R ( A ) = r R(A)=r R(A)=r，且A的行最简形矩阵为 A ~ \tilde{A} A~，则 A ~ \tilde{A} A~一定有r个非零行。
再设 ( A , B ) = ( A , b 1 , b 2 , . . . , b i ) ∼ r ( A ~ , b ~ 1 , b ~ 2 , . . . , b ~ l ) (A,B)=(A, b_1, b_2,..., b_i)_{\sim}^r (\tilde{A}, \tilde{b}_1, \tilde{b}_2, ..., \tilde{b}_l) (A,B)=(A,b1,b2,...,bi)∼r(A~,b~1,b~2,...,b~l)
从而 ( A , b i ) r ∼ ( A ~ , b ~ i ) , ( i = 1 , 2 , . . . , l ) (A,b_i)_r^{\sim}(\tilde{A}, \tilde{b}_i), (i=1,2,...,l) (A,bi)r∼(A~,b~i),(i=1,2,...,l)
则 A X = B AX=B AX=B有解
⇔ \Leftrightarrow ⇔ A x i = b i Ax_i=b_i Axi=bi有解， ( i = 1 , 2 , . . . , l ) (i=1,2,...,l) (i=1,2,...,l)
⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) = R ( A , b i ) , ( i = 1 , 2 , . . . , l ) R(A)=R(A,b_i), (i=1,2,...,l) R(A)=R(A,bi),(i=1,2,...,l)
⇔ \Leftrightarrow ⇔将 ( A , b i ) (A,b_i) (A,bi)化为行最简形 ( A ~ , b ~ i ) (\tilde{A}, \tilde{b}_i) (A~,b~i),此时 b ~ i \tilde{b}_i b~i的后m-r行全为零， ( i = 1 , 2 , . . . , l ) (i=1,2,...,l) (i=1,2,...,l).
⇔ \Leftrightarrow ⇔ ( A ~ , b ~ 1 , b ~ 2 , . . . , b ~ l ) (\tilde{A}, \tilde{b}_1, \tilde{b}_2, ..., \tilde{b}_l) (A~,b~1,b~2,...,b~l)的后m-r行全为零，
⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B).
推论
设 A B = C AB=C AB=C，则 R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C)\leq min \{R(A), R(B) \} R(C)≤min{R(A),R(B)}
证明：
∵ A B = C , ∴ A X = B \because AB=C, \therefore AX=B ∵AB=C,∴AX=B有解 ⇒ R ( A ) = R ( A , C ) ≥ R ( C ) \Rightarrow R(A)=R(A, C) \geq R(C) ⇒R(A)=R(A,C)≥R(C)
又 B T A T = C T ∴ B T X = C T B^TA^T=C^T \therefore B^TX=C^T BTAT=CT∴BTX=CT有解 ⇒ R ( B ) = R ( B T ) = R ( B T , c T ) ≥ R ( C T ) = R ( C ) \Rightarrow R(B)=R(B^T)=R(B^T, c^T) \geq R(C^T)=R(C) ⇒R(B)=R(BT)=R(BT,cT)≥R(CT)=R(C)
∴ R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } \therefore R(C) \leq min\{R(A), R(B)\} ∴R(C)≤min{R(A),R(B)}.